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EXERCICES CORRIGÉS

COLLECTION ENSEIGNEMENT SUP //// Mathématiques

Dominique Azé, Guillaume Constans

et Jean-Baptiste Hiriart-Urruty

Calcul différentiel et

équations différentiellesCalcul différentiel et

équations différentielles

L3Extrait de la publication

CALCUL DIFFÉRENTIEL

ET

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Exercices et problèmes corrigés

Dominique Azé, Guillaume Constans,Jean-Babtiste Hiriart-Urruty

Collection dirigée par Daniel Guin

17, avenue du Hoggar

Parc d"activités de Courtabœuf, BP 112

91944 Les Ulis Cedex A, FranceExtrait de la publication

Illustration de couverture: Transfert à faible poussée d"un satellite vers une or- bite géostationnaire, par J.-B. Caillau, J. Gergaud et J. Noailles (ENSEEIHT-

Toulouse).

Imprimé en France

ISBN: 978-2-7598-0413-9

Tous droits de traduction, d"adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous

pays. Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des

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du copiste et non destinées à une utilisation collective, et d"autre part, les courtes citations justifiées

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122-4, L. 122-5 et L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent

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3, rue Hautefeuille,75006 Paris. Tél. : 01 43 26 95 35.

c ?2010, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d"activités de Courtabœuf,

91944 Les Ulis Cedex AExtrait de la publication

TABLE DES MATIÈRES

Avant-Proposvii

Abréviations et Notationsxi

1 Énoncés1

1.1Calcul diérentiel sur des espaces de matrices. Transformation

deLegendre-Fenchel........................ 1

1.2Caractérisation dun opérateur gradient (lemme de Poincaré) 3

1.3Convexité et diérentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4Un théorème de Rolle approché. Diérentiation dapplications

radiales. Un système diérentiel linéaire . . . . . . . . . . . . . 7

1.5Diérentielle dune fonctionnelle intégrale. Calcul diérentielsurdesfonctionsàvaleursmatricielles.............. 9

1.6OpérateursdeNemycki...................... 11

1.7Diérentiabilité (et caractèreC

1 )viales différentielles partielles. Calcul différentiel (basique, Théorème desaccroissementsfinis) ..................... 12

1.8Dérivée det?-→exp((1-t)A)exp(tB). Formules de Taylor

sur la fonction déterminant. Conditions d"extrémalité du deuxième ordre sur un espace de Hilbert . . . . . . . . . . . 13

1.9Conditions nécessaires doptimalité du premier ordreen labsence de diérentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.10Méthodededescentelelongdugradient ............ 18

1.11Conditions nécessaires doptimalité en présence de contraintesdinégalité ............................. 20

1.12Diérentielle de Gâteaux. Multiplicateurs de Lagrange . . . . . 23

Calcul différentiel et équations différentielles

1.13Minimisation dune fonction convexe sous une contrainte

dinégalitéconvexe......................... 25

1.14Minimisation dune fonction convexe sur un polyèdre convexedeR

n ................................ 27

1.15Détermination et nature des points critiques dune fonction.

Diérentiation de lapplication exponentielle . . . . . . . . . . 29

1.16Calcul diérentiel dordre supérieur. Diérentielle dordre 2duneapplicationcomposée.................... 31

1.17Résolution déquations par la méthode de Newton I . . . . . . 33

1.18Résolution de léquationf(x)=0par la méthode

de Newton II. Minimisation d"une fonction convexe parlaméthodedugradient.................... 35

1.19Un théorème de Rolle pour les fonctions à valeurs vectorielles.

Un problème de maximisation. Sensibilité des racines simples dunpolynôme........................... 37

1.20Conditions doptimalité exprimées à laide du cône tangentà lensemble des contraintes. Applications à un problème

variationnel ............................ 39

1.21Problème variationnel de minimisation dune fonctionnelle

duCalculdesvariations...................... 43

1.22Calcul diérentiel dordre 2 sur un espace de matrices.Surjectivité de la normale unitaire à une hypersurfacecompacte deR

n . Ensemble des solutions possibles d"une équation différentielle scalaire linéaire d"ordren..... 45

1.23Descente continue le long du gradient. Projection

sur une surface deR 3 ....................... 47

1.24Une surface conique deR

3 . Monotonie des solutions d"équations différentielles scalaires autonomes. Une équation différentielle vectorielle linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.25Un problème aux limites par le Théorème des fonctionsimplicites. Équations diérentielles linéaires à coecientspériodiques............................. 51

1.26Du Théorème des fonctions implicites au ThéorèmedeCauchy-Lipschitz........................ 53

1.27Intégrales premières. Utilisation du Théorème des fonctionsimplicites. Une équation aux dérivées partielles . . . . . . . . . 54

iv

Table des matières

1.28Diérentiabilité de la fonction distance à un ensemble.

Une équation diérentielle scalaire non linéaire du deuxième ordre. Système diérentiel linéaire où les valeurs propres deA(t)ne dépendent pas det.................. 56

1.29Équations diérentielles scalaires. Équation diérentielle

vectorielle linéaire à coecients périodiques . . . . . . . . . . . 59

1.30Distance de lorigine à une courbe deR

3 . Comportement asymptotique des solutions d"une équation différentielle scalaire............................... 60

1.31Équation diérentielley

=xy 2 . Comportement asymptotique des solutions d"une équation différentielle linéaire vectorielle 63

1.32Formule de Thermodynamique sur les dérivées partielles.Équation diérentiellex

=tsinx. Équation différentielle linéaireàcoefficientspériodiques................. 65

1.33Équations diérentielles non linéaires. Comportementasymptotique des solutions dune équation diérentiellelinéairesouslaconditiondeLiapounov ............. 68

1.34Une équation diérentielle scalaire autonome. Calculde la hauteur dune courbe. Diérentiation de la fonctiondéterminant ............................ 70

1.35Équationsdiérentiellesavecretard............... 72

1.36Méthodes dapproximation de solutions déquationsdiérentielles............................ 74

2 Solutions77

2.1Calcul diérentiel sur des espaces de matrices. TransformationdeLegendre-Fenchel........................ 77

2.2Caractérisation dun opérateur gradient (lemme de Poincaré) 82

2.3Convexité et diérentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2.4Un théorème de Rolle approché. Diérentiation dapplicationsradiales. Un système diérentiel linéaire . . . . . . . . . . . . . 88

2.5Diérentielle dune fonctionnelle intégrale. Calcul diérentielsurdesfonctionsàvaleursmatricielles.............. 92

2.6OpérateursdeNemycki...................... 98

2.7Diérentiabilité (et caractèreC

1 )viales différentielles partielles. Calcul différentiel (basique, Théorème desaccroissementsfinis) ..................... 99

2.8Dérivée det?-→exp((1-t)A)exp(tB). Formules de Taylor

sur la fonction déterminant. Conditions d"extrémalité du deuxième ordre sur un espace de Hilbert . . . . . . . . . . . 104 vExtrait de la publication Calcul différentiel et équations différentielles

2.9Conditions nécessaires doptimalité du premier ordre

en labsence de diérentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

2.10Méthodededescentelelongdugradient ............112

2.11Conditions nécessaires doptimalité en présence de contraintesdinégalité .............................116

2.12Diérentielle de Gâteaux. Multiplicateurs de Lagrange . . . . . 119

2.13Minimisation dune fonction convexe sous une contraintedinégalitéconvexe.........................122

2.14Minimisation dune fonction convexe sur un polyèdre convexedeR

n ................................126

2.15Détermination et nature des points critiques dune fonction.

Diérentiation de lapplication exponentielle . . . . . . . . . . 132

2.16Calcul diérentiel dordre supérieur. Diérentielle dordre 2duneapplicationcomposée....................136

2.17Résolution déquations par la méthode de Newton I . . . . . . 140

2.18Résolution de léquationf(x)=0par la méthode

de Newton II. Minimisation d"une fonction convexe

2.19Un théorème de Rolle pour les fonctions à valeurs vectorielles.Un problème de maximisation. Sensibilité des racines simplesdunpolynôme...........................147

2.20Conditions doptimalité exprimées à laide du cône tangentà lensemble des contraintes. Applications à un problèmevariationnel ............................153

2.21Problème variationnel de minimisation dune fonctionnelleduCalculdesvariations......................158

2.22Calcul diérentiel dordre 2 sur un espace de matrices.Surjectivité de la normale unitaire à une hypersurfacecompacte deR

n . Ensemble des solutions possibles d"une équation différentielle scalaire linéaire d"ordren.....163

2.23Descente continue le long du gradient. Projection

sur une surface deR 3 .......................166

2.24Une surface conique deR

3 . Monotonie des solutions d"équations différentielles scalaires autonomes. Une équation différentielle vectorielle linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

2.25Un problème aux limites par le Théorème des fonctions

implicites. Équations diérentielles linéaires à coecients vi

Table des matières

2.26Du Théorème des fonctions implicites au Théorème

2.27Intégrales premières. Utilisation du Théorème des fonctionsimplicites. Une équation aux dérivées partielles . . . . . . . . . 180

2.28Diérentiabilité de la fonction distance à un ensemble.Une équation diérentielle scalaire non linéaire du deuxièmeordre. Système diérentiel linéaire où les valeurs propresdeA(t)ne dépendent pas det..................184

2.29Équations diérentielles scalaires. Équation diérentielle

vectorielle linéaire à coecients périodiques . . . . . . . . . . . 189

2.30Distance de lorigine à une courbe deR

3 . Comportement asymptotique des solutions d"une équation différentielle

2.31Équation diérentielley

=xy 2 . Comportement asymptotique des solutions d"une équation différentielle linéaire vectorielle 195

2.32Formule de Thermodynamique sur les dérivées partielles.Équation diérentiellex

=tsinx. Équation différentielle

2.33Équations diérentielles non linéaires. Comportementasymptotique des solutions dune équation diérentiellelinéairesouslaconditiondeLiapounov .............205

2.34Une équation diérentielle scalaire autonome. Calculde la hauteur dune courbe. Diérentiation de la fonction

déterminant ............................207

2.36Méthodes dapproximation de solutions déquations

Bibliographie223

viiExtrait de la publication

AVANT-PROPOS

Le module d"enseignement intitulé " calcul différentiel-équations différentielles » figure dans les formations de mathématiques au niveau L3 des licences de mathé- matiques. Il a la réputation d"être difficile, de manière injustifiée nous semble-t-il, car il est certainement moins abstrait que la Topologie générale ou la Théorie de la mesure enseignées au même niveau, et possède un aspect " mathématiques qui fonctionnent » qui fait son attrait et qu"il s"agit d"exploiter. Le présent ouvrage s"adresse aux étudiants. C"est un recueil de devoirs, au sens premier de ce vocable, c"est-à-dire de travaux à effectuer, en temps limité ou chez soi, seul ou à plusieurs. Les devoirs -du moins lorsqu"on n"abandonne pas trop vite devant les difficultés- ont pour objectif de faire progresser dans la maîtrise du savoir et du savoir-faire qui vont avec le sujet; bref, ici comme dans les autres mo- dules, " on progresse en mathématiques en faisant...» La plupart des problèmes et exercices proposés sont originaux (mentionnons a contrario l"exercice 2 de 1.19 pris dans [12], 1.35 issu de [14] et de parties de 1.18 et de 1.27 adaptées de [5]). La durée estimée pour la plupart des devoirs proposés est de 3 heures. Certes, nous avons renoncé à ces devoirs à l"ancienne constitués d"un long problème en plusieurs parties, culminant en un résultat tangible de synthèse; il s"agira davan- tage pour nous d"un ensemble de deux ou trois exercices indépendants, traitant de chapitres différents du programme. Les thèmes traités suivent grosso modo le déroulement d"un programme standard de module " Calcul différentiel-Équations différentielles » (cf. infra), avec au fur et à mesure qu"on avance, un retour sur les chapitres passés, bref une progression en spirale qui nous est chère, plutôt qu"une progression linéaire. La plupart -sinon tous- les devoirs proposés dans le présent recueil ont été posés durant les dix dernières années sous forme d"examens intermédiaires ou terminaux en temps limité, ou à rendre rédigés après y avoir

travaillé chez soi. Ils ont parfois été reconstitués ou légèrement modifiés, ce qui a

inévitablement introduit des perturbations voire de légères erreurs. Voyons avec quelques commentaires le programme couvert.Extrait de la publication Calcul différentiel et équations différentielles Calcul différentiel.Dans certaines universités, ce thème fait seul l"objet d"un module séparé en licence de mathématiques. Le calcul différentiel est né au xvii e siècle de la nécessité de résoudre des problèmes d"optimisation (ou d"extremum selon une terminologie plus ancienne); la forme élaborée qui est présentée dès les premiers chapitres du programme date de la fin du xixquotesdbs_dbs4.pdfusesText_7