GRAL 2007-2008 Somme des distances d’un point aux côtés d’un
Soit ABC un triangle et M un point intérieur au triangle, appartenant éventuellement aux côtés du triangle On veut savoir où placer M pour que la somme S des distances de M aux cotés du triangle soit minimale (resp maximale), dans le cas : 1 d’un triangle équilatéral ; 2 d’un triangle ABC isocèle de sommet principal A II
Pour tout triangle, la longueur d’un côté est inférieure à la
Si un triangle est rectangle isocèle alors chacun de ses angles aigus mesure 45° III) Inégalité triangulaire Pour tout triangle, la longueur d’un côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés BC < BA + AC AB < AC + CB AC < AB + BC Contre-exemples : a) Construire le triangle tel que BC = 10 cm, AB = 5 cm et AC
Chapitre n°10 : « Les triangles
5ème4 2009-2010 III Somme des angles d'un triangle Activité • En traçant la droite parallèle à BC passant par A, on voit apparaître des angles alternes-
TRIANGLES I Somme des angles dun triangle
I Somme des angles d'un triangle Propriété : la somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180° Conséquences : Si un triangle est équilatéral, alors chacun de ses angles mesure 60° Si un triangle est rectangle, alors la somme de ses deux angles aigus est égale à 90°
Somme des angles 2
Somme des angles 1 Calcul de l'angle manquant Dans chaque cas, calcule la mesure de l'angle inconnu La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180° F = 180 – (14 + 61) F = 180 – 75 = 105° I = 180 – (71 + 23) I = 180 – 94 = 86° E = 180 – (30 + 75)
COMPÉTENCES EXIGIBLES ORIENTATIONS PEDAGOGIQUES
les longueurs des trois côtés Sur papier uni, reproduire un angle au compas Connaître et utiliser, dans une situation donnée, le résultat sur la somme des angles d’un triangle Savoir l’appliquer aux cas particuliers du triangle équilatéral, d’un triangle rectangle, d’un triangle isocèle
Exercices CEB : les triangles - ARK-Primaire
TRACE, avec tes instruments, un triangle dont les côtés mesurent 5 cm, 6 cm et 8 cm PLACE des signes mathématiques sur ces triangles dessinés à main levée pour montrer qu'il s'agit d'un triangle équilatéral d'un triangle rectangle dun triangle isocèle
Fiche n°13 CONNAÎTRE ET UTILISER LES TRIANGLES EGAUX
D’après la leçon, la somme des mesures des angles d’un triangle est toujours égale à 180° Donc, dans le triangle AOC, on a : OAC = 180 − 38 − 51 = 91° Le triangle AOC n’est donc pas rectangle, et comme, d’après la question précédente, les triangles AOC et BOD sont égaux, le triangle BOD n’est pas rectangle non plus
Le triangle au collège - ac-aix-marseillefr
Faire des mathématiques avec GéoPlan Page 1/8 Le triangle au collège Le triangle au collège Milieux et parallèles Cinq exercices de géométrie plane avec GéoPlan Sommaire 1 Triangles particuliers 2 Somme des angles d'un triangle 3 Droite des milieux 4 Angles et triangles 5 Triangle rectangle isocèle 6 Droites parallèles 7
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Expérimenter,
conjecturer, démontrerSomme des distances d'un point
aux côtés d'un triangleFiche professeur
I. Présentation de l'activité
Soit ABC un triangle et M un point intérieur au triangle, appartenant éventuellement aux côtés du
triangle. On veut savoir où placer M pour que la somme S des distances de M aux cotés du triangle soit minimale (resp. maximale), dans le cas :1. d'un triangle équilatéral ;
2. d'un triangle ABC isocèle de sommet principal A.
II. Public : 1
ère
S.III. Objectifs
Expérimenter et conjecturer sur un problème d'optimisation. Utiliser les techniques de calcul algébrique pour démontrer une conjecture.IV. Pré-requis
Mathématiques :
Aire d'un triangle.
Sens de variation d'une fonction affine.
Calcul algébrique : une bonne lecture des expressions algébriques qui sont du premier degré, mais comportent des paramètres, pour les écrire sous une forme efficace. T.I.C.E. : Construire une figure avec un logiciel de géométrie dynamique.V. Déroulement de l'activité
Au début d'une séance d'une heure en demi-groupes en salle informatique ou polyvalente cours/informatique, le professeur donne l'énoncé suivant : " ABC est un triangle équilatéral. M est un point situé à l'intérieur du triangle ABC (éventuellement sur les côtés du triangle). H, K et L sont les pieds des hauteurs respectives des triangles MAB, MAC et MBC, issues de M. Où placer M de sorte que la somme MH + MK + ML soit minimale (respectivement maximale) ? »L'énoncé est écrit au tableau puis la consigne suivante est donnée oralement : " l'objectif est de
résoudre cet exercice par la méthode de votre choix ». Les explorations possibles peuvent se faire sur papier ou, plus confortablement, au moyen d'une figure réalisée dans un logiciel de géométrie dynamique. On attend des élèves l'observation que la somme S est constante et on leur en demande la démonstration.Le professeur pose ensuite la question :
" et si le triangle n'est plus équilatéral, mais isocèle ? » Il est facile de vérifier que, cette fois, la somme n'est pas constante.GRAL 2007-2008
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On peut chercher à analyser ce qui change dans le calcul précédent : le triangle est isocèle, on peut
éventuellement faire remarquer aux élèves que le côté qui n'a pas la même longueur que les deux
autres joue un rôle particulier. Supposons donc le triangle isocèle en A : on se dirige vers une
démonstration algébrique en exprimant la somme S MH + MK + ML en fonction de MK.Mais une démarche préalable, utilisant une expérimentation avec un logiciel de géométrie est à
conseiller : elle est féconde, car elle permet de prévoir la discussion sur les valeurs relatives des
longueurs des côtés du triangle et donne donc du sens au travail algébrique. Elle permet aussi de
conjecturer d'autres propriétés de la somme S.La conjecture attendue est que, si la longueur de la base est inférieure à celle des deux autres côtés
(ou l'angle au sommet principal inférieur à 60°), la somme S est minimale lorsque M est confondu
avec le sommet principal et maximale si M appartient à la base. Si la longueur de la base estsupérieure à celle des deux autres côtés les positions qui permettent d'obtenir le minimum et le
maximum s'inversent.On peut prévoir qu'en fin de séance, on aura pu faire émerger des conjectures. On donnera donc les
démonstrations en devoir à la maison : il sera bon de prévoir de faire le point lors d'une séance
intermédiaire avec les élèves sur leurs avancées et leurs difficultés.VI. Apport de l'outil informatique
La construction de la figure sur un logiciel de géométrie dynamique permet de créer l'affichage des
valeurs de la somme et permet ainsi des conjectures solides. Les élèves connaissent ainsi le but des
calculs qu'ils entreprennent. Cette activité permet de valider des compétences du B2i : Domaine 1 : S'approprier un environnement informatique de travail ; Domaine 3 : Créer, produire, traiter, exploiter des données.VII. Démonstrations possibles
Triangle ABC équilatéral
La démonstration est classique : elle repose sur un calcul d'aire.Si H, K et L sont les pieds des perpendiculaires menées de M respectivement à [AB], [BC] et [CA],
et si c désigne la longueur commune des côtés du triangle, alors :111 222
1 2
11 22aire ABC aire MAB aire MBC aire MCA
MHAB MKBC MLCA
MH c MK c ML c
cMH MK ML cS en appelant S la somme étudiée. Donc2aire ABCSc est bien constante, et égale à la hauteur du
triangle.GRAL 2007-2008
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Triangle ABC isocèle en A
Notons b la longueur de la base [BC] et a la longueur commune de [AB] et [AC].On adapte le calcul précédent :
111 222
1 2
1 2
1 2aire ABC aire MAB aire MBC aire MCA
MH AB MK BC ML CA
MH a MK b ML a
MH a MK a ML a MK b MK a
Sa MK b a
Donc2AireABC aS b a MK, ce qui conduit à
2a b AireABCSMKaa
On voit que S ne dépend de M qu'à travers la valeur de MK. C'est même une fonction affine de
MK, dont le sens de variation dépend du signe de a - b, ce qui va fournir la validation des conjectures.VIII. Prolongements possibles
L'utilisation d'un logiciel de géométrie dynamique permet de faire d'autres conjectures : ainsi, on peut conjecturer puis démontrer que la somme S reste constante si le point M se déplace sur un segment parallèle à la base [AC]. Cerésultat est simple à établir dès lors que S a été exprimée en prenant pour variable x
la hauteur MK. On peut aussi proposer d'étudier le cas où ABC est un triangle rectangle : la formation que les élèves auront reçue en résolvant les cas précédents doit leur permettre de se lancer dans l'étude de ce troisième cas avec confiance. On peut associer à ce problème une figure dans l'espace, en associant au point M(x ; y) le point N(x ; y ; S) : N décrit la surface d'équation S f(x,y), surface plane limitée à un triangle quand M est décrit l'intérieur du triangle ABC. Pour familiariser les élèves avec l'espace, le professeur peut montrer l'influence des divers paramètres sur une figure réalisée au moyen d'un logiciel de géométrie dans l'espace.quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44