Exercices sur les structures algébriques : corrigé
sous-groupe de G, mais que si on y ajoute une troisième fonction, on av à nouveau retomber sur le sous-groupe trivial G De même, {f 1;f 4} et {f 1;f 5} sont des sous-groupes, et on n'en obtient pas d'autres Le groupe G a donc un sous-groupe à un élément, trois sous-groupes à deux éléments et un
Groupes, anneaux, corps - Licence de mathématiques Lyon 1
5 Démontrer que est un homomorphisme de groupe si et seulement si le groupe est abélien Allez à : Correction exercice 22 Exercice 23 Soit ( ) un groupe d’élément neutre 1 Soit l’application de dans qui à tout élément son inverse Prouver que est un (homo)morphisme de groupe si et seulement si est abélien 2
Corrig¶e de la feuille d’exercices 1
distingu¶e et G=H est alors naturellement muni d’une structure de groupe (cf le cours) Le noyau de ’ est un sous-groupe de Zdonc de la forme dZ, contenant Ker` = nZ, on en d¶eduit donc que d divise n Ainsi H est cyclique, un g¶en¶erateur ¶etant gd, son ordre est ainsi n=d (iii) Soit donc H un sous-groupe de G d’ordre d; il est
Structures alg´ebriques : groupes, anneaux et corps
•L’image de f, not´e Imfest f(G) (ensemble des images par fdes ´el´ements de G) D’apr`es les deux derniers points de la proposition 3, le noyau et l’image de fsont des sous-groupes respectifs de Get H Exercice 8 Montrer que (U, ) est un groupe, en le voyant successivement comme image et noyau d’un morphisme de groupe
Groupes Examenfinal+corrigé - Institut de Mathématiques de
De plus le groupe engendré par K et hcontient strictement K, par Lagrange à nouveauilestégalàG Enfinghhig−1 = hhipourtoutélémentdehhi,pourtoutélément de K⊂Z(G), et donc finalement pour tout élément de G: ainsi hhiest distingué dans G,etonconclutqueG=K×hhi IV-Legroupedutétraèdre(6points) Soit T un tétraèdre régulier de
Programmation C Corrige du TD#7: Structures
• son groupe de TD, représenté par un entier ; • ses notes, représentées par un tableau note d’au plus MAXNOTES rels; • un entier nbnotes indiquant le nombre de notes valides dans le tableau note Exercice 4 2 Fiche • Ecrire les fonctions LireFiche et EcrireFiche de lecture et d’écriture d’une Fiche
Cours et exercices corrigés - -CUSTOMER VALUE-
et des exercices corrigés illustrent les points importants du cours Cette 3e édition, entièrement actualisée, est enrichie d’un 5 1 Structure de groupe 50
Structures Algébriques 1 : Résumé de cours
Une partie non vide H de G est un sous-groupe si 1 ) 8(x,y) 2H2, xy 2H 2 ) 8x 2H , x 1 2H Remarquons en particulier qu’un sous-groupe d’un groupe G contient nécessaire-ment l’élément neutre de G Clairement, la loi de groupe de G, quand on la restreint à un sous-groupe H, induit une structure de groupe sur H En pratique, on montrera
Thème 8 : corrigés des exercices
Thème 8 : Corrigés des exercices Page 7 sur 23 La symétrie est donc devenue quadratique : groupe de symétrie 4 mm m La maille a sa base ( a,b ) centrée, mais la translation ( 1/2 ,1/2, 0 ) n’est pas une translation de Bravais : il n’existe pas en effet de maille quadratique à base centrée La maille peut être réduite
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L2 parcours spécial - Algèbre 11 mai 2016
Groupes
Examen final + corrigé
Durée: 2 heures
Documents, calculatrice ou téléphone interdits. Le barême est sur 20 + 2 points bonus (partie
III).I - Exemples (5 points)
Justifier chacun des exemples en une ou deux phrases.1. Donner un exemple d"élément d"ordre 15 dans le groupe symétriqueS8.
Solution. (1 point)
σ= (12345)(678)convient, car l"ordre d"une permutation est le PPCM des ordres des cycles de sa décomposition canonique.2. Donner un exemple de deux éléments d"ordre 3 non conjugués dans le groupe symétrique
S 6.Solution. (1 point)
(123)et(123)(456)sont deux éléments d"ordre 3 dansS6, qui sont non conjugués car de types différents.3. Donner un exemple de groupeGet de deux élémentsa,b?Gd"ordre 2 tel queabsoit
d"ordre 3.Solution. (1 point)
On peut prendreG=S3,a= (12)etb= (23), on a bienab= (123)d"ordre 3.4. Donner un exemple d"élément d"ordre 4 dans le groupeGL2(R)des matrices2×2in-
versibles à coefficients réels.Solution. (1 point)
La matrice?0-1
1 0? convient, elle correspond à la rotation d"angleπ/2dans le planR2.5. Donner un exemple d"élément d"ordre infini dans le groupeSO2(R)des rotations du plan.
Solution. (1 point)
Toute matrice de la forme?cosθ-sinθ
sinθcosθ? avecθ= 2παetα??Qconvient, en effet les rotations d"ordre fini du plan sont exactement les rotations d"angle un multiple rationnel de2π. NB: c"est bienαqui doit être irrationnel, et pasθlui-même. Par exempleθ=πest irrationnel mais correspond à une rotation d"ordre 2...II - Groupes abéliens (6 points)
Les questions de cet exercice sont indépendantes. On attend une rédaction concise et précise.
1. SoitGun groupe abélien,a?Gd"ordrem, etb?Gd"ordren, avecmetnpremiers entre
eux. Montrer queabest d"ordremn.Solution. (2 points)
Notonsdl"ordre deab: par définition,dest le plus petit entier≥1tel que(ab)d= 1.D"une part, commeab=ba, on a
(ab)mn=amnbmn= (am)n(bn)m= 1n1m= 1. D"autre part (très peu ont su faire cette deuxième partie de l"argument...)1 = (ab)d=adbd
impliquead=b-dappartient à?a?∩?b?. Comme?a?est d"ordrem, et?b?est d"ordren, avecm,npremiers entre eux, on en déduit par le théorème de Lagrange que?a?∩?b?={1}, doncad=bd=1, et finalementdest un multiple commun demetn, en particulierd≥mn.Conclusion :d=mn.
2. SoitGun groupe dont tous les éléments (à part le neutre) sont d"ordre 2. Montrer queG
est abélien.Solution. (2 points)
Soita,b?G. Par hypothèse l"élémentabest d"ordre 2 (ou 1), on a donc1 = (ab)2=abab,
et doncab=b-1a-1. De plusa-1=aetb-1=b(à nouveau cara2=b2= 1) donc ab=b-1a-1=ba, autrement ditaetbcommutent.3. SoitRle groupe additif des nombres réels, etU?C?le sous-groupe multiplicatif des
complexes de module 1. Expliciter un morphisme surjectif deRversU, et en déduire que Uest isomorphe à un quotient deRque l"on précisera.Solution. (2 points)
On considère l"application suivante
?:R→U x?→eix D"une part?est un morphisme car?(x+y)=ei(x+y)=eixeiy=?(x)?(y), et?est surjectif car tout complexe de module 1 s"écrit sous la formeeix. Le noyau de?est égal à ker?={x?R;eix= 1}= 2πZoù2πZdésigne le sous-groupe des multiples entiers de2π. Par le théorème d"isomorphisme,
on en déduit queU?R/2πZ.III - Centre d"unp-groupe (3 points)
Il y avait une erreur d"énoncé dans les deux dernières questions de cette partie (errare humanum
est...). Ci-dessous pour info les énoncés corrects, et concernant le barême j"ai neutralisé ces
deux questions (avec 0.5 ou 1 point bonus pour ceux qui m"ont dit des choses correctes en dépitde l"énoncé incorrect, et 2 points bonus pour l"unique personne qui a repéré qu"il y avait un
problème avec l"énoncé...)