Polynômes de Tchebychev - MATHEMATIQUES
Polynômes de Tchebychev Pafnoutïi Lvovitch Tchebychev, mathématicien russe , est né à Borovsk en 1821 et mort à Saint-Pétersbourg en 1894 1) Définition et existence a) Polynômes de Tchebychev de 1ère espèce : Tn Soit n un entier naturel Il existe un et un seul polynôme noté Tn tel que ∀θ ∈ R, Tn(cosθ)=cos(nθ) Unicité
Polynômes de Tchebychev
polynômes de Tchebychev de 1 ère et de 2 ème espèce, car ce grand mathématicien russe fut sans doute le premier à leur trouver des applications loin du cadre étroit de la trigonométrie Dans cet exposé, tous les polynômes considérés sont à coefficients réels ou complexes
DEVOIR EN TEMPS LIBRE N° 11 CORRIGE : Polynômes de Tchebychev
CORRIGE : Polynômes de Tchebychev de première espèce On considère les polynômes P n définis par : P 0 = I, P 1 = X et la relation : n IN, P n+2 = 2 X P n+1 – P n PARTIE I 1) Calculer P 2, P 3, P 4 P 0 3= I , P 1 2= X , P 2 4= 2 X – 1 , P 3 = 4 X – 3 X et P 5 = 8 X – 8 X 2 + 1 2) a) Montrer que P n est de degré n
Corrigé : polynômes de Tchebychev orthogonaux Première partie
Corrigé : polynômes de Tchebychev orthogonaux Première partie Question 1 Montrons par récurrence sur n 2N que T n est de degré n, a même parité que n (autrement dit que T n(X) = (1)nT n(X)), et son coefficient dominant vaut 2n1 –C’est clair si n= 1 ou n= 2, car T1 = X et T2 = 2X2 1 –Si n>3, supposons le résultat acquis aux
POLYNOMES exercices
EXERCICE 26 : Polynômes de Tchebychev de première espèce On considère la suite de polynômes de ℝ[X] définie de la manière suivante : * T T X n T XT T0 1 1 1= = ∀∈ = −1, , et ℕ n n n+ − 1) Déterminer, pour tout entier naturel n, le terme de plus haut degré de T n 2) Montrer que ∀∈ ∀∈ =n T nℕ ℝ, , cos cosθ θ θ
COURS MPSI A 7 POLYNÔMES R FERRÉOL 16/17
REM 2 : P(Q)(résultat de la substitution de Qà X) dans P peut être confondu avec P Q; quand il y a ambiguité, on le notera P Q E3 polynômes de Tchebychev : la suite de polynômes (Tn)définie par T0=1, T1=X et Tn+1=2XTn−Tn−1pour n 1est telle que ∀n∈N∀θ∈R Tn(cosθ)=cos(nθ)
TP noté : Polynômes d’interpolation de Lagrange
Le phénomène de Runge semble effectivement avoir disparu 13 Là encore, il suffit d’un copier/coller et de modifications mineures : def approxime_tcheb(f,eps): """ Recherche un rang n tel que P_n f (avec points de Tchebychev) donne une approximation uniforme de f à eps près """ n = 2 P = interpolation_tcheb(f,n) g = lambda x: f(x
CCP Maths 1 MP 2003 — Corrigé - prepamagfr
• La dernière partie est consacrée aux polynômes de meilleure approximation au sens de Tchebychev (PMA) On utilise un peu de topologie élémentaire (notion de compact) ainsi que des résultats de la première partie Il s’agit de déterminer une méthode permettant de calculer le PMA d’ordre n d’une fonction polynomiale de degré n
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1
Polynômes de Tchebychev
1. Définition.
2. Premières propriétés.
3. Exercices divers.
4. Orthogonalité, développement en série de Tchebychev.
5. Caractérisation minimax.
6. Configurations entières.
7. Familles commutantes de polynômes.
8. Une équation de Fermat dans C[X].
9. Une caractérisation extrémale des zéros.
10. Polynômes de Dickson, puissances dans Gl
2(Z).Pierre-Jean Hormière
___________ " Isoler les mathématiques des demandes pratiques des autres sciences revient à provoquer la stérilité d"une vache en l"éloignant des taureaux. »Pafnouti Lvovitch Tchebychev
(Okatovo 1821 - Saint Petersbourg 1894)Introduction
Les trigonomètres distingués ont observé depuis longtemps les formules : cos 0q = 1 sin 0q = 0 cos 1q = cos q sin 1q = sin q cos 2q = 2.cos2q - 1 sin 2q = 2.sin q.cos q
cos 3q = 4.cos3 q - 3.cos q sin 3q = sin q ( 4.cos2 q - 1 )
cos 4q = 8.cos4 q - 8.cos2 q +1 sin 4q = sin q ( 8.cos3 q - 4.cos q )
cos 5q = 16.cos5 q - 20.cos3 q + 5.cos q sin 5q = sin q ( 16.cos4 q - 12.cos2 q + 1 )
Ces formules suggèrent que cos(nq) = T
n(cosq) et sin(nq) = sinq.Un-1(cosq), où Tn et Un sont des fonctions polynomiales. Les T n et Un, étudiés par François Viète vers 1593 pour les premières valeurs de n, puis par Jakob Bernoulli vers 1702 pour n quelconque, s"appellent respectivement polynômes de Tchebychev de 1 ère et de 2ème espèce, car ce grand mathématicien russe fut sans doute le premier à leur trouver des applications loin du cadre étroit de la trigonométrie.Dans cet exposé, tous les polynômes considérés sont à coefficients réels ou complexes. On peut
donc sans danger confondre polynômes et fonctions polynomiales.21. Définition des polynômes de Tchebychev
1.1. Présentation élémentaire
Théorème 1 : Pour tout n Î N, il existe un unique polynôme T n Î C[X] tel que : "q Î R cos nq = T n(cos q) (1)La suite de polynômes (T
n) vérifie les relations de récurrence : T0(X) = 1 , T1(X) = X , Tn+2(X) = 2X.Tn+1(X) - Tn(X) (2)
Preuve
: 1) Commençons par noter que cos q = cos q" ⇒ cos(nq) = cos(nq"). En effet cos q = cos q" Û q"= ± q + 2kp ⇒ nq"= ± nq + 2knp . Il en résulte que cos nq est bien une fonction de cos q .2) La formule cos((n+2)q) = 2.cosq.cos((n+1)q) - cos(nq) suggère d"introduire la suite de
polynômes définie par les formules (2). Une récurrence double facile montre que l"on a (1).3) Si P est un polynôme tel que "q Î R cos(nq) = P(cos q), on a P(x) = T
n(x) pour tout réel x Î [-1, 1] ; comme P - T n a une infinité de racines, P = Tn.Proposition 2 : a) Pour tout n Î N, T
n est à coefficients entiers : Tn Î Z[X] ; b) T n est de même parité que n : Tn(-X) = (-1)n.Tn(X) ; c) T n(X) est de degré n, a pour terme dominant 2n-1 Xn pour n ³ 1 ; d) T n(X) a pour terme de plus bas degré (-1)m pour n = 2m, (-1)m n X pour pour n = 2m + 1.Exercice 1
: Retrouver l"existence de Tn en considérant ( cos q + i.sin q )n.Exercice 2
: Montrer que ("n ³ 1) T2n = 2 Tn2 - 1 = et T2n+1 = 2 Tn Tn+1 - X.En déduire un mode de calcul récursif des T
n(X) [ voir aussi § 5 ].1.2. Présentation plus abstraite
Nous allons présenter les polynômes de Tchebychev de manière plus algébrique (n"oublions pas
qu"un algébriste ne sait pas ce qu"est un cosinus) :Proposition 3 : Soit C(Z) le corps des fractions rationnelles à une indéterminée Z sur le corps C.
Posons X =
)1.(21ZZ+ et Yn = )1.(21nnZZ+ pour tout n Î N. On a Yn = Tn(X).Preuve
immédiate par récurrence sur n.Cette propriété permettrait de définir les polynômes de Tchebychev de manière purement algébrique.
Définition : La fraction rationnelle F(Z) est dite réciproque si F(Z) = F( Z1). Proposition 4 : Toute fraction rationnelle réciproque F(Z) s"écrit de façon unique :F(Z) = G(X) , où G Î C(X) et X =
)1.(21ZZ+.Les fractions rationnelles réciproques forment un sous-corps de C(Z), isomorphe à C(Z), et noté
C(X). De plus, C(Z) est un plan vectoriel sur C(X), dont une C(X)-base est (1, ))1.(21ZZ-.Preuve
: Ecrivons F(Z) = )()( ZDZN, où N, D Î C[Z]. La théorie des proportions donne :ZDZN = )/1()/1(
ZDZN = )/1()()/1()(
ZDZDZNZN
+ = )/1()/1(jjjii iZZbZZa = )(.2)(.2XTbXTajji
i∑∑ = G(X) , où G Î C(X). Réciproque facile. L"unicité de G découle de la transcendance de l"élément X de C(Z). 3Les fractions rationnelles réciproques forment un sous-corps de C(Z) (facile), isomorphe à C(Z)
via le morphisme de substitution G(Z) ® G(X).Une fraction F est dite antiréciproque si F(1/Z) = -F(Z). Toute fraction rationnelle F s"écrit de
façon unique comme somme d"une fraction réciproque et d"une fraction antiréciproque :F(Z) =
))1()(.(21ZFZF+ + ))1()(.(21ZFZF- , l"unicité étant facile. Et F est antiréciproque ssi elle peut s"écrire F(Z) = )1.(21ZZ-.G(Z), où G est réciproque.Par suite, C(Z) = C(X) Å
)1.(21ZZ-.C(X). cqfd. Application à la résolution d"équations polynomiales réciproques Voir chapitre sur les équations algébriques.2. Etude des polynômes de Tchebychev
2.1. L"équation T
n(z) = b dans C.L"équation algébrique T
n(z) = b est résoluble par radicaux dans C. Pour la résoudre, procéder en 3 temps : 1) Résoudre l"équation )1.(21ZZ+ = b ; 2) Résoudre zn = Z ; 3) Poser x = )1.(21zz+. 1er cas : b ¹ ±1. L"équation )1.(21ZZ+ = b s"écrit Z2 - 2b.Z + 1 = 0. Elle a deux racines distinctes Z0
et 1/Z0. Si z0 est une racine n-ème de Z0, les autres sont z0.expnikp2 (0 £ k £ n-1), celles de 1/Z0
sont 01z.expnikp2-. Le lecteur s"assurera que ces deux ensembles sont disjoints. Il y a donc 2n
valeurs possibles de z. Mais il est clair que z0.expnikp2et
01zexpnikp2- fournissent le même x. Il
y a donc n valeurs distinctes de x. 2ème cas : b = 1. Alors Z = 1 ; zn = 1 donne z = expnikp2 (0 £ k £ n-1) ; x = )1.(21zz+ = cosnkp2.
· Si n = 2m, cela fournit m+1 valeurs de x : 1 > cos np2 > cosnp4 > ... > cosn mp)1(2- > -1 ; · Si n = 2m+1, cela fournit m+1 valeurs de x : 1 > cos np2 > cosnp4 > ... > cosnmp2. 3 ème cas : b = -1. Alors Z = -1 ; zn = -1 donne z = expn ikp)12(- (1 £ k £ n) ; x = cosn kp)12(-. · Si n = 2m, cela fournit m valeurs de x : cos np > cosnp3 > ... > cosn np)1(- ; · Si n = 2m+1, cela fournit m+1 valeurs de x : cos np > cosnp3> ... > cosn np)2(- > -1.Proposition 1 : Soit b Î C. L"équation T
n(z) = b a n solutions distinctes si b ¹ ±1 ;L"équation T
n(z) = +1 a m+1 solutions si n = 2m ou 2m+1 ;L"équation T
n(z) = -1 a m solutions si n = 2m, m+1 solutions si n = 2m+1.Exercice 3
: Trouver les racines de Tn à l"aide de la méthode précédente. 42.2. Etude des polynômes Tn(x) dans R.
Proposition 2 : "n Î N "q Î R cos(nq) = T n(cos q) "n Î N "q Î R ch(nq) = T n(ch q) "n Î N "q Î R (-1) n.ch(nq) = Tn(- ch q)Preuve
: La seconde formule découle par récurrence de ch((n+2)q) = 2.ch(q).ch((n+1)q) - ch(nq). La troisième s"en déduit, via § 1, prop. 2.N. B. : Les formules précédentes restent vraies pour q Î C; cela permettrait de retrouver la prop. 1.
Corollaire : "n Î N "x Î [-1 +1] T n(x) = cos(n.Arccos x) "n Î N "x Î [+1 +¥[ T n(x) = ch(n.Argch x)Proposition 3 : a) Valeurs en ±1
: Tn(1) = 1, Tn(-1) = (-1)n. b) Intervalles de stabilité : "x Î [-1, 1] Tn(x) Î [-1, 1] , "x Î [1, +¥[ Tn(x) Î [1, +¥[. c) Factorisation : Tn(X) = 2n-1Õ n k nkX1))212cos((p. d) Localisation des racines . Les racines de Tn(x) sont toutes réelles, simples, appartenant à ]-1, 1[.Les racines de T
n-1 s"intercalent entre celles de Tn.Preuve
: c) Il suffit de chercher les racines de Tn réelles et appartenant à [-1, 1], autrement dit de la
forme x = cos q (0 £ q £ p) . T n(x) = 0 Û cos(nq) = 0 Û q = pnk212- (1 £ k £ 2n) .Mais la parité du cosinus indique que x ne prend que n valeurs, pour 1 £ k £ n. Inutile de chercher
d"autres racines ailleurs ! d) L"intercalation des racines de T n-1 et Tn se vérifie à la main.Exercice 4
: Etudier les fonctions f(x) = Arccos( 2x2 - 1 ) , g(x) = Arccos( 4x3 - 3x ) , et plus généralement h(x) = Arccos T n(x).Exercice 5
: Répartition des zéros. Soit -1 £ a £ b £ +1. Trouver la probabilité pour que T n ait une racine dans [a, b], c"est-à-dire lim n®+¥ n1card { x Î [a, b] ; Tn(x) = 0 }. (cf. aussi § 4.3., ex. 1)
2.3. Polynômes de Tchebychev de seconde espèce
Proposition 4 : 1) On a les formules :
"n Î N* "q Î R sin(nq) = sin q U n-1(cos q) et sh(nq) = sh q Un-1(ch q) , où U n-1(X) = n1 T"n(X) pour n ³ 1.2) La suite de polynômes (U
n) vérifie les relations de récurrence : U0(X) = 1 , U1(X) = 2X , Un+2(X) = 2X.Un+1(X) - Un(X) .
3) Factorisation
: Un-1(X) = 2n-1Õ 11)cos(
n k nkXp , Un(X) = 2nÕ n k nkX1)1cos(p.Exercice 6
: Calculer le discriminant du polynôme Tn , c"est-à-dire : disc(T n) = (-1)n(n-1).2(n-1)(2n-1). Õ jiji)²(aa , où les ak sont les racines de Tn.Exercice 7
: Montrer que les fonctions q ® 1/2, q ® cos(nq), q ® sin(nq) (n ³ 1) sont libres. 5 Exercice 8 : Montrer que pour n ³ 2, Tn(X) = 21 [ Un(X) - Un-2(X) ] .Les polynômes T
n et Un sont préprogrammés dans Maple : package orthopoly. T1(X) = X U0(X) = 1
T2(X) = 2.X2 - 1 U1(X) = 2.X
T3(X) = 4.X3 - 3.X U2(X) = 4.X2 - 1
T4(X) = 8.X4 - 8.X2 + 1 U3(X) = 8.X3 - 4.X
T5(X) = 16.X5 - 20.X3 + 5.X U4(X) = 16.X4 - 12.X2 + 1 T6(X) = 32.X6 - 48.X4 + 18.X2 - 1 U5(X) = 32.X5 - 32.X3 + 6.X2.4. Variations des
Tn, ou la fraise du duc.
Graphes des polynômes Tn(x) , 0 ££££ n ££££ 7Le duc d"Alençon, par François Clouet
Exercice 9 : Tableaux de variations de Tn sur R. Graphes ? Ces tableaux de variations confirment et précisent les informations antérieures.Si b est réel, l"équation T
n(x) = b a :· n solutions réelles si -1 < b < 1 ;
· ses solutions réelles, mais multiples si b = ±1 ; · une solution réelle si 1 < b, n impair ou si b < -1, n pair ;· deux solutions réelles si 1 < b, n pair ;
· 0 solution réelle si b < -1, n pair.
Notons que sur [-1, 1], les graphes des polynômes de Tchebychev sont des courbes de Lissajousparticulières, car ils ont pour équation paramétrique : x = cos q , y = cos nq . Ils proviennent donc de
la composition de deux phénomènes vibratoires.Plus généralement, les courbes de Lissajous x = cos(pq), y = cos(qq) ont une image incluse dans la
courbe algébrique d"équation résultant(T p(t) - x , Tq(t) - y , t) = 0.2.5. Quotients et pgcd
Proposition 5 : i) pgcd(U
m(X), Un(X)) = Ud-1(X), où d = pgcd(m + 1, n + 1). ii) Si d = pgcd(m, n), m = d.m1, n = d.n1, alors :
· Si m
1 et n1 sont impairs, pgcd(Tm(X), Tn(X)) = Td(X),
6 · Si m1 ou n1 est pair, pgcd(Tm(X), Tn(X)) = 1.Preuve
: Les polynômes étant scindés à racines simples, il suffit de trouver leurs racines communes.