[PDF] Feuille 4: ¶equations difi¶erentielles

REAL AND COMPLEX ANALYSIS - ERNET

h= f So using Theorem 1 7, we only need to show fis a measurable function Consider a cube Qin Rn Q= I 1 I 2 I n, where I i are the intervals in R So f 1(Q) = u 1 (I 1) \u 1 2 (I 2) \\ u 1

Thomas HELART - univ-lillefr

Analyse fonctionnelle, analyse complexe, théorie de l'approximation, théorie du potentiel Langues Anglais : niveau européen C1, plusieurs séjours à Londres

Feuille 4: ¶equations difi¶erentielles

D¶partement de Math ¶ematiques DEUG STPI 1er niveau Universit¶e d’Orl ¶eans Deuxiµeme semestre, ann¶ee 1999/2000 Feuille 4: ¶equations difi¶erentielles 1 Equations lin¶ ¶eaires du premier ordre Exercice 1 Datation au carbonne 14 Le carbone contenu dans la matiµere vivante contient une inflme proportion d’isotope radio-actif

Cyril Charignon 10 novembre 2018 arXiv:09030502v1 [mathGR

arXiv:0903 0502v1 [math GR] 3 Mar 2009 Compactifications polygonales d’un immeuble a ffine Cyril Charignon 10 novembre 2018 R´esum ´e A partir d’une de´composition en coˆnes de l’espace directeur d’un appartement d’un immeuble affine localement

Suites - Claude Bernard University Lyon 1

Suites réelles Pascal Lainé Exercice 4 : Soit ( ) une suite définie par la relation de récurrence +1= 1 2 +1 Et la donnée de 0 1 1 1 Montrer que s

Exercices de niveau A1 Vous trouverez les corrigés à la fin

Page 6 Corrigés Exercice 1 1 c, 2 f, 3 b, 4 g, 5 d, 6 i, 7 j, 8 a, 9 e, 10 h Exercice 2 a Clive Owen et elle jouent un couple d’espions b

IFP (Institut Franc ais du Pe trole) Simulation dese

complexe compatible avec l'algorithme de recalage Les car acte ristiques de cette structure permettent d'e valuer si le recalage et les objets de form es sont compatibles avec les outils existants Notre me thode nous permet d'utiliser comme ame rs la totalite des sillons pre sents chez les deux sujetsa recaler

DENOMBREMENTS, COMBINATOIRE EXERCICES CORRIGES

DENOMBREMENTS, COMBINATOIRE EXERCICES CORRIGES Produit cartésien (ou « principe multiplicatif ») Exercice n°1 Combien de menus différents peut-on composer si on a le choix entre 3 entrées, 2 plats et 4 desserts ?

A mes parents A tous ceux qui ont contribu e, contribuent et

A Dominique, a Luka et a Mathias A mes parents A tous ceux qui ont contribu e, contribuent et contribueront a eveiller nos consciences Aux coll egues montpelli erains, grenoblois, bordelais et

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D

Universit

1.

Exercice 1.Datation au carbonne 14

Le carbone contenu dans la matiµere vivante contient une in¯me proportion d'isotope radio-actif

C

14. Ce carbonne radio-actif provient du rayonnement cosmique de la haute atmosphµere. Gr^ace µa un

Applications:

Europeestime que cet homme vivait entre 30.000 et 20.000 ans avant J.C. Dans quelle fourchette se k 0=1 8000
,k1<<1. | Si, dans de l'air µa 20 ±, ce corps met 20 minutes pour passer de 100±µa 60±, combien de temps met-il pour atteindre 30 mv

0=¸cost¡kv

oµu¸costcorrespond µa l'oscillateur et¡kvµa une force de frottement. (2) Le support est en fait un tamis et la masse diminue donc avec le temps:m(t) =m0(1¡t). 1

2.Autour des circuitsRLC

C iL E u interrupteur

Figure 1.circuite RLC

½Ri+Ldi

dt +u=E i=Cdu dt Exercice 4.On considµere d'abord un circuit autonome (sans alimentation)E= 0. A l'instantt= 0, on abaisse l'interrupteur:i(0) = 0. On suppose que le condensateur est intiale- |R= 10,L= 1 etC= 1. |R= 1,L= 1 etC= 1. |R= 1,L= 1 etC= 4.

M^eme question lorsque le circuit correspond µa la sortie d'un transformateur 12V:E(t) = 12cos(2¼t=50).

Exercice 5.On considµere maintenant le circuit sans inductanceL= 0. |E=E0, |E= 12cos(2¼t=50), |E= 12cos(2¼t=50) +E0(t) avecE0les tensionsu(t) de l'exercice 4, |E(t) =(

1 sik·x < k+1

2

0 sik+1

2

·x < k+ 1kun entier.

3. x

0=ax¡bx2=axµ

1¡b

a 1 ¡n+1, on calculex0(t) en fonction dez(t) et dez0(t) et on en 1790: 3.929.000 habitants, en 1850: 23.192.000 et en 1910: 91.972.000 habitants.

105.711.000, 1930: 122.775.000.

(3) Quelle est la population en 1960 et en 1980? une formule donnant son volumeVen fonction du temps.

de temps, et en sortent proportionnellement µa la concentration: siNest la concentration µa l'instant

dN dt =R¡KN: Exercice 9.Une population de punaises vivant sur une surface plane se rassemble en une colonie

ayant la forme d'un disque. Le taux d'accroissement naturel des punaises estr1; de plus, les punaises

N. On trouve que la

n

0=r1N¡r2p

N:

¹= 885kg:m¡3. La goutte est soumise µa l'action de la pesanteur et µaune force de frottement fuide

Exercice 11.Pour les dessins 1 µa 6,

(1) Trouver l'isoclineI0. (3) Dessiner quelques solutions x

0= 2; x0=x¡t; x0=x

x 0=x t ; x0=t; x0=¡t x

Exercice 12.Marier les familles de solutions des pagesA) µaHavec les champs de directiona) µah).

1)±3±2±10123

x(t)

±3 ±2 ±1 1 2 3

t 2)

±4±2024

x(t)

±2 2 4

t

3)±4±2024

x(t)

±2 2 4

t

4)±4±2024

x(t)

±3 ±2 ±1 1 2 3 4

t

Travaux Partiques: initiation µa MAPLE

5.MAPLE : qu'est-ce?

| formel: il sait e®ectuer un certain nombre de calculs formels sur les fonctions... (par exemple,

quandf(x) =x2. Le calcule formel dit quef0(x) = 2xdoncf0(2) = 2£2 = 4. Ceci implique que le logiciel sache x¡2donc pour avoirf0(2) µa une x¡2. Il existe d'autres logiciels de calcul scienti¯que, parmis lesquel

Remarque:Scilab est gratuit et fait µa peu prµes la m^eme chose que MATLAB mais a une interface

6.Comment c»a marche?

| l'interface de MAPLE est assez pratique (aprµes un court apprentissage), ce qui permet de rapidement faire ce qu'on veut (sans phase de \debuguage" longue). De plus il possµede une grande bibliothµeque de fonctions. Toutefois, pour une application industrielle, MAPLE (ou MATLAB...)

FORTRAN dans l'industrie).

Par exemple, le package \plots" utile pour dessiner des graphes de fonctions, des lignes de niveau...

s'appelle par > with(plots) : ou > with(plots);

7.MAPLE comme calculatrice.

directement, beaucoup d'autres sont disponibles dans divers package).

7.1.Calcul sur les entiers et les fractions.Vous pouvez calculer la somme, le produit, le quotient,

des puissances... d'entier: >3 + 4; >3=4; >3=4 + 1=3; >3^4; 3 4 ou 34pour pouvoir utiliser ces expressions exactes dans la suite. Si vous voulez 0;75... il faut entrer: >3=4; > evalf(%); 4

Faites maintenant

>1=3 : > evalf(%); >1=3 : > evalf(%;100); >1=3 : > evalf(%); Si vous voulez la changer pour un certain nombre de calculs: > Digits:= 30; >1=3 : > evalf(%); > convert(%;fraction);

grande (525000 chi®res voir 39.000.000 selon l'ordinateur). Par exemple la factorielle de 1000000 ou

2

22222222

>1000000!; inutile de perdre votre temps avec »ca! >2^(2^(2^(2^(2^(2^(2^(2^2))))))); >12:47663; > Pi; > E:=exp(1); > B:=E^Pi; > equation:=fA=Bg; Voici les principales fonctions que vous utiliserez: fonction MAPLE fonction MAPLE jxj abs(x) p x sqrt(x) e x exp(x) x y x^y lnx ln(x) ou log(x)

Logx = log

10x log10(x) log en base b log[b](x) n p x sqrt[n](x) sinx sin(x) cosx cos(x) tanx tan(x) cotanx cot(x) arcsinx arcsin(x) arccosx arccos(x) arctanx arctan(x) arccotanx arccot(x) sinhx sinh(x) coshx cosh(x) tanhx tanh(x) cotanhx coth(x) argsinhx arcsinh(x) argcoshx arccosh(x) argtanhx arctanh(x) argcotanhx arccoth(x)

Calculer sine2tan2¼.

est > f:=x¡> x^Pi;

Le calcul ci-dessus s'obtien alors par

de fonctions). > evalf(g(2)); Dans ce cas, essayez l'une ou plusieurs des commandes: > simplify(%); simpli¯e la derniµere expression (quand MAPLE sait faire) faire:

7.4.Besoin d'aide?MAPLE dispose d'un module d'aide. On y accµede de plusieurs fa»cons:

-1- En utilisant le menu d'aide (en haut µa droite de la fen^etre). On peut alors: -1.1- chercher directement la fonction dans l'arborescence, par exemple pour avoir la liste des fonctions disponibles, regarder µa Mathematics!Basic Mathematics!Initially known functions -2- Si on connait le nom de la fonction (disons\plot"): >?plots

8.MAPLE comme calculatrice graphique.

Pour cela, il faut faire appel au package \plots00: > with(plots); qui a±che la liste des fonctions disponibles gr^ace µa ce package, ou > with(plots) :

qui ne l'a±che pas mais rend quand m^eme les fonctions disponibles (pratique quand on commence µa

conna^³tre le logiciel). Si on veut faire un graphe de la fonctionfentreaetb, on peut alors taper > plot(f(x);x=a::b); lui imposer l'axe desy: > plot(f(x);x=a::b;y=c::d); x entre¡¼et¼puis en ne tra»cant que la partie positive, s'obtient par > plot(sin(x)=x;x=¡Pi::Pi); > plot(sin(x)=x;x=¡Pi::Pi;y= 0::1);

Si vous voulez tracer la fonction surR,

> plot(sin(x)=x;x=¡infinity::infinity); De nombreuses options sont possibles (voir l'aide plot[options]), notons > plot(fsin(x)=x;sin(x)g;x=¡infinity::infinity); > plot(tan(x);x=¡Pi::Pi); > plot(tan(x);x=¡Pi::Pi;y=¡5::5); > plot(tan(x);x=¡Pi::Pi;y=¡5::5;discont=true); > f:=x¡> tan(x); > plot(f;¡5::5); \plot": > plot3d(f;0::2;1::2);

En cliquant sur le dessin, on voit appara^³tre une ligne de menu gr^ace µa laquelle on peut changer un

certain nombre de paramµetres: angle de vue, type des axes, style de dessin (tout cela peut ^etre mis

en option dans plot3d).

Pour tracer des lignes de niveau, 2 solutions:

| soit ajouter l'option \style=contour" dans plot3d: | soit utiliser \contourplot" dont la syntaxe est la m^eme que pour plot. oµucontours= 20 demande de tracer 20 lignes de niveau. diff¡f(x);x;:::;x| {zquotesdbs_dbs14.pdfusesText_20