174 EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES — PARTIE II
Programmation linéaire Sujets du chapitre ‚ Observations sur la géométrie du problème ‚ Condition d’optimalité ‚ Déduction de l’algorithme du simplexe ‚ Théorie de la dualité linéaire ‚ Dégénérescence ‚ Aspects numériques 179
Dualité en Programmation Linéaire Algorithmes primal et dual
Dualité et programmation linéaire 17 1- Montrer que : R ∀ R rsatisfaisant les contraintes de (P) ∀ R rsatisfaisant les contraintes de (D) 1- Ecrire le dual lagrangien de (P) avec y= 0 comme variables duales 2- Donner les conditions sur y telles que ce dual lagrangien ait une valeur>-
Optimisation linéaire - EPFL
• En programmation linéaire, on arrive à trouver p* pour que g(p*) = c Tx* Dualité Michel Bierlaire 21 Le problème dual • Si on choisit p* comme prix pour le problème relaxé, il n’y a plus aucun intérêt à violer les contraintes • Résoudre le problème relaxé est donc équivalent à résoudre le problème primal
5Dualité en programmation linéaire
5 Dualité en programmation linéaire Illustration de la notion • Considérons une entreprise Problème de programmation linéaire avec inégalités
Unité D Programmation linéaire Corrigé
problèmes de programmation linéaire » peuvent être utilisées dans les tests et les examens Exercice 1 : Problèmes préliminaires - corrigé Ces problèmes ont été conçus pour être effectués par les élève à l'aide de feuilles de calcul Ils donnent aux élèves un aperçu de l'unité
Dualite´ - Page daccueil / Lirmmfr / - lirmm
LPSIL Ann´ee 2007-2008 TD MathOpt - Feuille 3 - Correction Dualite´ Correction de l’exercice 1 a) Le programme sous forme standard: Maximiser 2x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 Sous les contraintes :
Exercices de Programmation Lin´eaire – Mod´elisation
Exercices de Programmation Lin´eaire – Simplexe Primal – exercice 1 : R´esoudre le programme lin´eaire suivant par la m´ethode du simplexe Max z =5x1+6x2+9x3+8x4 s c x1+2x2+3x3+ x465 x1+ x2+2x3+3x463 x1, x2, x3, x4>0 – en faisant entrer en base la variable hors base dont le couˆt r´eduit est le plus grand
1 Programmation linéaire
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 1 3 1 0 0 21 x 3-1 3 0 1 0 18 x 4 1 -1 0 0 1 5 x 5-1 -2 0 0 0 0 La variable entrante est x 2 qui correspond à l’élément le plus négatif de la dernière ligne La variable sortante se calcule en trouvant le plus petit rapport positif entre la
Programmation linéaire - African Virtual University
programmation linéaire et de savoir interpréter la solution qui en résulte Expliquer ce qu’est la dualité et décrire son rôle dans la recherche de solutions de problèmes de programmation linéaire Expliquer les buts d’une analyse de sensibilité pour une solution donnée à un problème de programmation linéaire
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1 2
DualitéMichel Bierlaire3
3DualitéMichel Bierlaire5
4DualitéMichel Bierlaire7
DualitéMichel Bierlaire8
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6DualitéMichel Bierlaire11
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7DualitéMichel Bierlaire13
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8DualitéMichel Bierlaire15
DualitéMichel Bierlaire16
9LķĽĻ ʹ
DualitéMichel Bierlaire17
DualitéMichel Bierlaire18
10DualitéMichel Bierlaire19
■Il est appelé le problème primal. ■Le problème relaxé estDualitéMichel Bierlaire20
11DualitéMichel Bierlaire21
DualitéMichel Bierlaire22
12DualitéMichel Bierlaire23
cas à éviterDualitéMichel Bierlaire24
13DualitéMichel Bierlaire25
DualitéMichel Bierlaire26
max pTb s.c. ATp £c
min cTx s.c. Ax = b x ³0DualPrimal 14DualitéMichel Bierlaire27
DualitéMichel Bierlaire28
15 •C ў Λ! Ό LΜDualitéMichel Bierlaire29
•C ў Λ! Ό LΜDualitéMichel Bierlaire30
16DualitéMichel Bierlaire31
max pTb s.c. ATp £c
p £0 min cTx s.c. Ax £b x ³0DualPrimalDualitéMichel Bierlaire32
17DualitéMichel Bierlaire33
DualitéMichel Bierlaire34
18DualitéMichel Bierlaire35
max pTb s.c. A Tp =c min cTx s.c. Ax = b x ÎIR nDualPrimal
DualitéMichel Bierlaire36
19DualitéMichel Bierlaire37
DualitéMichel Bierlaire38
20DualitéMichel Bierlaire39
PRIMALDUAL
DualitéMichel Bierlaire40
PRIMAL minmax DUAL
³bi³0
contraintes£bi£ 0variables = bilibre³0£cj
variables£0³cjcontraintes libre= cj 21DualitéMichel Bierlaire41
DualitéMichel Bierlaire42
22DualitéMichel Bierlaire43
DualitéMichel Bierlaire44
■C"est le problème de départ. 23DualitéMichel Bierlaire45
DualitéMichel Bierlaire46
■Introduisons les variables d"écart dans le primal, et déterminons le dualPrimalDual
min cTx s.c. Ax ³b x ÎIR M1 N3 max pTb s.c. p ³0 ATp = c
24DualitéMichel Bierlaire47
PrimalDual
min cTx + 0Ty s.c. Ax-y =b x ÎIR y ³0 M3 N3 N1 max pTb s.c. p ÎIR ATp = c
-p £0DualitéMichel Bierlaire48
PrimalDual
min cTx+-cTx- s.c. Ax+-Ax-³b x +³0 x -³0 M1 N1 N1 max pTb s.c. p ³0 ATp £c
-ATp £-c
Les trois problèmes primaux sont
équivalents
Les trois problèmes duaux sont
équivalents
25DualitéMichel Bierlaire49
DualitéMichel Bierlaire50
26DualitéMichel Bierlaire51
27DualitéMichel Bierlaire53
SDualitéMichel Bierlaire54
28DualitéMichel Bierlaire55
DualitéMichel Bierlaire56
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