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Matrices - Claude Bernard University Lyon 1

Matrices Pascal Lainé 1 Matrices Exercice 1 Pour une matrice à une ligne et une colonne de ℳ1(ℝ)on posera (????)=???? Soit =( 1 2 3)∈ℳ3,1(ℝ), soient ????= 1 3 (6 −2 2 −2 5 0 2 0 7)et ????=1 3 (2 −1 2 2 2 −1 −1 2 2) 1 Calculer ???? ????????, en déduire que ???? est inversible et donner ????−1 2

Applications linéaires, matrices, déterminants

Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 3 Exercice 11 Soit un endomorphisme de ℝ3 dont l'image de la base canonique =( 1, 2, 3) est :

Applications linéaires, matrices, déterminants

Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 2 2 Donner une base de ( ), en déduire ( ( )) 3 Donner une base de ( ) Allez à : Correction exercice 6 Exercice 7 Soit un endomorphisme de dont l'image de la base canonique ( ) est : ( ) ( ) ( ) 1 Pour tout vecteur

Intégrales généralisées Suites et séries numériques Suites

Pascal Lainé Intégrales généralisées Suites et séries numériques Suites et séries de fonctions Séries entières Exercices corrigés Licence STS L2 Mathématiques et Économie Université Lyon 1 Table des matières • Intégrales généralisées (énoncés) p 2 • Intégrales généralisées (corrections) p 4

DIAGONALISATION - physique-mathscom

Exercice 1 1 Déterminer si les matrices suivantes sont diagonalisables (sur R ou C) Lorsque c’est le cas, les diagonaliser puis calculer leur puissance 100-ième (i) M 1 = 4 1 9 2 (ii) M 2 = 6 8 4 6 (iii) M 3 = 2 1 2 0 Corrigé de l’exercice 1 1 (i)Première étape : valeurs propres Le polynôme caractéristique de M 1 est det(M

Calculs sur les matrices - Exo7

On fait ceci pour toutes les matrices élémentaires E ij avec 1 6i; j 6n ce qui implique A=B Correction del’exercice4 N Notons A = (a ij), notons B = tA si les coefficients sont B = (b ij) alors par définition de la transposée on a b ij =a ji Ensuite notons C = A B alors par définition du produit de matrices le coefficients c

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Algèbre 3 - Université du Luxembourg

Diagonalisation et trigonalisation - sorbonne-universitefr

Diagonalisation et trigonalisation Alg ebre et analyse fondamentales - Paris 7 - O Bokanowski - Septembre 2015 Pour ce cours il est important de conna^ tre le th eor eme donnant les divers crit eres de diago-

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Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 1 Applications linéaires, matrices, déterminants

Exercice 1.

1. Montrer que ݑ est linéaire.

Allez à : Correction exercice 1

Exercice 2.

1. Montrer que ݂ est une application linéaire.

Allez à : Correction exercice 2

Exercice 3.

1. Montrer que ݂ est une application linéaire.

3. Donner une base de ܫ

Allez à : Correction exercice 3

Exercice 4.

1. Montrer que ݄ est une application linéaire.

2. Montrer que ݄ est ni injective ni surjective.

3. Donner une base de son noyau et une base de son image.

Allez à : Correction exercice 4

Exercice 5.

Soit ݂ ݂ǣԹଷ՜Թଷ définie par :

Allez à : Correction exercice 5

Exercice 6.

1. Montrer que ݂ est une application linéaire.

Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 2

3. Donner une base de ܫ

Allez à : Correction exercice 6

Exercice 7.

convient.

On pourra utiliser une autre méthode.

3. Déterminer une ou plusieurs équations caractérisant ܫ

Allez à : Correction exercice 7

Exercice 8.

Soit ݑǣԹସ՜Թଷ une application linéaire définie par

3. Déterminer une base de ܫ

Allez à : Correction exercice 8

Exercice 9.

2. Donner une base (La plus simple possible) de ܫ

4. Montrer que ܧ

Allez à : Correction exercice 9

Exercice 10.

On admettra que ݑ est une application linéaire.

1. Déterminer une base du noyau de ݑ.

2. ݑ.

3. Déterminer une ou plusieurs équations caractérisant ܫ

Allez à : Correction exercice 10

Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 3

Exercice 11.

2. En déduire que ݂ est inversible (c'est-à-dire bijective) et déterminer ݂ିଵ.

Allez à : Correction exercice 11

Exercice 12.

1. Montrer que ݂ est une application linéaire.

2. ݂.

Allez à : Correction exercice 12

Exercice 13.

1. Montrer que ݂ est une application linéaire.

3. Déterminer une base de ܫ

Allez à : Correction exercice 13

Exercice 14.

Soit ݑǣԹଷ՜Թଷ :

1. Montrer que ݑ est linéaire.

Allez à : Correction exercice 14

Exercice 15.

Soit ݑ un endomorphisme de Թଷ défini par :

Montrer que ܧ et ܨ

3. Déterminer une base de ܧ et une base de ܨ

4. Y a-t-il ܨ۩ܧ

Allez à : Correction exercice 15

Exercice 16.

Soit ݂ǣԹଷ՜Թଷ :

Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 4

1. Montrer que ܧିଵ et ܧ

3. Que peut-on en déduire sur les dimensions de ܧିଵ et de ܧ

4. Déterminer ܧିଵܧת

5. A-t-on ܧିଵܧْ

Allez à : Correction exercice 16

Exercice 17.

Soient

Soit ݑ Թଷ définie par :

3. Montrer que :

Allez à : Correction exercice 17

Exercice 18.

1. Montrer que ݌ est une application linéaire.

tout ݑא

égaux.

Allez à : Correction exercice 18

Exercice 19.

2. Pour tout ݔܧא

Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 5

Allez à : Correction exercice 19

Exercice 20.

Allez à : Correction exercice 20

Exercice 21.

Allez à : Correction exercice 21

Exercice 22.

1. Montrer que ݑ est une application linéaire.

Allez à : Correction exercice 22

Exercice 23.

Soit ݑ une application linéaire de ܧ dans ܧ, ܧ Montrer que les deux assertions suivantes sont équivalentes (b) ܫ

Allez à : Correction exercice 23

Exercice 24.

Question de cours

Soit ݑ une application linéaire de ܧ vers ܧ

Allez à : Correction exercice 24

Exercice 25.

Soit ݑǣܧ՜ܧ une application linéaire et ߣ

Montrer que est un sous-espace vectoriel de ܧ

Allez à : Correction exercice 25

Exercice 26.

Soient ܧ et ܨ

Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 6

Soit ݑǣܧ՜ܨ

2. Montrer que si ݊൐݌ alors ݑ

Allez à : Correction exercice 26

Exercice 27.

Soit ݂ǣܧ՜ܨ

Montrer que :

Allez à : Correction exercice 27

Exercice 28.

Soient ݂ et ݃ deux endomorphisme de Թ௡. Montrer que

Allez à : Correction exercice 28

Exercice 29.

Soit ݑ un endomorphisme de ܧ

Allez à : Correction exercice 29

Exercice 30.

Soit ݑ un endomorphisme de ܧ

Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes

Allez à : Correction exercice 30

Exercice 31.

1. ݌ൌ͵, ݍൌ-

b) Déterminer la matrice de ݑ de la base ݁ dans la base ݂. c) ݑ.

2. ݌ൌ͵ et ݍൌ͵, dans cette question ݁ൌ݂

b) Déterminer la matrice de ݑ de la base ݁ dans la base ݁. c) ݑ.

Allez à : Correction exercice 31

Exercice 32.

1. ݌ൌ-, ݍൌ͵

Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 7 c) ݑ. c) ݑ.

Allez à : Correction exercice 32

Exercice 33.

(On admet que ݑ est une application linéaire). b) Déterminer la matrice de ݑ de la base ݁ dans la base ݁. c) ݑ. (On admet que ݑ est une application linéaire). b) Déterminer la matrice de ݑ de la base ݁ dans la base ݁. c) ݑ.

Allez à : Correction exercice 33

Exercice 34.

Soit ݂ǣԹସ՜Թଷ Թସ et Թଷ est

1. Déterminer une base du noyau de ݂.

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