174 EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES — PARTIE II
Programmation linéaire Sujets du chapitre ‚ Observations sur la géométrie du problème ‚ Condition d’optimalité ‚ Déduction de l’algorithme du simplexe ‚ Théorie de la dualité linéaire ‚ Dégénérescence ‚ Aspects numériques 179
Dualité en Programmation Linéaire Algorithmes primal et dual
Dualité et programmation linéaire 17 1- Montrer que : R ∀ R rsatisfaisant les contraintes de (P) ∀ R rsatisfaisant les contraintes de (D) 1- Ecrire le dual lagrangien de (P) avec y= 0 comme variables duales 2- Donner les conditions sur y telles que ce dual lagrangien ait une valeur>-
Optimisation linéaire - EPFL
• En programmation linéaire, on arrive à trouver p* pour que g(p*) = c Tx* Dualité Michel Bierlaire 21 Le problème dual • Si on choisit p* comme prix pour le problème relaxé, il n’y a plus aucun intérêt à violer les contraintes • Résoudre le problème relaxé est donc équivalent à résoudre le problème primal
5Dualité en programmation linéaire
5 Dualité en programmation linéaire Illustration de la notion • Considérons une entreprise Problème de programmation linéaire avec inégalités
Unité D Programmation linéaire Corrigé
problèmes de programmation linéaire » peuvent être utilisées dans les tests et les examens Exercice 1 : Problèmes préliminaires - corrigé Ces problèmes ont été conçus pour être effectués par les élève à l'aide de feuilles de calcul Ils donnent aux élèves un aperçu de l'unité
Dualite´ - Page daccueil / Lirmmfr / - lirmm
LPSIL Ann´ee 2007-2008 TD MathOpt - Feuille 3 - Correction Dualite´ Correction de l’exercice 1 a) Le programme sous forme standard: Maximiser 2x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 Sous les contraintes :
Exercices de Programmation Lin´eaire – Mod´elisation
Exercices de Programmation Lin´eaire – Simplexe Primal – exercice 1 : R´esoudre le programme lin´eaire suivant par la m´ethode du simplexe Max z =5x1+6x2+9x3+8x4 s c x1+2x2+3x3+ x465 x1+ x2+2x3+3x463 x1, x2, x3, x4>0 – en faisant entrer en base la variable hors base dont le couˆt r´eduit est le plus grand
1 Programmation linéaire
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 1 3 1 0 0 21 x 3-1 3 0 1 0 18 x 4 1 -1 0 0 1 5 x 5-1 -2 0 0 0 0 La variable entrante est x 2 qui correspond à l’élément le plus négatif de la dernière ligne La variable sortante se calcule en trouvant le plus petit rapport positif entre la
Programmation linéaire - African Virtual University
programmation linéaire et de savoir interpréter la solution qui en résulte Expliquer ce qu’est la dualité et décrire son rôle dans la recherche de solutions de problèmes de programmation linéaire Expliquer les buts d’une analyse de sensibilité pour une solution donnée à un problème de programmation linéaire
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Dualité en Programmation Linéaire
Algorithmes primal et dual du simplexe
Alain Faye
Option 3A
Optimisation 1
1 PlanDualité lagrangienne (rappels)
Programmation linéaire et dualité
DĠfinition du dual d'un programme linĠaire
Théorème de dualité forte
Algorithmes primal et dual du simplexe
Annexes
Interprétation des variables duales
Théorème des écarts complémentaires
2 3Dualité lagrangienne
Dualité lagrangienne
avec ܴܺProblème Primal
Fonction de Lagrange
Fonction duale
Problème Dual
4Dualité lagrangienne
Théorème de dualité
Soit ݔܺכ
et כǡכ tels que:Corollaire
5 6Programmation Linéaire et dualité
796coût
unités 10unités 5C vitamine unités 20unités 30B vitamine unités 5unités 20A vitamine2 elaboratoir1 elaboratoirpoudre de 100g
Il lui faut au moins
25 unités de vitamine A
60 unités de vitamine B
15 unités de vitamine C
Pb du pharmacien ͗ fournir une potion contenant un minimum d'unitĠs en vitamines A, B, C en utilisant les poudres fournies par 2 laboratoires 896coût
unités 10unités 5C vitamine unités 20unités 30B vitamine unités 5unités 20A vitamine2 elaboratoir1 elaboratoirpoudre de 100g
Il lui faut au moins
25 unités de vitamine A
60 unités de vitamine B
15 unités de vitamine C
Pb du pharmacien ͗ fournir une potion contenant un minimum d'unitĠs en vitamines A, B, C en utilisant les poudres fournies par 2 laboratoires tt t t t 00 15105602030
25520s.c. 96min
21
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xx xx xx xx xx
Quelques solutions
x1 = 3, x2 = 0, z = 18 x1 = 2, x2 = 1, z = 21 Ce sont des solutions sous-optimales donc majorantsde la valeur optimale z* zΎ ч 18Comment obtenir des minorants?
͍ ч zΎ
9Majorants et minorants
3/10 ×la contrainte vit.A7,5 ч 6 dž1+ 3/2 x2ч 6 dž1+ 9 x2= z
Donc 7,5 ч zΎ
3/20 ×vit.A+ 1/10 ×vit.B75ͬ20 н 6 ч 6 dž1+ (15/20 + 2) x2ч 6 dž1+ 9 x2= z
Donc 3,75 н 6 с 9,75 ч zΎ
2/10 ×la contrainte vit.B12 ч 6 dž1+ 4 x2ч 6 dž1+ 9 x2= z
Donc 12 ч zΎ
On sait dèjàque 12 ч zΎ ч 18
Peut-on faire mieux ?
10Généralisons cette approche
Introduisons les variables
yAш0 , yBш0 , yCш025 ч 20 dž1+ 5 x2×yA60 ч 30 dž1+ 20 x2×yB15 ч 5 dž1+ 10 x2×yC
25 yA+ 60 yB+ 15 yCч dž1(20 yA+ 30 yB+ 5 yC) + x2(5 yA+ 20 yB+ 10 yC)
On impose
20 yA+ 30 yB+ 5 yCч 6(1)
5 yA+ 20 yB+ 10 yCч 9(2)
On a alors
25 yA+ 60 yB+ 15 yCч 6 dž1+ 9 x2= z
maximiser 25 yA+ 60 yB+ 15 yCsous contraintes (1) , (2) et avec yAш0 , yBш0 , yCш0 11Résumons
Problème primal (P)
s.c. ൝σୀଵܽݔܾProblème dual (D)
s.c. ൝σୀଵܽݕܿ tt t t t 00 15105602030
25520s.c. 96min
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