THEORIE DU CHAMP ELECTROMAGNETIQUE
Calculer le champ et le potentiel électriques produits par un filament rectiligne, infiniment long, portant une charge ρ par unité de longueur Exercice : Soit un disque de rayon R chargé uniformément en surface avec une densité surfacique σ > 0 1) Calculer le champ électrique E(M) en un point quelconque M sur l’axe du disque
Théorie des champs
Théorie de Jauge Un Univers qui ne serait constitué que de quarks et de leptons serait ennuyeux et improductif La dynamique est ce qui décrit leurs interactions, en particulier les états liés dans les hadrons et les atomes Une conséquence intéressante de la Relativité et de la mécanique quantique est que leur interaction peut être
Th eorie Classique des Champs - LKB
Nous pourrons alors voir comment l’ electromagn etisme emerge naturellement comme la seule th eorie de champ non triviale en relativit e Force de Lorentz, equations de Maxwell seront d eduites logiquement de la structure relativiste, au prix de postulats simples sur la forme du champ et de son interaction avec les charges
Introduction a la th eorie quantique des champs
Lundi 28 Septembre 2020 { D ebut du chapitre II avec l’ etude du champ scalaire de Klein{Gordon ou champ neutre de spin 0 Nous nous int eresserons tout d’abord a la d erivation classique des equations que ce champ v eri e et nous construirons son tenseur impulsion{ energie gr^ace au th eor eme de Noether
Notions de champ Conceptuel, Règles D action
Notions de champ Conceptuel, Régles D’action Didactiques de Mathématiques 4 TEXTES THEORIQUES 1 Théorie de Vergnaud : La théorie des champs conceptuels, théorie cognitiviste élaborée par G Vergnaud, a pour objectif de « fournir un cadre qui permette de comprendre les
Kurt Lewin et l’accompagnement du changement 1 Contexte
2 2 1 La théorie du champ Clé de voûte de son approche, la théorie du champ cherche à expliquer le comportement de l’individu en prenant en compte la structure et la dynamique de son espace psychologique à un moment donné (Allard-Poesi, 2002) Lewin utilise deux métaphores pour décrire sa
L’approximation du champ moyen et la théorie de Laudau des
L’approximation du champ moyen et la théorie de Laudau des phénomènes critiques 2 1 Le modèle d’Ising dans l’approximation du champ moyen 2 1 1 Approximation variationnelle, théorie générale Le champ moyen est un cas particulier d’approximation basée sur une méthode variationnelle Les mé-
L’Habitus, Pierre Bourdieu (Fiche concept)
inconsciemment, les positions de chacun dans l’espace social Pour comprendre la notion d’habitus, il convient de revenir sur la notion de « champ » et de « capital », au fondement même de l’analyse bourdieusienne de « la structure sociale » En effet, il saisit le monde social comme divisé en ce qu’il nomme des « champs »
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Universites de Grenoble Alpes & de Savoie Mont Blanc
Master 2eme annee de physique
Parcours physique subatomique et cosmologiePSC
Septembre 2020 a Fevrier 2021Introduction a la theorie quantique des champsPierre Salati
1;2 1 Laboratoire d'Annecy{le{Vieux de Physique Theorique LAPTh,9 Chemin de Bellevue, B.P. 110, 74941 Annecy-le-Vieux Cedex
2 Universite Savoie Mont Blanc, B.P. 1104, 73011 Chambery Cedex salati@lapth.cnrs.fr & pierre.salati@univ-smb.fr telephone 04.50.09.16.69 site web http://lapth.cnrs.fr/pg-nomin/salati/Plan du cours Lundi 7 Septembre 2020 { Nous commencerons par des revisions sur les equations d'Euler-Lagrange et le formalisme hamiltonien. L'etude de l'oscillateur harmonique sera l'occasion d'introduire les operateurs d'annihilation et de creation ainsi que les schemas de Schrodinger et Heisenberg. Principe de quantication canonique. Lundi 14 Septembre 2020 { Le chapitreInous permettra de nous preparer a la quan- tication canonique du champ scalaire gr^ace a un rappel sur les phonons et a une etude classique puis quantique de la ligne continue parcourue par des ondes sonores. Lundi 21 Septembre 2020 { Suite et n du chapitreI. i Lundi 28 Septembre 2020 { Debut du chapitreIIavec l'etude du champ scalaire de Klein{Gordon ou champ neutre de spin 0. Nous nous interesserons tout d'abord a la derivation classique des equations que ce champ verie et nous construirons son tenseur impulsion{energie gr^ace au theoreme de Noether. Lundi 5 Octobre 2020 { Suite du chapitreIIavec l'etude de la quantication canonique du champ scalaire neutre et la construction des operateurs Hamiltonien et impulsion. Puis nous passerons au champ scalaire charge susceptible de decrire les pions. Lundi 12 Octobre 2020 { Suite du chapitreII. Nous insisterons sur le propagateur de Feynman associe au champ scalaire charge ainsi que sur le T{produit. Lundi 19 Octobre 2020 { Suite du chapitreIIavec la quantication du champelectromagnetique dont nous aurons au prealable rappele les proprietes classiques. Equations de Maxwell et invariance de jauge. Formalisme Lagrangien et tenseur impulsion{energie. Lundi 2 Novembre 2020 { Nousetudierons la quantication du champelectromagnetique via la methode de Gupta{Bleuler. Lundi 9 Novembre 2020 { Suite du chapitreIIavec le champ fermionique de spin demi{ entier. Nous commencerons par des revisions sur l'equation de Dirac qui a ete etudiee en cours de mecanique quantique relativiste en M1. Puis analyse Lagrangienne et tenseur impulsion{energie. Lundi 16 Novembre 2020 { Suite de l'etude du champ fermionique. Seconde quantica- tion et derivation des relations d'anticommutation qui traduisent le fait qu'une particule de spin demi{entier est un fermion. Nous terminerons avec le propagateur de Feynman de l'electron qui a ete derive en cours de mecanique quantique relativiste en M1. Lundi 23 Novembre 2020 { Jusqu'a present, les champs quantiques etudies etaient libres. Nous les mettons desormais en interaction dans le chapitreIIIavec tout d'abord des rappels sur la theorie des perturbations et la matrice S. Schemas de Schrodinger et de Heisenberg et Hamiltonien libreH0. Cas general et operateur d'evolutionU. Schema d'interaction et matriceS. Lundi 30 Novembre 2020 { Suite du chapitreIIIconsacree a l'etude du theoreme de Wick. Demonstration dans le cas purement bosonique, puis dans le cas purement fermionique et pour nir dans le cas general. ii Lundi 7 Decembre 2020 { Fin du chapitreIII. Nous etablirons les regles de Feynman gr^ace au calcul de la section ecace d'un processus simple. Ecriture de l'element de matriceS. Reduction deSfiet regles de Feynman de l'electrodynamique quantique.Section ecace dierentielle.
Lundi 14 Decembre 2020 { Debut du chapitreIVavec tout d'abord la notion de derivee covariante en electromagnetisme dont nous nous inspirerons pour introduire les theories de jauge non{abeliennes. Rotation de jauge sur un multiplet de champs . Derivee covarianteDet potentiel vecteurA. Lundi 11 Janvier 2021 { Suite des theories de jauge non{abeliennes, egalement denommees theories deYang{Mills. Nous consacrerons la seance au champ de jaugeFet a ses proprietes. Lundi 18 Janvier 2021 { Suite du chapitreIVconsacree a la notion de brisure spontanee de symetrie. Cas pedagogique du chapeau mexicain puis generalisation aux groupesSO(n) etSU(2). Lundi 25 Janvier 2021 { La demonstration du theoreme de Goldstone sera donnee dans le cas general. Il s'agit d'une partie un peu esoterique. Puis nous analyserons le miracle de Higgs. Illustration de ce mecanisme dans un cas simple et generalisation au groupeSU(2).
Lundi 01 Fevrier 2021 { Nous serons n pr^ets pour comprendre le modele de Weinberg{ Salam permettant d'unier les interactions faibles et electromagnetiques. Apres avoir construit le Lagrangien, nous analyserons la brisure spontanee du groupeSU(2)LU(1)Y et deriverons les masses des bosons vecteursWetZ0en fonction de la valeur dans le vide du champ de Higgs. Calcul des couplages entre fermions et bosons de jauge. Etude du secteur de Higgs et des couplages de Yukawa. A priori, nous en aurons termine. Suivant l'avancement du cours, nous serons peut-^etre amenes a rajouter une ou deux seances. Par exemple le lundi 4 Janvier 2021 qui est pour l'instant libre ou/et un autre creneau a denir.iii ivChapitre de revision
Mecanique Lagrangienne et Oscillateur Harmonique Quantique 1 )In troduction ala m ecaniqueLagrangienne. 1 .1 )L'oscillateur harmonique en m ecaniqueclassique. Nous considererons le cas d'un point materiel astreint a se deplacer le long d'un axeOx et soumis a la force de rappelF=kx. Ce point de massemeectue des oscillations harmoniques suivant la loi x=acosf!t+'g;(Ra.1) ou la pulsation!=Èk=ms'exprime en fonction de la massemet de la raideurkdu ressort. L'energie mecanique totale se conserve E=12 mv2+12 kx2=12 ka2:(Ra.2) 1 .2 )Les equationsd'Euler{Lagrange et le princip ev ariationnel. L'equation dynamique de l'oscillateur harmonique precedent peut se mettre sous la forme ddt @L@_x" =@L@x ;(Ra.3) ou leLagrangienLest deni commeL=TV=12
m_x212 kx2:(Ra.4) Plus generalement, tout systeme dynamique est susceptible d'^etre decrit par la donnee dervariablesqiindependantes speciant completement son etat et prenant en compte les liaisons mecaniques. Un point materiel se mouvant sur la surface d'une sphere de rayonRest ainsi localise par sa colatitudeet sa longitude'et non par la donnee des coordonnees cartesiennesx,yetzqui verient par ailleurs l'egalite x2+y2+z2=R2;(Ra.5)
alors que x=Rsincos' ; y=Rsinsin' ;(Ra.6) z=Rcos : Chapitre de revision { mecanique lagrangienne et oscillateur harmonique quantique { 1Les equations d'Euler{Lagranges'ecrivent alors
ddt @L@_qi" =@L@q i;(Ra.7) pour chacune des variables independantesqi. Il est possible de deriver les relations (Ra.7) a partir d'un principe variationnel en imposant que l'action S=Zt2 t1Lfqi;_qi;tgdt ;(Ra.8)
soit extr^emale pour tout variation du chemin joignant le point initialAfqi(t1)gau point nalBfqi(t2)gdans l'espace desfqig. Nous montrerons que la variation de l'actionS s'ecrit au premier ordre de la perturbationqi(t) comme S=Zt2 t 1r X i= 1q i(t)dt¨@L@q iddt @L@_qi"" :(Ra.9) Les equations d'Euler{Lagrange se mettent alors sous la forme Sq i0:(Ra.10)Problemen0Ra{1{ Niveau[1]:Deux p ointsmat erielsA1etA2sont astreints a se deplacer sur l'axe horizontalOx. A l'equilibre, ils sont respectivement enO1et O2. Lorsque le systeme est excite,xidesigne l'abscisse deAipar rapport a la position
d'equilibreOi. Le pointA1de massem1est relie a la paroi de gauche par un ressort de raideurk1alors queA2{ de massem2{ est relie a la paroi de droite par un ressort de raideurk2. Les deux points sont egalement xes l'un a l'autre par un ressort de raideurk0. Ecrire le Lagrangien de ce systeme en prenantx1etx2comme variables independantes et deriver les equations du mouvement m1x1=k1x1+k0fx2x1g;(Ra.11)
m2x2=k2x2k0fx2x1g:(Ra.12)Chapitre de revision { mecanique lagrangienne et oscillateur harmonique quantique { 2
1.3)Les equationsde Hamilton et le formalisme Hamiltonien.
Le moment conjuguepide la variable canoniqueqiest deni par la relation p i@L@_qifqj;_qj;tg:(Ra.13) Nous supposerons qu'il est possible de resoudre lesrequations precedentes et d'exprimer les _qien fonction des quantitesqietpiainsi que du tempsten sorte que le LagrangienL est maintenant une nouvelle fonction de ces variables. LeHamiltoniens'obtient gr^ace a la transformation de LegendreHfqi;pi;tg=rX
i= 1p i_qi Lfqi;_qi;tg:(Ra.14)Problemen0Ra{2{ Niveau[1]:Ex primerla di erentielledHdu Hamiltonien en fonction des dierentiellesdqi,dpietdtet montrer que _qi=@H@p iet _pi=@H@q i;(Ra.15) alors que @H@t =@L@t :(Ra.16)Le theoreme de Liouville :Les relations (Ra.15) traduisent l'evolution deterministe d'un systeme place initialement au pointAfqi(t1);pi(t1)gde l'espace des phases. Ces relations donnent la 2r{vitesse en tout point de la trajectoire. Nous montrerons qu'elles traduisent de surcro^t l'incompressibilite du uide constitue de la constellation des points representatifs du systeme au cours de son mouvement au sein de l'espace des phases. La divergence de sa 2r{vitesse s'annule en eet rv=rX i= 1@_qi@q i+@_pi@p i= 0:(Ra.17)Il est possible de deriver les relations (
Ra.15 ) a partir d'un principe variationnel exigeant que la trajectoire physique partant du pointAfqi(t1);pi(t1)gde l'espace des phases a l'instantt1et arrivant au pointBfqi(t2);pi(t2)ga l'instantt2rende l'action S=Zt2 t1fL rX
i= 1p i_qi Hgdt(Ra.18) Chapitre de revision { mecanique lagrangienne et oscillateur harmonique quantique { 3 extr^emale pour toute perturbationfqi(t);pi(t)gdu chemin telle que qi(t1) =qi(t2) = 0:(Ra.19)Problemen0Ra{3{ Niveau[2]:Mon treralors que la v ariationde l'action ( Ra.18)
s'ecrit S=rX i= 1Z t2 t 1dtq i(t)¨ _pi@H@q i" +dtpi(t)¨ _qi@H@p i" :(Ra.20)Les crochets de Poisson :Nous terminerons cette partie en calculant l'evolution dans le temps d'une quantiteAfqi;pi;tget montrerons que sa derivee temporelle est donnee pardAdt =fH;Ag+@A@t :(Ra.21) Les crochets de PoissonfH;Agprecedents traduisent la dependance implicite deApar rapport au temps via les coordonneesqietpide l'espace des phases et sont denis par fH;Ag rX i= 1¨ @H@p i@A@q i@A@p i@H@q i" :(Ra.22) Ils constituent un pont naturel entre mecanique Lagrangienne classique et physique quan- tique. Nous montrerons en eet que l'evolution temporelle d'un operateur quantiqueA est regie par la relationdAdt =i~ [H;A] +@A@t ;(Ra.23) tres similaire a l'equation classique ( Ra.21 ). Le crochet de PoissonfH;Aga cede la place au commutateur quantique [H;A] avec comme regle de correspondance [H;A] =i~fH;Ag:(Ra.24) Cette regle permet de deduire immediatement le commutateur entre l'operateur position Q iet l'operateur impulsionPj [Qi;Pj] =i~ij:(Ra.25) Chapitre de revision { mecanique lagrangienne et oscillateur harmonique quantique { 4