Introduction a la th eorie quantique des champs

La théorie des champs f4: théorie des perturbations Ce chapitre est consacré à la théorie des perturbations du champ scalaire avec une interaction f4 On cherche à construire une théorie quantique des champs (Euclidienne) qui corresponde à la limite continue du modèle de Landau-Ginzburg-Wilson Une approche consiste à utiliser l

Th eorie quantique des champs

Il est ind eniable qu’avec un tel nom, la th eorie quantique des champs fasse tourner la t^ete des physiciens De plus, sachant qu’elle r egit les fondements de la physique des particules moderne ou, si vous pr ef erez, de la physique des fondements de l’univers, il etait immanquable d’explorer ce sujet a l’int erieur de notre parcours

Introduction a la th eorie quantique des champs

Théorie quantique des champs

Théorie quantique des champs Théorie de jauge Groupe de symétrie S A F : Cours de Cosmologie 2013 par Jacques Fric

LES CHAMPS FORCES (Kurt Lewin) (Outil de Management) N °35

1) thÉorie des champs de force L a théorie des champs de force d é veloppée par Kurt LEWIN dans les année s 19 30 porte sur la gestion des changements et suggère que les comportements des individus sont soumis à des forces contextuelles et sociales,

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Introduction a la th eorie quantique des champs

Introduction a la th eorie quantique des champs

Universites de Grenoble Alpes & de Savoie Mont Blanc

Master 2eme annee de physique

Parcours physique subatomique et cosmologiePSC

Septembre 2020 a Fevrier 2021Introduction a la theorie quantique des champs

Pierre Salati

1;2 1 Laboratoire d'Annecy{le{Vieux de Physique Theorique LAPTh,

9 Chemin de Bellevue, B.P. 110, 74941 Annecy-le-Vieux Cedex

2 Universite Savoie Mont Blanc, B.P. 1104, 73011 Chambery Cedex salati@lapth.cnrs.fr & pierre.salati@univ-smb.fr telephone 04.50.09.16.69 site web http://lapth.cnrs.fr/pg-nomin/salati/Plan du cours Lundi 7 Septembre 2020 { Nous commencerons par des revisions sur les equations d'Euler-Lagrange et le formalisme hamiltonien. L'etude de l'oscillateur harmonique sera l'occasion d'introduire les operateurs d'annihilation et de creation ainsi que les schemas de Schrodinger et Heisenberg. Principe de quantication canonique. Lundi 14 Septembre 2020 { Le chapitreInous permettra de nous preparer a la quan- tication canonique du champ scalaire gr^ace a un rappel sur les phonons et a une etude classique puis quantique de la ligne continue parcourue par des ondes sonores. Lundi 21 Septembre 2020 { Suite et n du chapitreI. i Lundi 28 Septembre 2020 { Debut du chapitreIIavec l'etude du champ scalaire de Klein{Gordon ou champ neutre de spin 0. Nous nous interesserons tout d'abord a la derivation classique des equations que ce champ verie et nous construirons son tenseur impulsion{energie gr^ace au theoreme de Noether. Lundi 5 Octobre 2020 { Suite du chapitreIIavec l'etude de la quantication canonique du champ scalaire neutre et la construction des operateurs Hamiltonien et impulsion. Puis nous passerons au champ scalaire charge susceptible de decrire les pions. Lundi 12 Octobre 2020 { Suite du chapitreII. Nous insisterons sur le propagateur de Feynman associe au champ scalaire charge ainsi que sur le T{produit. Lundi 19 Octobre 2020 { Suite du chapitreIIavec la quantication du champelectromagnetique dont nous aurons au prealable rappele les proprietes classiques. Equations de Maxwell et invariance de jauge. Formalisme Lagrangien et tenseur impulsion{energie. Lundi 2 Novembre 2020 { Nousetudierons la quantication du champelectromagnetique via la methode de Gupta{Bleuler. Lundi 9 Novembre 2020 { Suite du chapitreIIavec le champ fermionique de spin demi{ entier. Nous commencerons par des revisions sur l'equation de Dirac qui a ete etudiee en cours de mecanique quantique relativiste en M1. Puis analyse Lagrangienne et tenseur impulsion{energie. Lundi 16 Novembre 2020 { Suite de l'etude du champ fermionique. Seconde quantica- tion et derivation des relations d'anticommutation qui traduisent le fait qu'une particule de spin demi{entier est un fermion. Nous terminerons avec le propagateur de Feynman de l'electron qui a ete derive en cours de mecanique quantique relativiste en M1. Lundi 23 Novembre 2020 { Jusqu'a present, les champs quantiques etudies etaient libres. Nous les mettons desormais en interaction dans le chapitreIIIavec tout d'abord des rappels sur la theorie des perturbations et la matrice S. Schemas de Schrodinger et de Heisenberg et Hamiltonien libreH0. Cas general et operateur d'evolutionU. Schema d'interaction et matriceS. Lundi 30 Novembre 2020 { Suite du chapitreIIIconsacree a l'etude du theoreme de Wick. Demonstration dans le cas purement bosonique, puis dans le cas purement fermionique et pour nir dans le cas general. ii Lundi 7 Decembre 2020 { Fin du chapitreIII. Nous etablirons les regles de Feynman gr^ace au calcul de la section ecace d'un processus simple. Ecriture de l'element de matriceS. Reduction deSfiet regles de Feynman de l'electrodynamique quantique.

Section ecace dierentielle.

Lundi 14 Decembre 2020 { Debut du chapitreIVavec tout d'abord la notion de derivee covariante en electromagnetisme dont nous nous inspirerons pour introduire les theories de jauge non{abeliennes. Rotation de jauge sur un multiplet de champs . Derivee covarianteDet potentiel vecteurA. Lundi 11 Janvier 2021 { Suite des theories de jauge non{abeliennes, egalement denommees theories deYang{Mills. Nous consacrerons la seance au champ de jaugeFet a ses proprietes. Lundi 18 Janvier 2021 { Suite du chapitreIVconsacree a la notion de brisure spontanee de symetrie. Cas pedagogique du chapeau mexicain puis generalisation aux groupesSO(n) etSU(2). Lundi 25 Janvier 2021 { La demonstration du theoreme de Goldstone sera donnee dans le cas general. Il s'agit d'une partie un peu esoterique. Puis nous analyserons le miracle de Higgs. Illustration de ce mecanisme dans un cas simple et generalisation au groupe

SU(2).

Lundi 01 Fevrier 2021 { Nous serons n pr^ets pour comprendre le modele de Weinberg{ Salam permettant d'unier les interactions faibles et electromagnetiques. Apres avoir construit le Lagrangien, nous analyserons la brisure spontanee du groupeSU(2)LU(1)Y et deriverons les masses des bosons vecteursWetZ0en fonction de la valeur dans le vide du champ de Higgs. Calcul des couplages entre fermions et bosons de jauge. Etude du secteur de Higgs et des couplages de Yukawa. A priori, nous en aurons termine. Suivant l'avancement du cours, nous serons peut-^etre amenes a rajouter une ou deux seances. Par exemple le lundi 4 Janvier 2021 qui est pour l'instant libre ou/et un autre creneau a denir.iii iv

Chapitre de revision

Mecanique Lagrangienne et Oscillateur Harmonique Quantique 1 )In troduction ala m ecaniqueLagrangienne. 1 .1 )L'oscillateur harmonique en m ecaniqueclassique. Nous considererons le cas d'un point materiel astreint a se deplacer le long d'un axeOx et soumis a la force de rappelF=kx. Ce point de massemeectue des oscillations harmoniques suivant la loi x=acosf!t+'g;(Ra.1) ou la pulsation!=Èk=ms'exprime en fonction de la massemet de la raideurkdu ressort. L'energie mecanique totale se conserve E=12 mv2+12 kx2=12 ka2:(Ra.2) 1 .2 )Les equationsd'Euler{Lagrange et le princip ev ariationnel. L'equation dynamique de l'oscillateur harmonique precedent peut se mettre sous la forme ddt @L@_x" =@L@x ;(Ra.3) ou leLagrangienLest deni comme

L=TV=12

m_x212 kx2:(Ra.4) Plus generalement, tout systeme dynamique est susceptible d'^etre decrit par la donnee dervariablesqiindependantes speciant completement son etat et prenant en compte les liaisons mecaniques. Un point materiel se mouvant sur la surface d'une sphere de rayonRest ainsi localise par sa colatitudeet sa longitude'et non par la donnee des coordonnees cartesiennesx,yetzqui verient par ailleurs l'egalite x

2+y2+z2=R2;(Ra.5)

alors que x=Rsincos' ; y=Rsinsin' ;(Ra.6) z=Rcos : Chapitre de revision { mecanique lagrangienne et oscillateur harmonique quantique { 1

Les equations d'Euler{Lagranges'ecrivent alors

ddt @L@_qi" =@L@q i;(Ra.7) pour chacune des variables independantesqi. Il est possible de deriver les relations (Ra.7) a partir d'un principe variationnel en imposant que l'action S=Zt2 t

1Lfqi;_qi;tgdt ;(Ra.8)

soit extr^emale pour tout variation du chemin joignant le point initialAfqi(t1)gau point nalBfqi(t2)gdans l'espace desfqig. Nous montrerons que la variation de l'actionS s'ecrit au premier ordre de la perturbationqi(t) comme S=Zt2 t 1r X i= 1q i(t)dt¨@L@q iddt @L@_qi"" :(Ra.9) Les equations d'Euler{Lagrange se mettent alors sous la forme Sq i0:(Ra.10)Problemen0Ra{1{ Niveau[1]:Deux p ointsmat erielsA1etA2sont astreints a se deplacer sur l'axe horizontalOx. A l'equilibre, ils sont respectivement enO1et O

2. Lorsque le systeme est excite,xidesigne l'abscisse deAipar rapport a la position

d'equilibreOi. Le pointA1de massem1est relie a la paroi de gauche par un ressort de raideurk1alors queA2{ de massem2{ est relie a la paroi de droite par un ressort de raideurk2. Les deux points sont egalement xes l'un a l'autre par un ressort de raideurk0. Ecrire le Lagrangien de ce systeme en prenantx1etx2comme variables independantes et deriver les equations du mouvement m

1x1=k1x1+k0fx2x1g;(Ra.11)

2x2=k2x2k0fx2x1g:(Ra.12)Chapitre de revision { mecanique lagrangienne et oscillateur harmonique quantique { 2

1.3)Les equationsde Hamilton et le formalisme Hamiltonien.

Le moment conjuguepide la variable canoniqueqiest deni par la relation p i@L@_qifqj;_qj;tg:(Ra.13) Nous supposerons qu'il est possible de resoudre lesrequations precedentes et d'exprimer les _qien fonction des quantitesqietpiainsi que du tempsten sorte que le LagrangienL est maintenant une nouvelle fonction de ces variables. LeHamiltoniens'obtient gr^ace a la transformation de Legendre

Hfqi;pi;tg=rX

i= 1p i_qi Lfqi;_qi;tg:(Ra.14)Problemen0Ra{2{ Niveau[1]:Ex primerla di erentielledHdu Hamiltonien en fonction des dierentiellesdqi,dpietdtet montrer que _qi=@H@p iet _pi=@H@q i;(Ra.15) alors que @H@t =@L@t :(Ra.16)Le theoreme de Liouville :Les relations (Ra.15) traduisent l'evolution deterministe d'un systeme place initialement au pointAfqi(t1);pi(t1)gde l'espace des phases. Ces relations donnent la 2r{vitesse en tout point de la trajectoire. Nous montrerons qu'elles traduisent de surcro^t l'incompressibilite du uide constitue de la constellation des points representatifs du systeme au cours de son mouvement au sein de l'espace des phases. La divergence de sa 2r{vitesse s'annule en eet rv=rX i= 1@_qi@q i+@_pi@p i= 0:(Ra.17)

Il est possible de deriver les relations (

Ra.15 ) a partir d'un principe variationnel exigeant que la trajectoire physique partant du pointAfqi(t1);pi(t1)gde l'espace des phases a l'instantt1et arrivant au pointBfqi(t2);pi(t2)ga l'instantt2rende l'action S=Zt2 t

1fL rX

i= 1p i_qi Hgdt(Ra.18) Chapitre de revision { mecanique lagrangienne et oscillateur harmonique quantique { 3 extr^emale pour toute perturbationfqi(t);pi(t)gdu chemin telle que q

i(t1) =qi(t2) = 0:(Ra.19)Problemen0Ra{3{ Niveau[2]:Mon treralors que la v ariationde l'action ( Ra.18)

s'ecrit S=rX i= 1Z t2 t 1dtq i(t)¨ _pi@H@q i" +dtpi(t)¨ _qi@H@p i" :(Ra.20)Les crochets de Poisson :Nous terminerons cette partie en calculant l'evolution dans le temps d'une quantiteAfqi;pi;tget montrerons que sa derivee temporelle est donnee pardAdt =fH;Ag+@A@t :(Ra.21) Les crochets de PoissonfH;Agprecedents traduisent la dependance implicite deApar rapport au temps via les coordonneesqietpide l'espace des phases et sont denis par fH;Ag rX i= 1¨ @H@p i@A@q i@A@p i@H@q i" :(Ra.22) Ils constituent un pont naturel entre mecanique Lagrangienne classique et physique quan- tique. Nous montrerons en eet que l'evolution temporelle d'un operateur quantiqueA est regie par la relationdAdt =i~ [H;A] +@A@t ;(Ra.23) tres similaire a l'equation classique ( Ra.21 ). Le crochet de PoissonfH;Aga cede la place au commutateur quantique [H;A] avec comme regle de correspondance [H;A] =i~fH;Ag:(Ra.24) Cette regle permet de deduire immediatement le commutateur entre l'operateur position Q iet l'operateur impulsionPj [Qi;Pj] =i~ij:(Ra.25) Chapitre de revision { mecanique lagrangienne et oscillateur harmonique quantique { 4

2)Lagrangien d'une particule relativiste.

2 .1 )Le cas de la particule libre. Nous aimerions maintenant deriver les equations du mouvement d'une particule libre de massemdans un cadre relativiste. Le bon element de longueur en relativite est le temps propre ds

2=d2=dt2dxdx=dxdx;(Ra.26)

ou la metrique deMinkowskiest diagonale diagf+1;1;1;1g:(Ra.27) Nous adopterons les conventions d'Einsteinselon lesquelles tout indicerepete deux fois est implicitement somme de 0 a 3. En mecanique classique, le Lagrangien s'ecrivait L classique=m2 _x_x=m2 ij_xi_xj;(Ra.28) en sorte que sa generalisation quadri{dimensionnelle devient L relativiste=m2 _x_x;(Ra.29) ou _xdesigne la derivee de la coordonneexpar rapport au temps propre{ ou par rapport a tout parametrepproportionnel au temps propre. L'actionSdevient alors proportionnelle a la longueur quadri{dimensionnelle joignant l'evenement de departAa l'evenement d'arriveeB. Les equations d'Euler{Lagrange dd @L@_x" =@L@x (Ra.30) correspondant a la forme ( Ra.29 ) conduisent a la relation dP d = 0;(Ra.31) qui traduit la conservation de l'impulsionP=mU=m_xde la particule libre. La quadri{vitesse est noteeU. Chapitre de revision { mecanique lagrangienne et oscillateur harmonique quantique { 5

2.2)Couplage a vecun c hamp electromagnetique.

An de prendre en compte desormais les interactions de la particule precedente avec un champ electromagnetique de potentiel vecteurA fA0=V;Ai=Ag, nous modions le Lagrangien ( Ra.29 ) en lui ajoutant un terme de couplage enJA L interaction=m2

UU+q UA;(Ra.32)

ou le courant electromagnetiqueJ=q Uassocie a la particule fait intervenir sa charge electriqueq. La variable conjuguee axest l'impulsion generalisee =@L@_x=mU+qA:(Ra.33) Nous avons une premiere illustration du fait qu'en presence d'un champelectromagnetique, l'impulsionPdevient P =)P+qA:(Ra.34) Cette propriete est liee a la symetrie de jaugeU(1) associee a l'electromagnetisme comme nous le verrons dans les chapitres suivants. Les equations d'Euler{Lagrange associees au

Lagrangien (

Ra.32 ) se mettent alors sous la forme dd @L@_x=P+qA" =q U@A=J@A:(Ra.35)Problemen0Ra{4{ Niveau[3]:Mon trerque la relation ( Ra.35) conduit a l'equation fondamentale de la dynamique dPdt =F=qE+qv^B;(Ra.36) ou la forceFs'exprime en fonction de la vitessevde la particule ainsi que des champs electriqueEet magnetiqueBauxquels elle est soumise. Nous reconnaissons la force magnetique deLaplaceqv^B. La composante temporelle de (Ra.35) exprime la variation de l'energieEde la particule sous l'eet du travail electrique de la forceF dEdt =Fv:(Ra.37)Chapitre de revision { mecanique lagrangienne et oscillateur harmonique quantique { 6

2.3)Une appro cheencore plus relativiste.

La relation (

Ra.35 )p eut egalements' ecrire dP d =q UF=JF;(Ra.38) ou le champ electromagnetiqueFest deni par F =@A@A:(Ra.39)Problemen0Ra{5{ Niveau[3]:Red eriverles equationsdu mouv ement( Ra.36) et ( Ra.37 ) en prenant successivement la composanteipuis0de la relation Ra.38 ).3)L'oscillateur harmonique en m ecaniquequan tique. Cette partie est instructive. Nous verrons en eet appara^tre les excitations quantiques de l'oscillateur harmonique etudie precedemment. Elles sont les embryons des particules qui { en theorie des champs { se manifestent comme des ondes se propageant dans le vide et susceptibles d'abriter des excitations elementaires. Le vide quantique serait alors l'etat fondamental d'une entite reagissant comme un ensemble inniment continu de ressorts couples les uns aux autres 3 .1 )Hamiltonien q uantiqueet op erateursaetay.

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La théorie des champs f4 : théorie des perturbations

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