TrigonomØtrie I Fonctions circulaires - H&K
Arcsin x Arccos x Arctan x Arccot x Ensemble de dØ˝nition [ 1;1] [ 1;1] R R PØriode aucune aucune aucune aucune ParitØ impaire aucune impaire aucune Ensemble de dØrivabilitØ] 1;1[ ] 1;1[ R R DØrivØe 1 p 1 x2 1 p 1 x2 1 1+x 2 1 1+x 3 Relations Arccos x+Arcsin x = ˇ 2 Arctan x+Arctan y = Arctan x+y 1 xy +"ˇ avec " = 8 >> < >>: 0 si xy
ChapitreVFonctions arcsin arccos arctan 1 Définitions
1 3 arctan Proposition1 3 La fonction tan : [ ˇ=2;ˇ=2] R est une bijection On note arctan : R [ ˇ=2;ˇ=2] la fonction réciproque i e si x2R, alorsy= arctanx,tany= xET ˇ=2
1 Fonctions r eciproques des fonctions trigonom etriques
Comment conna^ tre la valeur de arctan(y) (pour quelques valeurs remarquables de y) ? Pour tout y2R, arctan(y) est un angle compris entre ˇ 2 et ˇ 2 dont la tangente vaut y En vous inspirant des tableaux de valeurs qui ont et e faits pour les fonctions arccos et arcsin, vous pouvez faire de m^eme avec la fonction arctan Repr esentation
Master EF 1 2011 - 2012 Formulaire de trigonom´etrie 1
Universit´e Pierre et Marie Curie Master EF 1`ere ann´ee - CAPES 2011 - 2012 Formulaire de trigonom´etrie 1 Fonctions trigonom´etriques On d´efinit les fonctions cos, sin et tan par les formules
TD 4 Fonctions circulaires et hyperboli˙es
—Pour les calculs suivants, il s’agit à nouveau de valeurs remarquables, mais il faut être vigilant sur les domaines d’arrivée d’arccos et arcsin : arcsin sin 3π 2 = − π 2 et arctan tan 9π 4 = π 4 Exercice 2 1)Posons f: R∗→R la fonction dé˙nie par f(x) = arctan(x) + arctan 1 x Cette fonction est dérivable sur R∗, et
DS n 2 : Fonctions usuelles; nombres complexes
arctan sh ln3 2 = 1 2 arctan 1 p 3 = ˇ 12 (pensez aux valeurs remarquables de tangente ) De m^eme, g ln3 2 = arctan 1 p 3 + 2 On obtient donc tan ˇ 12 = tan arctan 1 p 3 + 2 = 1 p 3 + 2 Exercice 1 On d e nit le polyn^ome P(X) = 1 2i (X+ i)5 (X i)5 1)Question de cours : donner la d e nition et l’expression des racines 5i emes de l
Travaux dirigés - Fonctions
– connaitre les valeurs remarquables des fonctions cosinus et sinus – savoir dériver les fonctions cos et sin –savoir étudier le signe des fonctions cos et sin Objectifs : – comprendre le procédé de construction des fonctions arccos, arcsin et arctan – connaître les ensembles de définition et dérivées de arccos, arcsin et arctan
Rappels sur les fonctions usuelles Logarithme f x7→ln x
Lycée La Bruyère, Versailles 2012/2013 ECS 2 – Mathématiques Rappels sur les fonctions usuelles 1 Logarithme f :x7→lnx • Définition : primitive de x 7→1 x sur ]0,+∞[s’annulant en 1
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Universit´e Pierre et Marie CurieMaster EF 1`ereann´ee - CAPES
2011 - 2012
Formulaire de trigonom´etrie
1 Fonctions trigonom´etriques
On d´efinit les fonctions cos, sin et tan par les formules cos(x) =eix+e-ix2= Re(eix),sin(x) =eix-e-ix2i= Im(eix) et tan(x) =sin(x)cos(x)
(on rappelle queezest d´efini pour tout nombre complexezcomme la somme?∞n=0zn n!). On a notamment e ix= cos(x) +isin(x). On d´efinit le nombreπ/2 comme le plus petit r´eel positifxtel que cos(x) = 0. Les fonctions cos et sin sont de classeC∞et 2π-p´eriodiques deRdans [-1,1]. La fonction tan est de classeC∞etπ-p´eriodique deR\ {π2+kπ,k?Z}dansR.
Les fonctions trigonom´etriques satisfont les propri´et´es suivantes, qui se v´erifient simplement sur le cercle
trigonom´etrique. •sin(x) = sin(π-x) =-sin(π+x) =-sin(-x) ; •cos(x) = cos(-x) =-cos(π-x) =-cos(π+x) ; •tan(x) = tan(x+π) =-tan(-x) =-tan(π-x) ; •cos(π2-x) = sin(x) et donc sin(π2-x) = cos(x).
•cos2(x) + sin2(x) = 1, d"o`u l"on d´eduit1 cos2(x)= 1 + tan2(x). 1 cos(x)sin(x) tan(x)1xπ+xπ-x
-xπ/2-x
On peut donner explicitement quelques valeurs remarquables : cos(0) = 1 ; cos 6? 32; cos?π4?
22; cos?π3?
=12; cos?π2? = 0.On en d´eduit
sin(0) = 0 ; sin 6? =12; sin?π4? 22; sin?π3?
32; sin?π2?
= 1 et tan(0) = 0 ; tan?π 6? =1⎷3; tan?π4? = 1 ; tan?π3? =⎷3 ; tan?π2? = ind´etermin´e.2 Sommes et produitsAngle somme :
•sin(x+y) = sin(x)cos(y) + sin(y)cos(x) ; •cos(x+y) = cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y) ; •tan(x+y) =tan(x)+tan(y)1-tan(x)tan(y);
•sin(2x) = 2sin(x)cos(x) ; •cos(2x) = cos2(x)-sin2(x) ; •cos(2x) = 1-2sin2(x) = 2cos2(x)-1 ; •tan(2x) =2tan(x)1-tan2(x).
Produit en somme :
•sin(x)cos(y) =12(sin(x+y) + sin(x-y)) ;
•sin(x)sin(y) =12(cos(x-y)-cos(x+y)) ;
•cos(x)cos(y) =12(cos(x+y) + cos(x-y)).
Somme en produit :
•sin(x) + sin(y) = 2sin(x+y2)cos(x-y2) ;
•cos(x)-cos(y) = 2sin(x+y2)sin(x-y2) ;
•cos(x) + cos(y) =-2cos(x+y2)cos(x-y2);
•tan(x) + tan(y) =sin(x+y) cos(x)cos(y). Formules utilisant la tangente de l"arc moiti´e : •cos(x) =1-tan2(x/2)1+tan2(x/2);
•sin(x) =2tan(x/2)1+tan2(x/2);
•tan(x) =2tan(x/2)1-tan2(x/2).
Ces derni`eres formules fournissent notamment une param´etrisation du cercle par des fractions rationnelles
γ(t) =?1-t2
1 +t2,2t1 +t2?
On peut exprimer cos(nx) comme un polynˆome en cos(x) : cos(nx) =Tn(cos(x)),o`uT0= 1, T1=X, Tn+2= 2XTn+1-Tn (lesTnsont appel´espolynˆomes de Tchebychev).Formule de De Moivre :
(cos(a) +icos(b))n= cos(na) +isin(na) On peut lin´eariser les puissances de cos et sin, ainsi que leur produits : cos n(x) =?eix+e-ix 2? n =12nn k=0C kneix(2k-n), sin n(x) =?eix-e-ix 2i? n =12inn k=0C kn(-1)n-keix(2k-n). 23 Fonctions r´eciproquesLa fonction sin est bijective de tout intervalle de la forme [kπ-π
2,kπ+π2] dans [-1,1]. On note arcsin
sa r´eciproque de [-1,1] dans [-π2,π2].
La fonction cos est bijective de tout intervalle de la forme [kπ,(k+ 1)π] dans [-1,1]. On note arccos sa
r´eciproque de [-1,1] dans [0,π]. La fonction tan est bijective de tout intervalle de la forme ]kπ-π