1 Equations du 2´ e degr´e - Lycée Jean Vilar
7 Etude du signe d’une expression´ M´ethodes • Si c’est une expression affine, je r´esous une in´equation • Si c’est un polynˆome du second degr´e, je d´eterminer les racines et j’applique la r`egle du signe du trinˆome • Si c’est un polynˆome de degr´e sup´erieur ou ´egal `a 3 ou bien une fraction rationnelle,
Second degré Équations et inéquations
Second degré – Équations et inéquations 1ère leçon –Trinôme et signe du trinôme I - Trinôme Propriété Soit P(x) = ax² + bx + c, un trinôme du second degré, où a, b, c sont des nombres réels avec a 0 Le discriminant de ce trinôme est le réel b² - 4ac = b² - 4ac
CHAPITRE 3 : ÉQUATIONS, INÉQUATIONS 4ºESO et SYSTÈMES
1 ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ Équations du second degré encore appelée équation quadratique Ce sont les équations qui, après transformations, se présente sous la forme suivante ax2 +bx+c=0, dans laquelle a, b et c sont des nombres connus et x l’inconnue Équations complètes Si b , on dit que l’équation est
FICHE METHODE sur les INQUATIONS de DEGRE DEUX I) A quoi sert
Définition 1 : ( INEQUATION DU SECOND DEGRE ) Une inéquation du second degré est une équation de la forme : ax² + bx + c ≥≥≥ 0 ( ≤≤≤ , ) Où : a,b et c sont trois réels donnés et connus avec a ≠≠≠≠ 0 et x est un réel inconnu
In equation et Polyn^ome du second degr e - jaicompriscom
Signe d’un polyn^ome du second degr e - Tableau de signe D eterminer le signe des trin^omes suivants selon les valeurs du r eel x : P(x) = 3x2 + 6x 9 Q(x) = 2x2 x+ 1 8 R(x) = 4x2 + 4x 5 R esoudre une in equation avec fraction - Tableau de signe - Polyn^ome du second degr e R esoudre dans R l’in equation 4x 20 x2 + x+ 2 6 2
SECOND DEGRÉ (Partie 2) - Maths & tiques
Soit f une fonction polynôme du second degré, telle que : f(x)=ax2+bx+c a) Cas où Δ < 0 Dans ce cas, l’équation ax2+bx+c=0 n’a pas de solution donc la parabole ne traverse pas l’axe des abscisses Selon le signe de a, elle est soit au dessus, soit en dessous de l’axe des abscisses
Le second degré - exercices
Le second degré - exercices Exercice 1 Pour chacune des fonctions polynômes d'expression ax bx c2 + + qui suit, préciser les valeurs des réels a , b et c , puis calculer le discriminant Donner les résultats entiers , décimaux, ou sous la forme d’une fraction simplifiée si ce n’est pas un décimal pour le calcul de ∆
Inéquations : exercices
Inéquations : exercices Les réponses (non détaillées) aux questions sont disponibles à la fin du document Exercice 1 : Résoudre dans R les inéquations suivantes :
1ère S Ex second degré - sbe273f6bb7d2ef4ejimcontentcom
7 Équation du second degré avec paramètre Déterminons le nombre de solutions dans R de l’équation x x m2 3 0 (E) suivant les valeurs de m (E) est une équation du second degré ( m est un paramètre ) Il s’agit d’une équation du second degré avec paramètre
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de la 1`ereS `a la TS.´Equations, ´etude de signes et in´equations
1´Equations du 2edegr´e.
R´esoudre dansRles ´equations suivantes :
1. 2x2-3x-5 = 0.
2.x2-5x+ 2 = 0.
3.x2-2x+ 6 = 0.
4.x2-6x+ 9 = 0.
5.x(x-3) = 2(x-1).
6. (x-2)(x+ 3) = (x-2)(4x+ 1).
AideR´eponses
2´Equations avec changements de variable.
R´esoudre dansRles ´equations suivantes :
1.x4-7x2+ 12 = 0.
2.x4+ 3x2+ 2 = 0.
3. 4x4+ 4x2-3 = 0.
4.x-3⎷
x-4 = 0. AideR´eponses
3 Chercher l"erreur.
Il y a une erreur dans la suite d"enchaˆınements ci-dessous. `A quel endroit et pourquoi?Je pars dex= 1.
J"´el`eve les deux membres au carr´e :x2= 1.Je change de membre :x2-1 = 0.
Je factorise : (x+ 1)(x-1) = 0.
Je divise parx-1 :(x+ 1)(x-1)
x-1=0x-1.Je simplifie l"´equation :x+ 1 = 0.
J"obtiens finalement :x=-1.
Conclusion : J"ai prouv´e que-1 = 1.
R´eponse
L.BILLOT 1DDL
de la 1`ereS `a la TS.´Equations, ´etude de signes et in´equations4´Equations avec des fractions rationnelles.
R´esoudre dansR:
1. x-2 x-3=x-1. 2. x2-x x-1= 2x+ 3. 3. 1 x=1x2. AideR´eponses
5´Equations avec des racines carr´ees.
Exercice plus difficile
R´esoudre dans l"ensemble des r´eels :
1.⎷
x=x-2.2.⎷
x-3 =-x+ 5.3.⎷
x+ 3 =x-4.4.⎷
x-1 =x. AideR´eponses
6´Equations avec des "racines ´evidentes".
1. On consid`ere l"´equation 2x3-13x2+ 5x+ 6 = 0 (E1)
(a) Montrer que le nombre 1 est racine de (E1). (b) D´eterminer trois r´eelsa, betctels que : 2x3-13x2+5x+6 = (x-1)(ax2+bx+c). (c) R´esoudre dansRl"´equation (E1)2. Apr`es avoir d´etermin´e une racine ´evidente, r´esoudre les ´equations suivantes :
(a) 6x3+ 25x2+ 21x-10 = 0 (E2). (b)x3-x2-4x-6 = 0 (E3). (c)x4+ 2x3-5x2-8x+ 4 = 0 (E4). (Il faut trouver deux racines ´evidentes) AideR´eponses
L.BILLOT 2DDL
de la 1`ereS `a la TS.´Equations, ´etude de signes et in´equations7´Etude du signe d"une expression
M´ethodes
Si c"est une expression affine, je r´esous une in´equation.Si c"est un polynˆome du second degr´e, je d´eterminer les racines et j"applique la r`egle
du signe du trinˆome.Si c"est un polynˆome de degr´e sup´erieur ou ´egal `a 3 ou bien une fraction rationnelle,
je fais un tableau de signes.Attention :
Une r´esolution d"´equation ne peut, en aucun cas, justifierle signe d"une expression. D´eterminer le signe des expressions suivantes :1.A(x) = 2x-3.
2.B(x) =-1
2x-73.
3.C(x) =x(x+ 3).
4.D(x) = 4-x2.
5.E(x) =x2-3x+ 4.
6.F(x) = 6x3+ 25x2+ 21x-10.
7.G(x) =(x-5)(x+ 1)
x-28.H(x) =x2+ 1
1-x2.9.I(x) =x4-7x2+ 12.
R´eponses
L"exercice suivant faisant la synth`ese du chapitre, il n"ya aucune explication dans le corrig´e, uniquement les r´eponses.`A vous de bien choisir les m´ethodes `a appliquer.8 R´esolution d"in´equations
R´esoudre dansRles in´equations suivantes :
1.-x+ 5?8.
2. 2(x+ 2)>5x+ 6.
3. 2x(x+ 2)>5x+ 6.
4. x x2-1?0. 5. x (x-1)2?0.6.x3+ 3x2-7x-21?0.
7. x-22x+ 1?x+ 4.
8. x x-2?-x+ 4.L.BILLOT 3DDL
de la 1`ereS `a la TS.´Equations, ´etude de signes et in´equations AideExercice n°1:
On utilise bien sˆur le discriminant.
Pour la 5e´equation, il faut d"abord ´ecrire l"´equation sous la formeax2+bx+c= 0. Pour la 6e´equation, vous pouvez utiliser le cours de coll`ege, ou le cours de premi`ere.Retour
Exercice n°2:
Les trois premi`eres sont des ´equations bicarr´ees, c"est`a dire que l"inconnue est `a la puisance 4, 2 et 0. Je pose doncX=x2et je me ram`ene `a une ´equation du second degr´e dont l"inconnue estX. Je ne dois pas oublier `a la fin de donner les solutions de l"´equation de d´epart.Pour la derni`ere, je dois poserX=⎷
x. (Bien sˆurxdoit ˆetre positif)Retour
Exercice n°4:
Il faut d"abord exclure les valeurs qui annulent le d´enominateur, puis se ramener `a une´equation de la formeax2+bx+c= 0.
Retour
Exercice n°5:
La relationa=b?a2=b2n"est pas vraie si les deux nombres sont de signes contraires.Pour que l"´equation :⎷
x=x-2 soit v´erifi´ee, il faut quex?0. Si l"on met cette ´equation au carr´e, l"ensemble des solutions sera-t-il inchang´e?Retour
Exercice n°6:
Pour d´eterminer des racines ´evidentes, on peut :1. Remplacer l"inconnue par des valeurs enti`eres dexcomprises entre-5 et 5 et trouver
celle(s) qui annule(nt) le polynˆome.2. Tracer la courbe repr´esentative du polynˆome puis regarder les abscisses des points
d"intersection avec l"axe des abscisses.3. Apprendre `a utiliser sa calculatrice (ex : G-solv-Root dans le menu Graph ou le
menu Equa sur Casio)Retour
L.BILLOT 4DDL
de la 1`ereS `a la TS.´Equations, ´etude de signes et in´equationsCorrection
1´Equations du second degr´e
1. Δ = 49>0, donc l"´equation admet deux solutions r´eelles :
x=3 +⎷ 494=52etx=3-⎷
494=-1.