ETUDE DE LA FONCTION TANGENTE - Pierre Lux
La fonction tangente est dérivable sur D et pour tout réel x de D on a : tan ' x = 1 + tan 2 x = 1 cos 2 x Preuve : Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur D et cos x ≠ 0 sur D , donc la fonction tangente est dérivable sur D et pour tout réel x de D on a : tan ' x = cos 2 x + sin 2 x cos 2 x = 1 + tan 2 x = 1 cos 2 x Tableau
1 Nombre dérivé et tangente à une courbe
1 3 2 Équation de la tangente Définition 3 Dans un repère, soit f une fonction dérivable en a La tangente T à la courbe C f représentative de la fonction f au point A d’abscisse a est la droite passant par A et de coefficient directeur
ETUDE DES FONCTIONS - AlloSchool
IV) DEMI-TANGENTE VERTICALE Propriété : Soit ???? une fonction définie sur un intervalle de la forme [ , + ????[Si ???? est continue à droite de et lim xa f x f a o xa rf Alors la courbe ???? admet une demi-tangente verticale à droite de Interprétation géométriques V) LES ELEMENTS DE SYMETRIE D’UNE COURBE
Master EF 1 2011 - 2012 Formulaire de trigonom´etrie 1
La fonction cos est bijective de tout intervalle de la forme [kπ,(k + 1)π] dans [−1,1] On note arccos sa r´eciproque de [−1,1] dans [0,π] La fonction tan est bijective de tout intervalle de la forme ]kπ − π 2,kπ + 2 [ dans R On note arctan sa r´eciproque de [−1,1] dans [−π 2, π 2] Ces trois fonctions v´erifient les
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Propriété : Soit une fonction définie sur un intervalle de la forme [ , +????[ Si ???? est continue à droite de et ???? →????+ ????( )−????(????) −???? =±∞ alors la courbe admet une demi-tangente verticale à droite de Exercice : Soit la fonction définie sur ℝ (par : )= − ( ) 1
Une fonction
Soit la fonction définie sur ℝ∗ par =1 ???? et ???????? sa courbe représentative dans un repère orthonormé Affirmation 2 « Il existe un point de la courbe où la tangente à la courbe est parallèle à la droite d’équation =−3 +1
Maths fonction exponentielle 2juin
est la courbe représentative de la fonction exponentielle est un réel 7est le point de coordonnées ;0 8est le point de la courbe d’abscisse 9est le point d’intersection de la tangente :;à la courbe en 8et de l’axe des abscisses Affirmation 4: «La distance 97ne dépend pas de » Affirmation 4
Chapitre 9 : Fonctions dérivées
Propriété : le tableau ci-dessous donne la dérivée des fonctions usuelles Fonction Définie sur Dérivable sur Fonction dérivée Fonction constante : x k (k ∈ ℝ) ℝ ℝ x 0 Fonction affine : x ax b ℝ ℝ x a Fonction carré : x x2 ℝ ℝ x 2x Fonction cube : x x3 ℝ ℝ x 3x2 Fonction puissance : x xn (n ∈ ℕ*) ℝ ℝ x nxn–1
CONVEXITÉ - Maths & tiques
- La fonction racine carrée ⎣xx est concave sur ⎡0;+∞⎡⎣ - Admis - Notation : La dérivée d’une fonction dérivée f ' se note f '’ Propriété : Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I La fonction f est convexe sur I si sa dérivée f ' est croissante sur I, soit f''(x)≥0 pour tout x de I
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YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1CONVEXITÉ I. Fonction convexe et fonction concave Vidéo https://youtu.be/ERML85y_s6E Définitions : Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I. La fonction f est convexe sur I si, sur l'intervalle I, sa courbe représentative est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes. La fonction f est concave sur I si, sur l'intervalle I, sa courbe représentative est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes. Fonction convexe Fonction concave Propriétés : - La fonction carré
x!x 2 est convexe sur . - La fonction cube x!x 3 est concave sur -∞,0 et convexe sur0;+∞
. - La fonction inverse x! 1 x est concave sur -∞;0 et convexe sur0;+∞
. - La fonction racine carrée x!x est concave sur0;+∞
. - Admis - Notation : La dérivée d'une fonction dérivée f ' se note f ''. Propriété : Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I. La fonction f est convexe sur I si sa dérivée f ' est croissante sur I, soit f''(x)≥0
pour tout x de I. La fonction f est concave sur I si sa dérivée f ' est décroissante sur I, soit f''(x)≤0
pour tout x de I. - Admis -YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr2 Méthode : Etudier la convexité d'une fonction Vidéo https://youtu.be/8H2aYKN8NGE Soit la fonction f définie sur
par f(x)= 1 3 x 3 -9x 2 +4 . Etudier la convexité de la fonction f. Pour tout x de , on a f'(x)=x 2 -18x . Pour tout x de , on a f''(x)=2x-18 qui s'annule pour x=9 . Pour tout x≤9 f''(x)≤0Pour tout x≥9
f''(x)≥0 f ' est donc strictement décroissante sur -∞;9 et donc f est concave sur -∞;9 . f ' est donc strictement croissante sur 9;+∞ et donc f est convexe sur 9;+∞. II. Point d'inflexion Vidéo https://youtu.be/r8sYr6ToeLo Définition : Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I. Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente en ce point. Remarque importante : Au point d'inflexion, la fonction change de convexité. Exemple : On considère la fonction cube
x!x 3 . La tangente au point O(0,0) est l'axe des abscisses. Pour x≤0 , la courbe est en dessous de sa tangente. x≥0, la courbe est au-dessus de sa tangente. La tangente à la courbe en O traverse donc la courbe. Le point O est un point d'inflexion de la courbe de la fonction cube. Méthode : Etudier la convexité pour résoudre un problème Vidéo https://youtu.be/_XlgCeLcN1k Une entreprise fabrique des clés USB avec un maximum de 10000 par mois. Le coût de fabrication C (en milliers d'euros) de x milliers de clés produites s'exprime par :
C(x)=0,05x
3 -1,05x 2 +8x+4. 1) À l'aide de la calculatrice graphique, évaluer la convexité de la fonction C. En déduire si la courbe possède un point d'inflexion. 2) Démontrer ces résultats. 3) Interpréter les résultats obtenus. 1) La fonction semble concave sur l'intervalle [0 ; 7] et convexe sur l'intervalle [7 ; 10]. La courbe semble posséder un point d'inflexion pour
x=7 . 2)C(x)=0,05x
3 -1,05x 2 +8x+4C'(x)=0,15x
2 -2,1x+8C''(x)=0,3x-2,1
Or0,3x-2,1=0
pour x=7 . On peut ainsi résumer les variations de C' et la convexité de C dans le tableau suivant : x0 7 10
C''(x)
- 0 + C'(x) Convexité de C concave convexeC(7)=25,7
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr4Ainsi, le point de coordonnées (7 ; 25,7) est un point d'inflexion de la courbe. 3) Après le point d'inflexion, la fonction est convexe, la croissance du coût de fabrication C s'accélère. Avant le point d'inflexion, la fonction est concave, la croissance du coût de fabrication ralentie. Ainsi, à partir de 7000 clés produites, la croissance du coût de fabrication s'accélère. Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
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