Exercices sur les structures algébriques : corrigé
sous-groupe de G, mais que si on y ajoute une troisième fonction, on av à nouveau retomber sur le sous-groupe trivial G De même, {f 1;f 4} et {f 1;f 5} sont des sous-groupes, et on n'en obtient pas d'autres Le groupe G a donc un sous-groupe à un élément, trois sous-groupes à deux éléments et un
Groupes, anneaux, corps - Licence de mathématiques Lyon 1
5 Démontrer que est un homomorphisme de groupe si et seulement si le groupe est abélien Allez à : Correction exercice 22 Exercice 23 Soit ( ) un groupe d’élément neutre 1 Soit l’application de dans qui à tout élément son inverse Prouver que est un (homo)morphisme de groupe si et seulement si est abélien 2
Corrig¶e de la feuille d’exercices 1
distingu¶e et G=H est alors naturellement muni d’une structure de groupe (cf le cours) Le noyau de ’ est un sous-groupe de Zdonc de la forme dZ, contenant Ker` = nZ, on en d¶eduit donc que d divise n Ainsi H est cyclique, un g¶en¶erateur ¶etant gd, son ordre est ainsi n=d (iii) Soit donc H un sous-groupe de G d’ordre d; il est
Structures alg´ebriques : groupes, anneaux et corps
•L’image de f, not´e Imfest f(G) (ensemble des images par fdes ´el´ements de G) D’apr`es les deux derniers points de la proposition 3, le noyau et l’image de fsont des sous-groupes respectifs de Get H Exercice 8 Montrer que (U, ) est un groupe, en le voyant successivement comme image et noyau d’un morphisme de groupe
Groupes Examenfinal+corrigé - Institut de Mathématiques de
De plus le groupe engendré par K et hcontient strictement K, par Lagrange à nouveauilestégalàG Enfinghhig−1 = hhipourtoutélémentdehhi,pourtoutélément de K⊂Z(G), et donc finalement pour tout élément de G: ainsi hhiest distingué dans G,etonconclutqueG=K×hhi IV-Legroupedutétraèdre(6points) Soit T un tétraèdre régulier de
Programmation C Corrige du TD#7: Structures
• son groupe de TD, représenté par un entier ; • ses notes, représentées par un tableau note d’au plus MAXNOTES rels; • un entier nbnotes indiquant le nombre de notes valides dans le tableau note Exercice 4 2 Fiche • Ecrire les fonctions LireFiche et EcrireFiche de lecture et d’écriture d’une Fiche
Cours et exercices corrigés - -CUSTOMER VALUE-
et des exercices corrigés illustrent les points importants du cours Cette 3e édition, entièrement actualisée, est enrichie d’un 5 1 Structure de groupe 50
Structures Algébriques 1 : Résumé de cours
Une partie non vide H de G est un sous-groupe si 1 ) 8(x,y) 2H2, xy 2H 2 ) 8x 2H , x 1 2H Remarquons en particulier qu’un sous-groupe d’un groupe G contient nécessaire-ment l’élément neutre de G Clairement, la loi de groupe de G, quand on la restreint à un sous-groupe H, induit une structure de groupe sur H En pratique, on montrera
Thème 8 : corrigés des exercices
Thème 8 : Corrigés des exercices Page 7 sur 23 La symétrie est donc devenue quadratique : groupe de symétrie 4 mm m La maille a sa base ( a,b ) centrée, mais la translation ( 1/2 ,1/2, 0 ) n’est pas une translation de Bravais : il n’existe pas en effet de maille quadratique à base centrée La maille peut être réduite
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Maths PCSI CoursStructures alg´ebriques : groupes, anneaux etcorpsTable des mati`eres1 Groupes2 1.1 Lois de composition interne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Groupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Sous-groupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Morphismes de groupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Anneaux5
2.1 Structure d"anneau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Sous-anneaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Morphismes d"anneaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Divisibilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.5 Calculs dans les anneaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Corps8
3.1 Structure de corps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3 Pour la suite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
11 Groupes1.1 Lois de composition interne
Dfinition 1SoitEun ensemble. Uneloi de composition interne(LCI) surEest une applicationTdeE×EdansE,
not´ee g´en´eralement de fa¸con infixe : on ´ecritxT yplutˆot queT(x,y), lorsque (x,y)?E×E.Exemples 1•La somme surN,N?,Z,Q,R,C(mais pas surZ?,Q?,R?,C?).
•Le produit surN,N?,Z,Q,R,C... •La diff´erence surRouZ(mais pas surN). •La composition des applications surFF(applications deFdansF). •La loi?d´efinie surR2par(x1,y1)?(x2,y2) = (x1+x2,y1+y2). •La loi?d´efinie surR2par(x1,y1)?(x2,y2) = (x1x2-y1y2,x1y2+x2y1)(vous la reconnaissez?)•Les lois?,∩etΔ(r´eunion, intersection et diff´erence sym´etrique) d´efinies surP(F).Dfinition 2•Une LCITsurEsera diteassociativelorsque :
?x,y,z?E3,(xT y)T z=xT(y T z). •Une LCITsurEsera ditecommutativelorsque : ?x,y?E2, xT y=y T x. •SiTest une LCI associative surE,e?Eest unneutrepourTlorsque :?x?E, xT e=eT x=x.Proposition 1SiTest une LCI associative surEqui admet un neutre, alors ce neutre est unique. On
peut alors parler DU neutre deT.Preuve :On supposee1ete2neutres pourT, et on consid`eree1T e2...Exemples 2•La somme et le produit surC(donc sur ses sous-ensembles) est associative et commutative, et
admettent pour neutres respectifs0et1. •La diff´erence n"est ni associative ni commutative surR.•La loi◦(composition des fonctions deFdansF) est associative, mais n"est pas commutative (sauf si
Fest un singleton, auquel cas...). Elle admet un neutre, qui est l"applicationIdF.•Les lois?,∩etΔsurP(F)sont associatives et commutatives. Elles admettent pour neutres respectifs
∅,F, et∅. • ?et?sont associatives et commutatives surR2.•Vue comme LCI surN?,+n"admet pas d"´el´ement neutre.Exercice 1Montrer que les lois?et?surR2(cf exemples1) admettent chacune un neutre.Dfinition 3SiTest une LCI associative surEqui admet un neutreeetx?E, on dit quexadmet unsym´etrique pour
Ts"il existey?Etel quexT y=y T x=e.Proposition 2Dans la d´efinition pr´ec´edente, siyexiste, il est unique. On peut alors parler DU sym´e-
trique dexpourT. On le note g´en´eralementx-1.Preuve :Partir dey1T(xT y2) = (y1T x)T y2... 2 Remarques 1•On peut avoirxT y=eGsans avoiry T x=eG. On prendra par exempleE=NN,Tla loi◦de composition des fonctions,y:n?→n+ 1 etx:n?→Max(n-1,0). •Les lois not´ees.sont souvent "oubli´ees" dans l"´ecriture :x.ydevientxy.•Grˆace `a l"associativit´e, on s"autorise `a noterxT y T zla valeur commune de (xT y)T zetxT(y T z).
•Lorsque la loi est additive +, le sym´etrique est not´e-xet est appel´e "oppos´e". Lorsque la loi est
multiplicative., le sym´etrique est appel´e"inverse". On n"utilisera JAMAIS la notation1 x(sauf pour les complexes-r´eels-entiers), puisqu"alors la notationy xserait ambig¨ue dans le cas d"une loi multiplicative non commutative (ce qui sera la rˆegle en alg`ebre lin´eaire) : a priori,y·1 xet1x·ypeuvent ˆetre distincts...Exercice 2Sixetyadmettent un sym´etrique pour une loi?, montrer quex?yadmet ´egalement un
sym´etrique.1.2 Groupes Dfinition 4Ungroupeest un ensemble non vide muni d"une loi de composition interne (G,?) tels que : • ?est associative; • ?admet un neutreeG; •tout ´el´ement deGest sym´etrisable (admet un sym´etrique) pour?.Si?est commutative, on dit que (G,?) est commutatif, ou encoreab´elien.Exemples 3On fournit d"abord des exemples de groupes : dans les deux premiers cas et le dernier, il s"agit de groupes
ab´eliens. Les deux autres (comme la plupart des groupes fonctionnels) sont non commutatifs. •Z,Q,R,Cmunis de la somme. •Q?,R?,C?,U,Unmunis du produit. •L"ensemble des homoth´eties et translations du plan, muni de la loi◦. •L"ensemble des permutations (bijections) de[[1,n]]muni de la loi◦.•L"ensembleP(E)muni de la diff´erence sym´etriqueΔ.Exemples 4Pour diverses raisons (`a d´eterminer), les couples suivants ne sont pas des groupes :
•(N,+),(R,.). •(U,+). •(EE,◦).•(P(E),?),(P(E),∩).Exercice 3Montrer que(R2,?)et(R2\ {(0,0)},?)sont des groupes commutatifs.1.3 Sous-groupes
Dfinition 5Unsous-grouped"un groupe (G,?) est une partienon videHdeGtelle que : • ?induit surHune loi de composition interne. •Muni de cette loi,Hest un groupe.On note alors :H < G.Remarques 2•En pratique, pour montrer qu"une partie non videHdeGen constitue un sous-groupe, il suffit de
v´erifier : -eG?H; 3 -Hest stable par?; - pour toutx?H, le sym´etriquex, a priori dansG, est en fait dansH.•L"int´er`et principal de la remarque pr´ec´edente tient dans le fait que dans bien des cas, on peut montrer
que (H,?) est un groupe en montrant grˆace au crit`ere pr´ec´edent que c"est unsous-groupe d"un groupe
connu. Il est alors inutile de montrer l"associativit´e, la commutativit´e et mˆeme l"existence d"un neutre :
il n"y a que des VERIFICATIONS `a faire.Exemples 5•Pour la loi+, on a la "tour de groupe" (inclusions successives de sous-groupes/groupes) suivante :
{0}<1515ZOn verra en TD que ¸ca se passe moins bien pour lar´eunionde deux sous-groupes.Exercice 5On d´efinit l"ensemble :