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The complex inverse trigonometric and hyperbolic functions

since ix + √ 1− x2 is a complex number with magnitude equal to 1 Moreover, ix + √ 1− x2 lives either in the first or fourth quadrant of the complex plane, since Re(ix +

Euler’s Formula and Trigonometry

Euler’s Formula and Trigonometry Peter Woit Department of Mathematics, Columbia University September 10, 2019 These are some notes rst prepared for my Fall 2015 Calculus II class, to

EXERCICES RÉDIGÉS SUR LES NOMBRES COMPLEXES

3 En déduire la valeur exacte du cosinus et sinus suivants : cos p 12 et sin p 12 Exercice 2 Des pistes pour démontrer qu'un complexe est réel ou imaginaire pur Démontrer les équivalences suivantes : Z réel Û Z =Z Z Î Û ( Z = 0 ou arg(Z) = 0 [p] ) Z imaginaire pur Û Z +Z = 0 Z Î i Û ( Z = 0 ou arg(Z) = p 2 [p] ) Applications : 1

Trigonométrie - Free

2 CHAPITRE2 TRIGONOMÉTRIE Remarque2 1 1 A partir des propriétés de l’exponentielle complexe on retrouve que, pour tout a et b réels: cosa = cosb 9k 2 Z; a = b+2k ou a = ¡b+2k

Les nombres complexes - Partie II

nombre complexe I Définitions 7 Calculs de modules et arguments 11 Représentation géométrique 12 Problème 12 Forme trigonométrique 12 Exercice 15 Déterminer un ensemble de points 15 A Définitions Définition: Module et Argument Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé , on considère un point M d'affixe non nulle

Chapitre 4 Nombres complexes - WordPresscom

Un nombre complexe zest un nombre de la forme z= a+ibavec a2R et b2R L'ensemble des nombres complexes est noté C De nition 2 L'écriture d'un nombre complexe zsous la forme z= a+ibest appelée forme algébrique d'un nombre complexe Le nombre réel aest appelé partie réelle de zet on note a= Re (z)

4 Fourier transformation and data processing

4–2 Fourier transformation and data processing S x S y S 0 Ωt Fig 4 3 The xand y components of the signal can be thought of as arising from therotationofavectorS0 at frequency If the magnetization does indeed start along x then Fig 3 16 needs to be

TRIGONOMÉTRIE ET FONCTIONS CIRCULAIRES

Théorème : Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2p De plus, la fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire (cos(-x) = cos x et sin(-x) = -sin x) Représentation graphique des fonctions sinus et cosinus : Les courbes ci-dessus sont appelées des sinusoïdes

Chapitre 10 Probabilités conditionnelles Loi binomiale

CHAPITRE 10 PROBABILITÉS CONDITIONNELLES LOI BINOMIALE Étant donné une épreuve de Bernoulli où la probabilité d’obtenir un succès S est p et le schéma de Bernoulli consistant à répéter n fois de manière indépendante cette épreuve

Curs4 - pubro

Imitanţe complexe Pentru un dipol liniar pasiv (fig 1 28), la bornele căruia se cunosc tensiunea şi intensitatea curentului electric, se poate defini impedanţa complexă a dipolului ca raportul dintre cele două mărimi mai sus amintite: Fig 1 28 Dipolul liniar pasiv

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Terminale SLes nombres

complexes -

Partie II

OLIVIER LÉCLUSE

CREATIVE COMMON BY-NC-SA

Aout 20131.0

Table des

matières

Objectifs5

I - Module et argument d'un nombre complexe7 A. Définitions....................................................................................................7

B. Calculs de modules et arguments..................................................................11

C. Représentation géométrique.........................................................................12

D. Problème...................................................................................................12

E. Forme trigonométrique................................................................................12

F. Exercice......................................................................................................15

G. Déterminer un ensemble de points................................................................15

II - Notation exponentielle17 A. Propriétés des modules................................................................................17

B. Calculer avec les modules............................................................................18

C. Propriétés des arguments.............................................................................18

D. Notation exponentielle.................................................................................20

E. Calculer avec la forme exponentielle..............................................................25

III - Test final de la seconde partie27

Solution des exercices29

3

Objectifs

Forme trigonométrique :

Module et argument, interprétation et propriétés Notation exponentielle 5

I - Module et

argument d'un nombre complexeI

Définitions7

Calculs de modules et arguments11

Représentation géométrique12

Problème12

Forme trigonométrique12

Exercice15

Déterminer un ensemble de points15

A. Définitions

Définition:Module et Argument

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé , on considère un point M d'affixe non nulle. On appelle module de et on note la mesure de la longueur . On a On appelle argument de et on note toute mesure en radians de l'angle orienté de vecteurs

Complément:Module d'un nombre complexe

Si alors

Si et sont les affixes respectives de deux points A et B, alors est l'affixe du vecteur et

Complément:Argument d'un nombre complexe

Un nombre complexe a une infinité d'arguments, définis à près : Si est l'un d'entre eux, les autres sont de la forme où . On dit que est défini modulo et on note 7

Exemple:Exemples

i-i2-21+i 1122
Un nombre réel positif a pour argument 0. Un nombre réel négatif a pour argument . Un imaginaire pur a pour argument ou . On peut écrire

B. Calculs de modules et arguments

Q ue stio n 1

[Solution n°1 p 19]

Calculer

Q ue stio n 2

[Solution n°2 p 19] On donne l'affixe du point A et l'affixe du point B. Calculer la distance AB

Q ue stio n 3

[Solution n°3 p 19]

Calculer

Indice :

Module et argument d'un nombre complexe

8

Q ue stio n 4

[Solution n°4 p 19]

Calculer

C. Représentation géométrique

Vous pouvez reprendre le visionnage de la suite du film Dimensions1 présentant les notions de module et d'argument à partir de la 9ième minute.

D. Problème

Soient u et v deux nombres complexes distincts et de même module r

Q ue stio n

[Solution n°5 p 20]

Démontrer que est imaginaire pur

Indice :

On pourra montrer que

E. Forme trigonométrique

La propriété suivante de justifie aisément par les propriétés des symétries.

Fondamental

 et si  et si Fondamental:Forme trigonométrique d'un complexe

Soit un complexe non nul et un argument de

Alors et

L'écriture est appelée forme trigonométrique de

1 - http://www.dimensions-math.org/Dim_fr.htmModule et argument d'un nombre complexe

9

Complément:Démonstration

Considérons le point du cercle trigonométrique défini par Les vecteurs et sont colinéaires donc l'angle orienté est égal à l'angle orienté Par conséquent les coordonnées de sur le cercle trigonométrique sont

Si est l'affixe de , on a

Mais on a donc

Donc

Module et argument d'un nombre complexe

10

Exemple

Soit On a Donc

On reconnaît dans la parenthèse et

Donc est la forme trigonométrique de

On en déduit que

F. Exercice

Q ue stio n

[Solution n°6 p 20]

Déterminer une forme trigonométrique de

Indice :

Attention l'écriture donnée n'est pas une forme trigonométrique car ne peut

être égal à -2 !

G. Déterminer un ensemble de points

Q ue stio n 1

[Solution n°7 p 21] Déterminer l'ensemble des points M d'affixe du plan tels que

Indice :

On pourra considérer le point et

Q ue stio n 2

[Solution n°8 p 21] Déterminer l'ensemble des points M d'affixe du plan tels que

Q ue stio n 3

[Solution n°9 p 21] Déterminer l'ensemble des points M d'affixe du plan tels que soit imaginaire pur

Indice :

est imaginaire pur si et seulement si

Module et argument d'un nombre complexe

11

Notation exponentielle

12

II - Notation

exponentielleII

Propriétés des modules17

Calculer avec les modules18

Propriétés des arguments18

Notation exponentielle20

Calculer avec la forme exponentielle25

A. Propriétés des modules

Fondamental

Soit et deux complexes. Alors

Module du conjugué : Module d'un produit : . Module d'un quotient : Inégalité triangulaire :

Complément:Démonstration

ce qui donne la première égalité puisque le module est positif. Puisqu'un module est positif, on en déduit que . On procède de manière analogue pour le quotient.quotesdbs_dbs4.pdfusesText_8