Probl eme - CEMC

Durée estimée de la totalité de l'activité: 1h30 Énoncé : Un quadrilatère possède 2 diagonales Un pentagone possède 5 diagonales Combien de diagonales un polygone à 103 côtés possède-t-il ? Modalités de gestion possibles : - recherche individuelle (15 minutes) - travail par groupes d'élèves réunis par « stratégies » (45

Probl eme - CEMC

Polygones: Combien de diagonales? (Groupes de deux el eves ou plus) Une diagonale d’un polygone r egulier est un segment de droite qui joint deux sommets non adjacents Comme on le voit ci-dessous, un carr e a deux diagonales et un pentagone en a cinq a) Combien de diagonales un hexagone r egulier admet-il? (Trace-les )

RACONTE-MOI COMMENT TU RÉFLÉCHIS Quand le prof de français s

Combien de diagonales a un polygone à 100 côtés ? Combien de diagonales a un polygone à 200 côtés ? Nous avons scanné toutes les copies des élèves avant de leur rendre à partir du sujet n° 2

Problème de diagonales - Créer un blog gratuitement

Problème de diagonales Enoncé initial : On voudait onnaît e, sans avoi à le t a e , le nome de diagonales d’un polygone onvexe Pa exemple, combien de diagonales dans un octogone, dans un dodécagone ? Organisation du travail : Matériel : polygones réguliers convexes pour la recherche Séance 1 :

TD1 Dénombrement prof : ATMANI NAJIB 1BAC SM BIOF

2)on recherche le nombre de diagonales d'un polygone à n sommets a)tracer et déterminer le nombre de diagonales d'un polygone dans les cas suivants : n 4 et n 5 et n 6 b) Quelle est le nombre des côtés d'un polygone à n sommets ? c) en déduire le nombre de diagonales d'un polygone à n sommets

TD-DENOMBREMENT

Combien de diagonales contient un polygone convexe à n côtés club à un spectacle 1) Combien de groupes de 5 personnes peut-on

Énoncés Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3

Classe de 3e – Chapitre 2 – La proportionnalité – Fiche A Exercice 6 Un quadrilatère a 4 côtés et 2 diagonales Un octogone a 8 côtés et 20 diagonales Le nombre de côtés double mais pas le nombre de diagonales Le nombre de diagonales d'un polygone n'est pas proportionnel au nombre de ses côtés Exercice 7

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Si on considère un polygone à n sommets, de chacun des sommets, il y a (n – 3) diagonales qui partent et ces diagonale sont comptés deux fois Donc pour n sommets, on a (n – 3) x n / 2 diagonales Le tournoi Au tennis il y a 128 participants inscrits Après chaque match, le perdant est éliminé et le vainqueur refait un nouveau match

1 Quest-ce quune narration de recherche

• Si n est un entier, combien de diagonales possède un polygone à "n" côtés ? Tu pourras chercher la solution seul(e) ou à plusieurs (à condition de l'écrire explicitement au début de ta copie) mais ta rédaction devra dans tous les cas être personnelle

Exercice 1 −− 6666 ptsppttsspts - « Des maths & de l

erronée; elle les élimine toutes de façon certaine De combien de façons peut-elle maintenant terminer son QCM ? Exercice 6Exercice 6 − 1 pt hors barème1 pt hors barème1 pt hors barème Combien un polygone convexe à n sommets possède-t-il de diagonales ? (Un polygone est convexe si ses diagonales sont toutes à l'intérieur du polygone)

Comme on le voit ci-dessous, un carre a deux diagonales et un pentagone en a cinq.a) Combien de diagonales un hexagone regulier admet-il? (Trace-les.)

b) Combien de diagonales un heptagone regulier admet-il? (Trace-les.)

c) Combien de diagonales un octogone regulier admet-il?HexagoneHeptagone Octogoned) Utilise les renseignements des parties a), b) et c) pour remplir

le tableau ci-contre jusqu'a la ligne pour 8 c^otes. Utilise la regularite du tableau pour predire le nombre de diagonales qu'un dodecagone (polygone a 12 c^otes) regulier admet. Verie en tracant les diagonales dans la gure ci-dessous.Nombre deNombre de c^otesdiagonales 30
4 5 6 7 8 12

Prolongement

1. Supposons que les polygones n'etaient pas reguliers, c'est-a-dire que les c^otes n'etaient pas

congrus ou que les angles n'etaient pas congrus. Tes reponses seraient-elles dierentes? 1 Modelisation et algebrecercle 2 Probleme 6 2010-2011Indices

Suggestions: Il s'agit d'une activite de decouverte guidee. On peut la presenter comme activite indi-

viduelle ou activite de groupe. Si les eleves travaillent en groupes, on peut presenter un polygone a

chaque groupe. Voici d'autres suggestions:

1. Suggerer aux eleves d'utiliser une couleur particuliere pour toutes les diagonales qui partent

d'un m^eme sommet et de changer de couleur pour les diagonales qui partent d'un deuxieme sommet. Ceci aide a eviter qu'une m^eme diagonale ne soit comptee plus d'une fois.

2. Lorsque les eleves ont termine les parties a), b) et c), les faire travailler en groupe-classe pour

remplir le tableau jusqu'a la ligne de 8 c^otes dans la partie d).

3. Pour voir une regularite, il faut compter de facon structuree. Par exemple, tracer les diagonales

d'un octogone par etapes, en utilisant un grand octogone au tableau ou un transparent.A partir du sommet 1, on peut tracer 5 diagonales (en rouge dans la gure suivante) en joignant

le sommet 1 aux autres sommets non adjacents (les sommets 3, 4, 5, 6 et 7).A partir du sommet 2, on peut tracer 5 autres diagonales (en bleu) en joignant le sommet 2

aux autres sommets non adjacents (les sommets 4, 5, 6, 7 et 8).A partir du sommet 3, on peut seulement tracer 4 nouvelles diagonales (en noir).

Demander aux eleves combien on peut tracer de nouvelles diagonales a partir du sommet 4 (3|lignes a tirets rouges), puis a partir du sommet 5 (2|lignes a tirets bleus), puis a partir du sommet 6 (1|ligne a tirets noirs). Le nombre de diagonales est egal a 5 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1, ou 20.1 2 3 4 56781
2 3 4 56781
2 3 4 56781
2 3 4 5678

Diagonales partir du sommet 1 (5)Diagonales partir des sommets 1 et 2 (5+5)Diagonales distinctes partir des sommets 1, 2 et 3 (5+5+4)Diagonales distinctes partir de tous les sommets (5+5+4+3+2+1)4. Pour faire re

echir les eleves au sujet du dodecagone, leur demander"Combien de diagonales peut-on tracer a partir du 1 ersommet?A partir du 2esommet?». Ceci devrait les mettre sur la piste a suivre, en adaptant la methode utilisee pour l'octogone. 2 Modelisation et algebrecercle 2 Probleme 6 2010-2011Solution a), b), c) Hexagone: Comme on le voit ci-dessous, le nombre de diagonales est egal a 3+3+2+1, ou 9. Heptagone: Le nombre de diagonales est egal a 4 + 4 + 3 + 2 + 1, ou 14. Octogone: Le nombre de diagonales est egal a 5 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1, ou 20.

(Voir l'explication plus detaillee donnee dans les Indices et suggestions pour le probleme 6.)HexagoneHeptagone Octogone1

2 3 4 5678
1 1 2 2 3 3 4 45566

7d) En suivant la methode utilisee pour l'octogone, il y a 9 (soit 123) diagonales qui partent

de chacun des deux premiers sommets du dodecagone (en rouge et en bleu dans les gures ci-dessous), 8 qui partent du sommet 3 (en noir), 7 qui partent du sommet 4 (lignes a traits rouges dans la derniere gure ci-dessous), 6 qui partent du sommet 5 (ligne a tirets bleus dans la derniere gure ci-dessous), 5 qui partent du sommet 6 (lignes a tirets noirs dans la derniere gure ci-dessous) et ainsi de suite, pour un total de 9+9+8+7+6+5+4+3+2+1, ou 54 diagonales. 12 3 4 5 6

89101112

Diagonales

partir des sommets 1 et 2 (9+9)7 12 3 4 5 6 8911
12

Diagonales partir du sommet 1 (9)7

Diagonales distinctes partir des sommets 1, 2 et 3 (9+9+8)Diagonales distinctes partir des sommets 1 6 (9+9+8+7+6+5)10

7 12 3 4 5 6 8911
12 10 7 12 3 4 5 6 8911
12

10Prolongement

1. Si un polygone non regulier a le m^eme nombre de sommets qu'un polygone regulier, les deux

auront le m^eme nombre de diagonales, puisqu'a chaque sommet correspondant, on pourra tracer le m^eme nombre de diagonales. 3quotesdbs_dbs3.pdfusesText_6

[PDF] Probl eme - CEMC

Les diagonales dun polygone - académie de Caen

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Prolongement

1. Supposons que les polygones n'etaient pas reguliers, c'est-a-dire que les c^otes n'etaient pas

1. Suggerer aux eleves d'utiliser une couleur particuliere pour toutes les diagonales qui partent

2. Lorsque les eleves ont termine les parties a), b) et c), les faire travailler en groupe-classe pour

3. Pour voir une regularite, il faut compter de facon structuree. Par exemple, tracer les diagonales

7d) En suivant la methode utilisee pour l'octogone, il y a 9 (soit 123) diagonales qui partent

89101112

Diagonales

Diagonales partir du sommet 1 (9)7

10Prolongement

1. Si un polygone non regulier a le m^eme nombre de sommets qu'un polygone regulier, les deux