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Lois normales. Intervalle de fluctuation.

Estimation.

1. Loi normale centrée réduite.............................p24. Intervalle de fluctuation asymptotique-

2. Théorème de Moivre-Laplace..........................p11

3. Loi normale n(m ; s²)......................................p13

Lois normales. Intervalles de

fluctuation. Estimation.

1. Loi centrée réduite

1.1. Nouvelle fonction de densité sur ℝ

Soit j la fonction définie sur ℝ parφ(x)=1 2x2. j est continue et dérivable sur ℝ. (e-1 2x2)' =-1

2×2x×e-1

2x2

Donc, pour tout

2x2 Pour tout nombre réelx, le signe deφ'(x)est le signe de(-x). limx→-∞-1

De même,

limx→+∞

φ(x)=0.

Tableau de variations :

φ(0)=1

Représentation graphique :

Remarques :

La fonction

φest paire donc la courbe représentative deφsur ℝ est symétrique par rapport à l'axe(y'y).

On admet que l'aire en unité d'aire de la partie du plan comprise entre la courbe et l'axe des abscisses est égale

à 1.

Lois normales. Intervalles de

fluctuation. Estimation.

On peut noter : ∫-∞

φ(x)dx=1Conséquence :

φest continue et positive sur ℝ et∫-∞+∞ φ(x)dx=1donc φest une densité de probabilité sur ℝ .

1.2. Valeurs remarquables

On dit qu'une variable aléatoire X à valeurs réelles suit la loi normale centrée réduite

notée n (0,1) lorsque X admet pour densité de probabilité la fonction

φdéfinie sur ℝ

parφ(x)=1 2x2 Donc, siuetvsont deux nombres réels vérifiant u⩽valorsP(u⩽X⩽v)=∫uv 2x2 dx P(u⩽X⩽v)est l'aire en unité d'aire de la partie du plan colorée en vert.

1.3. Remarques

a) Problème : on ne sait pas écrire une primitive deφsur ℝ avec des fonctions usuelles.

b) La courbe représentative deφest symétrique par rapport à l'axe des ordonnées donc :

on a l'aire en U.A comprise entre la courbe et l'axe des abscisses sur l'intervalle ]-∞;0]est égale à l'aire en U.A comprise entre la courbe et l'axe des abscisses sur l'intervalle [0;+∞[. Donc, P(X⩽0)=P(0⩽X)Or, P(X⩽0)+P(X⩾0)=1

Donc, P(X⩽0)=P(X⩾0)=1

2

Lois normales. Intervalles de

fluctuation. Estimation. c) P(X⩽-u)=P(u⩽X)d) Si u⩾0alors P(-u⩽X⩽0)=P(0⩽X⩽u) On a donc P(-u⩽X⩽u)=2P(0⩽X⩽u)et P(X⩽-u)+P(-uDonc, P(-u⩽X⩽u)=1-2P(X⩽-u)

1.4. Fonction de répartition

a) Définition Si X suit une loi normale, réduite n(0;1) sa fonction de répartitionϕest définie pour tout xréel par ϕ(x)=P(X⩽x). b) Remarques

φest continue sur ℝ donc

φadmet des primitives sur ℝ. On note G la primitive deφsur ℝ telle queG(0)=0.

Lois normales. Intervalles de

fluctuation. Estimation.

Donc, G(x)=∫0x

φ(t)dt(G'(x)=φ(x))

Six⩾0, alorsG(x)est l'aire en U.A de la partie de plan comprise entre la courbe représentative deφet l'axe

des abscisses sur [0;x]. Si x⩽0, alorsG(x)=-∫x0 φ(t)dtest l'opposé de l'aire en U.A de la partie de plan comprise entre la courbe représentative deφet l'axe des abscisses sur [x;0].

On a aussi :

limx→+∞G(x)=1

2 (c'est l'aire en U.A de la partie de plan comprise entre la courbe et l'axe des abscisses sur

[0;+∞[) etlimx→-∞

G(x)=1

2. c) Égalités

Pour tout réel

x, on a P(X⩽x)=ϕ(x)=1

2+G(x)avecG(x)=∫0x

φ(t)dt

ϕest dérivable sur ℝ etϕ'(x)=G'(x)=φ(x)

Conclusion :

ϕest une primitive de φsur ℝ.

d) Conséquences

Si uetvsont deux nombres réels vérifiant

u⩽valors : v

φ(x)dx=[ϕ(x)]u

v =ϕ(v)-ϕ(u)ϕ(-x)=P(X⩽-x) Si x>0alorsP(X⩽-x)+P(-x⩽X⩽x)+P(x⩽X)=1Or, P(x⩽X)=P(x⩽-x)=ϕ(-x)

Donc, P(-x⩽X⩽x)=1-2ϕ(x)

P(X⩽x)+P(x⩽X)=1

Or, P(x⩽X)=P(X⩽-x)=ϕ(-x)

Donc, ϕ(x)+ϕ(-x)=1

Si x⩾0alorsP(-x⩽X⩽x)=1-2ϕ(x)=1-2(1-ϕ(x))=2ϕ(x)-1

P(-x⩽X⩽x)=2ϕ(x)-1

Lois normales. Intervalles de

fluctuation. Estimation. e) Étude de la fonction

ϕest une primitive deφsur ℝ.

Donc, ϕest dérivable sur ℝ et pour tout nombre réel x : ϕ'(x)=φ(x)>0

ϕ(x)=1

2+G(x)

Or, limx→+∞G(x)=1

2donclimx→+∞ϕ(x)=1

et limx→-∞

G(x)=-1

2donclimx→-∞ϕ(x)=0

Tableau de variations :

Courbe représentative :

La droite d'équation

y=1est une asymptote à la courbe représentative de ϕen +∞ety=0en-∞.

1.5. Calculs numériques

a) On peut facilement donner des valeurs approchées des probabilités du type P(a⩽X⩽b)en utilisant une

calculatrice ou un logiciel. Par exemple, calculons P(1⩽X⩽2,5)

Casio Graph 35+

Par la touche choisir Stat, Dist, Norm, Normcd

Résultat : 0,1524

TI 82, STAT, 83

Par la touche choisir normal Frép

Résultat : 0,1524

2ndeVarnormal Frep(1,2.5,0,1)

Lois normales. Intervalles de

fluctuation. Estimation. géogébra b) On peut donner des valeurs approchées deϕ(a)pour aréel. Si a⩾0, alors ϕ(a)=1

2+P(0⩽X⩽a)

La calculatrice donne une valeur approchée de P(0⩽X⩽a)

Exemple : a=0,5

ϕ(a)=0,5+P(0⩽X⩽0,5)

ϕ(a)=0,5+0,1915

ϕ(a)=0,6915

Si a⩽0, alorsϕ(a)=0,5-P(a⩽X⩽0)

Or, P(a⩽X⩽0)=P(0⩽X⩽-a)

Doncϕ(a)=0,5-P(0⩽X⩽-a)

Lois normales. Intervalles de

fluctuation. Estimation.

Exemple : a=-0,2P(0⩽X⩽0,2)=0,0793

ϕ(-0,2)=0,5-0,0793=0,4207

Avec géogébra, on a directementϕ(a)

Pour

a=0,5c) Il est possible que l'on interdise à un examen l'utilisation de la calculatrice ou d'un logiciel (on peut penser à

l'examen de fin de première année de médecine)

Dans ce cas, on peut donner au candidat un extrait d'une table donnant pour les nombres décimaux avec au plus

deux chiffres après la virgule compris entre 0 et 3 (ou 4) une valeur approchée à 10-4 près.

Par exemple :

ϕ(1,22)=0,8888

P(1,22⩽X⩽1,35)=ϕ(1,35)-ϕ(-1,22)Or, ϕ(-1,22)=1-ϕ(1,22)

Lois normales. Intervalles de

fluctuation. Estimation.

1.6. Espérance et variance d'une loi normale centrée réduite

Soit Xune variable aléatoire suivant une loi normale centrée et réduite n(0 ;1).

Son espérance mathématiques estE(X)=0.

Sa variance est

V(x)=E((X-E(X))2)=1Démonstration :

E(x)=∫-∞+∞

tφ(t)dt

On considère, pour

x⩾0,∫0x tφ(t)dt

Or, pour tout réel

t, φ'(t)=-tφ(t), donc une primitive de ttφ(t)est-φ(t). Donc, ∫0 x tφ(t)dt=[-φ(t)]0 x =-φ(x)+φ(0) limx→+∞

φ(x)=0Donc,

limx→+∞ ∫0 x tφ(t)dt=φ(0)On considère, poury⩽0,∫y0 tφ(t)dt ∫y0 tφ(t)dt= [-φ(t)]y0 =-φ(0)+φ(y) limy→-∞

φ(y)=0Donc,

limy→-∞ ∫y 0 tφ(t)dt+limx→+∞∫0x tφ(t)dt=-φ(0)+φ(0)=0

E(X)=0On admet que

V(x)=σ2=1Remarque :

Ces résultats justifient la notation n(0 ;1) : 0 pour l'espérance mathématique et 1 pour la variance.

Lois normales. Intervalles de

fluctuation. Estimation.

1.7. Théorème

SiXest une variable aléatoire suivant une loi normale centrée et réduite n(0 ;1) alors pour tout nombre réel αappartenant à l'intervalle ]0;1[, il existe un unique nombre réel strictement positifuαtel que : P(-uα⩽X⩽uα)=1-α

Démonstration :

La démonstration peut faire l'objet d'une restitution organisée des connaissances au baccalauréat.

On considère la fonctionHdéfinie sur[0;+∞[par :

H(x)=P(-x⩽X⩽x)=∫-x

x

φ(t)dt=[ϕ(t)]-x

x =ϕ(x)-ϕ(-x)(Rappel :

ϕest une primitive deφsur[0;+∞[)

Hest dérivable sur

(carφest une fonction paire et positive)

Hest donc strictement croissante sur[0;+∞[.

limx→+∞

Donc, limx→+∞H(x)=1

H(0)=0

Hest continue, strictement croissante sur[0;+∞[, H(0)=0etlimx→+∞H(x)=1, le théorème des valeurs intermédiaires nous permet d'affirmer que pour toutytel que 0⩽y<1il existexunique tel que

H(x)=y.

Si0<α<1, on posey=1-αety∈]0;1[. On noteuαl'unique antécédent dey=1-α.uα∈]0;+∞[, et

P(-uα⩽X⩽uα)=1-α.

1.8. Cas particuliers

Premier cas : α=0,05

P(-u0,05⩽X⩽u0,05)=0,95

H(x)=∫-xx

φ(t)dt=ϕ(x)-ϕ(-x)

et, ϕ(-x)=1-ϕ(x) Donc,

H(x)=2ϕ(x)-1

ϕ(u0,05)=1,95

2=0,975

On utilise la calculatrice ou un logiciel ou on regarde une table de valeurs approchées deϕ(x).

On obtient

u0,05=1,96Ce résultat doit être connu :

Lois normales. Intervalles de

fluctuation. Estimation.

Deuxième cas : α=0,01

P(-u0,01⩽X⩽u0,01)=0,99

H(x)=∫-xx

φ(t)dt=ϕ(x)-ϕ(-x)

et, ϕ(-x)=1-ϕ(x)

Donc, H(x)=2ϕ(x)-1

ϕ(u0,01)=1,99

2=0,995

On utilise la calculatrice ou un logiciel ou on regarde une table de valeurs approchées deϕ(x).

On obtient

u0,01=2,58Ce résultat doit être connu : P(-2,58⩽X⩽2,58)=0,992. Théorème de Moivre-Laplace

2.1. Propriétés de l'espérance mathématique et de la variance d'une variable aléatoire

Xest une variable aléatoire.

E(X)est son espérance mathématique.

V(X)est sa variance.

Si best un nombre réel alors :

E(X+b)=E(X)+bV(X+b)=V(X)

Si on ajoute à chaque valeur de

Xle nombre balors on ajoute bà la moyenne.

Si on ajoute à chaque valeur de Xle nombre balors les écarts des nouvelles valeurs à la nouvelle espérance

mathématique sont égaux aux précédents.

Cas particuliers :

On pose μ=E(X)

E(X-μ)=0V(X-μ)=V(X)

Lois normales. Intervalles de

fluctuation. Estimation.

Si a est un réel non nul alors :

E(aX)=aE(X)V(aX)=a²V(X)

Si on multiplie toutes les valeurs de

Xparaalors on multiplie parala moyenne.

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