Mécanique du solide Salle

Mécanique du solide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier _____ 15 On considère un point M rigidement lié au solide ; on note Ω = Ω r r RS / R le vecteur vitesse angulaire instantanée du référentiel (R S) par rapport à (R), qui est a priori une fonction vectorielle du temps

MP MP* PT PT* et des systèmes Mécanique du solide

La masse est une grandeur physique qui, en physique newtonienne, a les propriétés suivantes : elle est strictement positive ; elle est additive : on peut sommer les masses de sous-systèmes disjoints (on dit que la masse est une grandeur extensive) ; elle est conservée au cours du temps, quand le système est fermé ;

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MECANIQUE DU SOLIDE 1 Description du mouvement d'un solide 1 1 Définition d'un solide Un solide est un système matériel dont les points restent à distance constante les uns des autres On oppose les solides aux systèmes déformables dont les points peuvent se déplacer les uns par rapport aux autres

Mécanique du solide Salle - AlloSchool

Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - La Salle 10 4 Cas du solide 77 10 4 Cas du solide On déﬁnit un solide par : ∀(A,B) ∈ Système2 k −−→ ABk= Cte C’est donc un système indéformable — Solide — 10 4 1 Cinétique Considérons un solide, en mouvementdans un référentielgaliléen R1 Soit un

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1 On étudie le système {marcheur} dans le référentiel terrestre galiléen, assimilé à un solide Il subit : - son poids P M g= ur ur qui ne travaille pas car le centre de masse du promeneur conserve une altitude constante pendant la marche ; - la réaction de contact du sol sur les pieds R ur qui ne travaille pas car il n’y a pas

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MECANIQUE DU SOLIDE Travail à effectuer: • Visionner la vidéo de cours (en 3 parties) disponible sur le site de la classe et réaliser une carte mentale (avec PowerPoint ou équivalent ou bien avec un logiciel dédié comme Coggle ou Framindmap, tous deux gratuits, utilisables en ligne et collaboratifs) • Résoudre les exercices suivants

Mécanique du solide

physique année scolaire 2018/2019 Mécanique du solide Les points du cours à connaître I- Système de points matériels : le véhicule 1 Position du problème Centre de masse le centre de masse Gdu système de masse Mest tel que OG= P i m i OP i M = t P2V (P) OPd3˝ M 2 Caractéristiques des solides Solide

Mécanique des systèmes de solides indéformables

Cinématique du solide, Géométrie des masses, Cinétique du solide, Dynamique du solide, Liaisons-Forces de liaison, Mouvement d’un solide autour d’un point ou d’un axe fixes Pour l’élaboration de ce cours polycopié, j’ai utilisé de nombreuses ressources pédagogiques

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Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle 71
R 10

Mécanique du solide

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72MÉCANIQUE DU SOLIDE

10.1Lois de la mécanique d"un système matériel

10.1.1Modélisation d"un système matériel

On peut modéliser un système matériel de deux façons :

Approche discrète :M=?

im i

Approche continue :M=???

ρd3τ

Dans la suite de l"exposé, on utilisera souvent la notation discrète, mais la notation continue est tout-à-fait

utilisable. Il faut alors remplacer la somme discrète sur l"indiceipar une intégrale sur le volumeτet les

massesmipar la masse élémentaired3m=ρd3τ.

10.1.2Théorème du centre d"inertie (ou de la résultante cinétiqueou de la résultante dynamique ou du centre de masse)

10.1.2.1Centre de masse

Le barycentre, ou centre de masse ou centre d"inertie, notéG: M OG=? im i--→OMi

Avec un système continu, on a :

OG???

ρd3τ=???

ρ--→OM d3τ

10.1.2.2Quantité de mouvement d"un système

On appelle quantité de mouvement totale d"un système, notée-→P: P=? im i-→vi

Avec un système continu, on a :

P=???

ρ--→v(M)d3τ

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10.2 Théorème du moment cinétique73

En introduisant le centre de d"inertie, on obtient : -→P=M--→v(G) Par application de la deuxième loi de Newton , on obtient alors : d -→P dt=?--→Fext

Ceci constituele théorèmedu centre d"inertie(ou de la résultantecinétique ou de la résultantedynamique

ou encore du centre de masse).

10.1.3Référentiel barycentrique

Un référentiel barycentriqueest un référentiel qui a pour origine le centre de masse du système, et qui est

animé d"un mouvement de translation uniforme par rapport à un référentiel galiléen. On le noteraR?.

On noteX?la grandeurXévaluée dans le référentiel barycentrique.

Dans un référentiel barycentrique, la quantité de mouvement totale-→P?=-→P/R?est nulle :

P ?=-→0

Pour un système ouvert, on considère la masse à l"instantt, et la masse à l"instantt+dtdu système, plus

la masse éjectée durantdt. On peut donc définir dans ce cas un système fermé.

10.2Théorème du moment cinétique

10.2.1Moment cinétique

Considérons le moment cinétique par rapport àOd"un point matérielMde massem, animé de la vitesse-→vdans le référentielR. On a :

(O)/R=--→OM?m-→v On définit alors le moment cinétique pour un ensemble de points (système matériel) par : (O)/R=? i--→OM i?m-→vi

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74MÉCANIQUE DU SOLIDE

Le transport de moment cinétique peut s"écrire de la façon suivante : Avec

-→Pla quantité de mouvement totale du système. Le moment cinétique et la quantité de mouvement

constituent donc un torseur cinétique.

10.2.2Premier théorème de Koenig

En partant de la décomposition de la vitesse :

vi=--→v(G)/R+-→v?i où

v(G)/Rest la vitesse du centre de masseGpar rapport au référentielRet-→v?ila vitesse du pointMi

dans le référentiel barycentrique, on obtient le premier théorème de Koenig :

Le moment cinétique par rapport à un point fixe est donc égal à la somme du moment cinétique dans le

référentielbarycentriqueet dumomentcinétiqueducentred"inertieaffectéde toutela masse du système:

on décompose donc le moment cinétique total en un moment cinétique lié au mouvement de rotation du

système et à un autre lié au mouvement de translation de son centre d"inertie.

Le moment cinétique, dans le référentiel barycentrique, nedépend pas du point par rapport auquel on le

calcule. On l"écrit donc :

Il plus facile d"évaluer-→σ?dans le référentiel barycentriquepuisque dans celui-ci, le mouvementdu système

considéré est un mouvement de rotation.

10.2.3Théorème du moment cinétique en un point fixe d"unréférentiel galiléen

SoitOun point fixe par rapport à un référentiel galiléenR1. On obtient : d

σ(O)/R1

dt=? i--→OM i?--→Fext=? i---→M (O)(--→Fext)

10.2.4Théorème du moment cinétique en un point mobile d"unréférentiel galiléen

SoitAun point mobile par rapport au référentiel galiléenR1. On peut alors écrire : d

σ(A)/R1

dt=? i--→AM i?--→Fext---→v(A)?-→P

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10.3 Théorème de l"énergie cinétique75

10.2.5Théorème du moment cinétique en un point fixe d"unréférentiel non galiléen

SoitBun point fixe par rapport à un référentiel non galiléenR. On obtient : d

σ(B)/R

dt=? i---→M (O)(--→Fext) +---→M(O)(-→Fie) +---→M(O)(-→Fic)

10.2.6Théorème du moment cinétique dans le référentielbarycentrique

En particulier, siRréférentiel non galiléen est le référentiel barycentriqueR?et que le point fixeBest le

pointG, centre d"inertie du système,le moment des forces d"inertie de Coriolis---→M(O)(-→Fic)est nul car le

référentiel barycentriqueR?est en translation par rapport à un référentielR1galiléen et le moment des

forces d"inertie d"entraînement---→M(O)(-→Fie)est nul car l"accélération deGest nulle dans le référentiel

barycentrique. On obtient alors : d

σ(G)/R?

dt=d--→σ(G)?dt=? i--→GM i?--→Fext

Dans ce cas, on s"affranchit des forces d"inertie. Ce cas particulier du référentiel barycentrique est donc

très intéressant.

10.2.7Représentation torsorielle

On a les représentations suivantes :

Torseur Cinématique

-→P (O)

Torseur Dynamique

-→R=?--→Fext---→M(O)=? i--→OM i?--→Fext

10.3Théorème de l"énergie cinétique

10.3.1Énergie cinétique

Par définition, pour un ensemble de points matériels, l"énergie cinétique est définie de la façon suivante :

E c=? i1

2miv2i

Pour un système continu, l"énergie cinétique est définie de la façon suivante : E c=???1

2ρ(M)v2(M)d3τ

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76MÉCANIQUE DU SOLIDE

10.3.2Second théorème de Koenig

Le second théorème de Koenig s"énonce de la façon suivante :

Ec=E?c+12M v2(G)

L"énergiecinétiqued"unsystèmematérielest égaleàlasommedesonénergiecinétiquedansleréférentiel

barycentrique et de l"énergie cinétique du centre d"inertie affecté de toute la masse du système. C"est

encore une fois la somme d"une énergie cinétique liée à la rotation su système et d"une énergie cinétique

liée à la translation de son centre d"inertie.

10.3.3Théorème de l"énergie cinétique

En partant de l"expression de l"énergie cinétique, on obtient :

ΔEc=Wext+Wint

oùWextest le travail des forces extérieures etWintle travail des forces intérieures.

Si le système est un solide, donc indéformable, le travailWintdes forces intérieures est nul et :

ΔEc=Wext

10.3.4Autres formes du théorème de l"énergie cinétique

Sous forme différentielle, on a :

dE c=δWext+δWint

En utilisant les puissances, on obtient l"expression suivante (appelée parfois théorème de la puissance

cinétique) : dE c dt=Pext+Pint

En distinguant les forces conservatives-→Fcet les forces non conservatives-→Fnc, on peut aussi écrire :

δW(-→Fc) =-dEp

oùEpest l"énergie potentielle associée la force conservative-→Fc. En introduisant l"énergie mécanique

E m=Ep+Ec, on a alors :

ΔEm=W(-→Fnc)

ou une de ses autres formes (que les forces non conservativessoient intérieures ou extérieures ne change

rien).

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10.4 Cas du solide77

10.4Cas du solide

On définit un solide par :

?(A,B)?Système2?--→AB?=Cte

C"est donc un système indéformable.

10.4.1Cinétique

Considérons un solide, en mouvement dans un référentiel galiléenR1. Soit un référentielRlié au solide.

SoientAetMdeux points du solide. On a la relation suivante : v(M)=--→v(A)+--→MA?-→ω

où-→ωR/R1est le vecteur rotation instantanée deRpar rapport àR1.-→ωR/R1est défini par :

ωR/R1=θ-→ez

-→ezest le vecteur définissant l"axe de la rotation deRpar rapport àR1et siθest l"angle de rotation de

Rpar rapportR1.

10.4.2Théorème du moment cinétique

10.4.2.1Solide possédant un point fixe

Soit un solide possédant un point fixe, notéeC. D"après la relation précédente, on obtient, pour tout point

Mdu solide :

v (M)=-→ωR/R1?--→CM

10.4.2.2Solide possédant un axe fixe

Le vecteur rotation instantanée est porté par l"axe fixe(Δ). En appliquant le théorème du moment

cinétique en un pointOde cet axe(Δ)et en projetant sur un vecteur unitaire-→eΔporté par ce axe, on

obtient : d

σ(O)

σ(O)·--→e(Δ)

dt=-----→M(O),ext·-→eΔ dσ(Δ) dt=M(Δ),ext

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78MÉCANIQUE DU SOLIDE

En posantJΔ=?

im iHiMipour un système discret ouJ(Δ)=? MH

2dmpour un système continu,

les pointHiétant les projetés des pointsMidu solide (Hprojeté deM) sur l"axe fixe, ici(Δ), on a :

(Δ)=J(Δ)ω=J(Δ)θ J Δest appelé moment d"inertie du solide par rapport à l"axeΔ.

On obtient alors :

dσ

10.4.3Théorème de Huyghens

Soient(Δ)et(ΔG)deux droites parallèles distants ded,(ΔG)passant par le centre d"inertieGdu

système. On a alors : Jquotesdbs_dbs5.pdfusesText_10

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10.1Lois de la mécanique d"un système matériel

10.1.1Modélisation d"un système matériel

Approche discrète :M=?

Approche continue :M=???

ρd3τ

10.1.2Théorème du centre d"inertie (ou de la résultante cinétiqueou de la résultante dynamique ou du centre de masse)

10.1.2.1Centre de masse

Avec un système continu, on a :

ρd3τ=???

ρ--→OM d3τ

10.1.2.2Quantité de mouvement d"un système

Avec un système continu, on a :

ρ--→v(M)d3τ

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10.2 Théorème du moment cinétique73

10.1.3Référentiel barycentrique

10.2Théorème du moment cinétique

10.2.1Moment cinétique

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10.2.2Premier théorème de Koenig

En partant de la décomposition de la vitesse :

10.2.3Théorème du moment cinétique en un point fixe d"unréférentiel galiléen

σ(O)/R1

10.2.4Théorème du moment cinétique en un point mobile d"unréférentiel galiléen

σ(A)/R1

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10.3 Théorème de l"énergie cinétique75

10.2.5Théorème du moment cinétique en un point fixe d"unréférentiel non galiléen

σ(B)/R

10.2.6Théorème du moment cinétique dans le référentielbarycentrique

σ(G)/R?

10.2.7Représentation torsorielle

On a les représentations suivantes :

Torseur Cinématique

Torseur Dynamique

10.3Théorème de l"énergie cinétique

10.3.1Énergie cinétique

2miv2i

2ρ(M)v2(M)d3τ

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10.3.2Second théorème de Koenig

Ec=E?c+12M v2(G)

10.3.3Théorème de l"énergie cinétique

ΔEc=Wext+Wint

ΔEc=Wext

10.3.4Autres formes du théorème de l"énergie cinétique

Sous forme différentielle, on a :

δW(-→Fc) =-dEp

ΔEm=W(-→Fnc)

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10.4 Cas du solide77

10.4Cas du solide

On définit un solide par :

C"est donc un système indéformable.

10.4.1Cinétique

ωR/R1=θ-→ez

Rpar rapportR1.

10.4.2Théorème du moment cinétique

10.4.2.1Solide possédant un point fixe

Mdu solide :

10.4.2.2Solide possédant un axe fixe

σ(O)

σ(O)·--→e(Δ)

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En posantJΔ=?

2dmpour un système continu,

On obtient alors :

10.4.3Théorème de Huyghens

Approche discrète :M=?

Approche continue :M=???