pavages - LIX

3 Qu’est-ce qu’un pavage régulier ? Ce sont ceux où un seul polygone est utilisé Tous les sommets devant être du même type Ces pavages, ainsi que les sommets, seront respectivement désignés par les types (1), (2) et (3) Il y a trois pavages réguliers Ils sont représentés dans la figure ci -dessous : Les trois pavages réguliers

Leçon 13 : Transformations du plan Frises et pavages

Un pavage est une portion de plan dans laquelle un motif de base se répète régulièrement par deux translations, une qui envoie A sur B, une qui envoie A sur C, telles que (AB) et (AC) ne soient pas parallèles A B C

pavages - LIX

Il est assez clair qu’un pavage non-p´eriodique n’est pas n´ecessairement ap´eriodique Voici deux exemples (similaires) de pavages qui ne sont ni p´eriodiques, ni ap´eriodiques : 1 Pour tout n ∈ Z, on note Dn la droite d’´equation x = n et ∆n la droite d’´equation y = 1 n (avec ∆0 d’´equation y = 0)

1ère SEANCE : LES TRANSFORMATIONS QUESTION 1 : Quest-ce qu

QUESTION 1 : Qu'est-ce qu'un pavage ? Animation de Thérèse Eveilleau : magie-ecureuil Donner une définition du pavage : QUESTION 2 : les transformations de M C Escher ( 1898-1972) , artiste hollandais Quelles sont les principales transformations géométriques qui composent ces pavages ?

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Qu’est-ce qu’un pavage ? Pour réaliser un pavage, il faut : -dessiner un motif à partir de formes géométriques, -réussir à recouvrir complètement le plan en répétant ce motif Attention, il ne doit plus rester de « trou » et les motifs ne doivent pas se chevaucher

Ateliers Mathématiques Atelier « Pavage

-Niveau Tous cycles Organisation Par petits groupes : 2 à 4 -Matériel Matériel pour paver, découpé ou non Mise en œuvre - Expliquer ce qu’est un pavage à partir d’exemples concrets

Aspects algorithmiques de la gØnØration de pavages

Qu’est-ce qu’un pavage? Pavage par des dominos La grille carrØe Un domaine à paver Introduction Œ p 3/22

Les pavages du plan avec des polygones réguliers

En tout sommet d’un pavage bord à bord, il est nécessaire que la somme des angles arrivant en ce sommet soit égale à 360° (2 ) Remarque : Il s’agit d’une condition nécessaire mais pas suffisante Bien que l’on puisse regrouper en un sommet sans trou ni chevauchement un triangle équilatéral, un 7-gone et un 42-gone réguliers

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Pavages p´eriodiques

Vincent Pilaud

2006

1 Introduction

Qu"il s"agisse du carrelage d"un mur ou des dessins dem.c. Escher(fig. 1), il est relativement courant et intuitif

d"appelerpavage p´eriodiquetout ensemble de pav´esPqui pr´esente deux propri´et´es essentielles :

1. propri´et´e topologique : l"ensemblePdoit recouvrir le plan sans chevauchement,

2. propri´et´e g´eom´etrique : l"ensemblePdoit ˆetre p´eriodique.

Commen¸cons par formaliser cette d´efinition en s´eparant clairement l"aspect topologique et l"aspect g´eom´etrique:

D´efinition 1(Pavage).SoitEun espace topologique. On appellepavagetout ensemblePde compacts deEtel que

(i)?

P?PP=E(recouvrement deE),

(ii) pour toutP,Q? P,°P∩°Q=∅(sans chevauchement des pav´es), (iii) pour toutK?Ecompact,{P? P |P∩K?=∅}est fini (recouvrement localement fini).

D´efinition 2(P´eriodicit´e).SoitPun pavage deE. On appellegroupe de sym´etriedu pavagePle groupeΓPdes

transformations deEquiconserventP(ie. toute transformationgdeEtelle que pour toutP? P,g(P)? P).

On dit que le pavagePest

(i)p´eriodiquelorsqu"il existe une partie finieFdePqui engendreP, ie. telle que pour toutP? P, il existeg?ΓP

tel queg(P)? F, (ii)non-p´eriodiquedans le cas contraire, (iii)ap´eriodiquelorsqueΓP={Id}.

D´efinition 3(Groupe cristallographique).SoitEun espace topologique etTEle groupe des transformations deE.

On appellegroupe cristallographiquedeEtout sous-groupe deTEqui est le groupe de sym´etrie d"un pavage deE.

On s"int´eresse ici aux pavages de l"espace euclidienRn. Dans un premier temps (§2), on discute de la distinction

entre non-p´eriodicit´e et ap´eriodicit´e d"un pavage, eton construit l"exemple du pavage ap´eriodique de Penrose (§2.2).

On ´etudie ensuite (§3) les pavages p´eriodiques du plan : on montre d"abord (§3.1) qu"il n"existe que 5 groupes

cristallographiques directs du plan, puis on propose un algorithme de trac´e de pavages (§3.2). Dans la derni`ere partie

(§4), on d´emontre les th´eor`emes de Bieberbach qui g´en´eralisent la situation du plan `a une dimension quelconque.

Fig.1 - Pavages dem.c. Escher

2 Pavages non-p´eriodiques et ap´eriodiques2.1 Pavages non-p´eriodiques

Il est assez clair qu"un pavage non-p´eriodique n"est pas n´ecessairement ap´eriodique. Voici deux exemples (similaires)

de pavages qui ne sont ni p´eriodiques, ni ap´eriodiques :

1. Pour toutn?Z, on noteDnla droite d"´equationx=net Δnla droite d"´equationy=1

n(avec Δ0d"´equation

y= 0). On consid´ere le pavagePconstitu´e de l"ensemble des rectangles d´elimit´es par lafamille de droites

F={Dn,Δn|n?Z}, ie. des adh´erences des composantes connexes du compl´ementaire deF. Ce pavage est

repr´esent´e sur la figure 2. 1

1/21/3

Fig.2 - Pavage non-p´eriodique en dimension 2

Ce pavage est clairement non-p´eriodique puisque son groupe de sym´etrie ne contient pas deux translations

lin´eairement ind´ependantes (et ceci contredirait le premier th´eor`eme de Bieberbach que nous allons montrer

dans la suite), et il n"est pas ap´eriodique puisque le groupeZs"injecte dans son groupe de sym´etrie.

2. On consid`ere un angleθtel queθ

πsoit irrationnel, et un losangeLdont l"un des angles estθ. On construit un

prismePdont la base est un triangle ´equilat´eral et dont les faces sont des losanges isom´etriques `aL. On recole

deux tels prismes le long d"une de leurs faces rhombiques (ie. en forme de losange), de sorte que leurs directions

soient oppos´ees (fig. 3). On obtient ainsi la brique de base de notre pavage.

Fig.3 - Brique de base

A partir d"un pavage du plan avec le losangeLobtenu en translatantLparall`element `a ses cˆot´es, on obtient une

sorte de tˆole ondul´ee dont les deux directions (dessus et dessous) sont diff´erentes (elles diff`erent d"un angleθ).

On superpose les couches ainsi construites de mani`ere `a faire co¨ıncider les ondulations du dessus d"une couche

avec les ondulations du dessous de la couche sup´erieure (fig. 4). Pour les mˆemes raisons que l"exemple pr´ec´edent,

on obtient un pavage non-p´eriodique mais pas pour autant ap´eriodique.

Fig.4 - Pavage non-p´eriodique en dimension 3

2.2 Pavage de Penrose

On va maintenant pr´esenter un pavage ap´eriodique dont la construction est dˆue `a Penrose. On note?le nombre

d"or (ie. la racine positive du polynˆomeX2-X-1). On consid`ere les deuxtuiles de Penrosesuivantes (fig. 5) :

1φ 1φ

Le cerf-volant

La ?èche

Fig.5 - Tuiles de Penrose

Pour chaque tuile, on d´efinit une transformation donn´ee par la figure suivante (fig. 6) : Transformation d'un cerf-volantTransformation d'une ?èche

Fig.6 - Transformation de Penrose

On construit alors le pavage de Penrose de la mani`ere suivante : on part d"une configuration de 5 cerfs-volants

plac´es circulairement autour d"un point, et on it`ere quatres fois le processus pr´ec´edent (fig. 7) :

Étape 1Étape 2Étape 3Étape 4Étape 5

Fig.7 - It´eration de Penrose

Au centre de la derni`ere configuration, on obtient l"image par une homoth´etie de la configuration de d´epart. Par

cons´equent, on peut recommencer le proc´ed´e une infinit´ede fois avec une figure de plus en plus large et paver ainsi

tout le plan. On obtient lepavage de Penrose(fig. 8).

Fig.8 - Pavage de Penrose

Ce pavage estap´eriodique. En effet, supposons d"abord que le groupe de sym´etrieGdu pavage de PenroseP

contienne une translationτ. Alors cette translation est aussi une transformation du pavageP-1de l"´etape pr´ec´edente

dans la construction. Or les pav´es deP-1sont de plus grande taille que ceux deP. En remontant ainsi un nombre

suffisant de fois dans la construction, on obtient un entierntel que les pav´es deP-nsoient plus grands que la norme

du vecteurtde la translationτ. Celle-ci doit ˆetre une transformation deP-n, ce qui est absurde. Par cons´equent, le

groupe de sym´etrie du pavage de Penrose ne contient pas de translation. On montre par des arguments similaires qu"il

ne contient pas de rotation. On en d´eduit qu"il est trivial. 3

3 Groupes cristallographiques du plan3.1 Classification des groupes cristallographiques d"isom´etries directes

On s"int´eresse ici aux groupes cristallographiques d"isom´etries directes du plan. Nous allons utiliser la d´efinition

suivante (un peu simplifi´ee mais ´equivalente `a celle de l"introduction) :

D´efinition 4.Ungroupe cristallographique direct du planest un sous-groupeGdeIs+(R2)tel qu"il existe une partie

PdeR2compacte, connexe, d"int´erieur non vide telle que (i)R2=? g?Gg(P), et(ii)?g,h?G,°g(P)∩°h(P)?=∅ ?g(P) =h(P).

Il est clair qu"il existe un nombre infini de pavages du plan : il suffit par exemple de consid´erer un pavage par

des carr´es et de faire varier la taille des carr´es. Par cette m´ethode, on obtient aussi un nombre infini de groupes

cristallographiques directs du plan. Cependant, tous ces groupes sont isomorphes (en fait, ils sont mˆeme conjugu´es

dans Aff

+(R2)). Ce qui nous int´eresse, c"est de d´ecrire les classes d"isomorphisme de groupes cristallographiques

directs du plan. Le th´eor`eme suivant donne cette description. Pour le montrer, on commence par d´ecrire le groupe des

translations d"un groupe cristallographique, puis on ´etudie la partie correspondant aux rotations.

Th´eor`eme 1.Il existe exactement5classes d"isomorphisme de groupes cristallographiques directs deR2.

Quelques notations et lemmes utiles.

´Etant donn´ee une isom´etrieg?Is+(R2), on note rotg?O(2) sa

composante de rotationet transg?R2sacomposante de translationde sorte que l"on peut ´ecrire pour toutx?R2,

g(x) = (rotg).x+ (transg). SiGest un sous-groupe de Is+(R2), on note rotG={rotg|g?G} ?O(2) songroupe de rotations, et transG= {transg|g?G,rotg= Id} ?R2songroupe de translations. Sia?R2etG?Is+(R2), on noteGal"ensemble des rotations de centreaqui appartiennent `aG.

Nous aurons besoin dans la preuve de deux petits lemmes concernant des groupes d"isom´etrie du plan.

Lemme 1.SoitKun compact deR2. Il existe un pointa?R2tel que toute isom´etrie laisse fixeKlaisse fixea.

En effet, il existe une unique boule de rayon minimal contenant le compactK. Le centre de cette boule est donc

fixe par toute isom´etrie stabilisantK.

Lemme 2.SoitGun sous-groupe deIs+(R2)tel querotGest d"ordre finin. Alors il existea?R2aveccard(Ga) =n.

En effet, si rotGest un groupe fini de rotations, donc il est cyclique. Soitale centre d"une rotation degdont la

composante de rotation est un g´en´erateur de rotG. AlorsGaest cardinaln.

L"action deGest discr`ete.

Proposition 1.SoitGun groupe cristallographique direct du plan. Alors (i) Tout compactKne rencontre qu"un nombre fini de pav´esg(P)(g?G). (ii) Le stabilisateur d"un pav´e est fini (iii) Pour tout compactKdeR2et tout pointa?R2, l"ensemble{g?G|g(a)?K}est fini.

Les pav´esg(P) ´etant d"int´erieur non vide, tout compactKne peut en rencontrer qu"un nombre fini. D"o`u (i).

Pour montrer le point (ii), consid´erons un pav´eQet notonsGQson stabilisateur. D"apr`es le lemme 1, il existe un

pointa?R2tel queGQ?Ga. Soitb?R2situ´e dans un pav´eRqui ne contient pasa. Alors l"orbiteGa(R) du pav´e

Rpar le groupeGan"est form´e que d"un nombre finimde pav´es (par le point (i)). De plus, la seule isom´etrie directe

qui stabilise les pointsaetbest l"identit´e. On en d´eduit que le cardinal deGaest major´e parm, et donc queGQest

fini.

SoitKun compact eta?R2. On noteQun pav´e contenantg1(Q),...,g?(Q) les pav´es qui rencontrentK(qui

sont en nombre fini par (i)). Soitgtel queg(a)?K. Alors il existek? {1,...,?}tel queg(Q) =gk(Q). On en d´eduit

Sous-groupe des translations.Proposition 2.Le groupe des translations d"un groupe cristallographiquedirect du plan est un r´eseau.

SoitGun groupe cristallographique direct du plan.

Supposons d"abord que transG={0}. AlorsGest constitu´e uniquement de rotations et ces rotations onttoutes

le mˆeme centre (car le commutateur de deux rotations de centres distincts est une translation non triaviale). On ne

peut donc pas recouvrir tout le plan avec les images d"un pav´e compact (les images d"un compact sont contenues dans

un disque).

Supposons maintenant que transGcontienne un vecteur non triavialxmais pas de base. Alors les ´el´ements deG

sont des sym´etries centrales (car la conjugaison de la translation de vecteurxpar une rotationgest la translation

de vecteurg(x)) et les centres de ces sym´etries centrales sont align´es sur une droite dirig´ee parx(car la conjugaison

de deux sym´etries centrales est une translation dont le vecteur est dirig´e par la droite reliant les deux centres). Les

images d"un compactPdu plan restent donc dans une bande du plan. On ne peut donc pasrecouvrir tout le plan.

Par cons´equent, transGest un sous-groupe discret deR2qui contient au moins deux vecteurs lin´eairements

ind´ependants : c"est un r´eseau du plan.

Cardinal du groupe des rotations.

Proposition 3.L"ensembleR={a?R2|Ga?={IdR2}}des centres de rotations d"´el´ements deGest localement fini.

Montrons d"abord que rotGest finin. Dans le cas contraire, il existe des rotations d"ordre arbitrairement grand

dansG. SoitKune maille du r´eseau des translations deG. En composant par des translations de transG, on obtient

des rotations d"ordre arbitrairement grand et de centre dansK. Ceci contredit le point (iii) de la proposition 1.

Le lemme 2 assure alors l"existence d"un pointa?R2tel que card(Ga) =n, ie. rotG= rotGa. Soitb? Run centre de rotation deGets?Gb. Par construction dea, il exister?Gatel que rots= rotr. En composantset r -1, on obtient une translation, dont on peut calculer le vecteur ainsi : sr -1(a) =s(a) =s(b-(b-a)) =b-(rots)(b-a) =a+ (b-a)-(rots)(b-a).

On a donc (b-a)-(rots)(b-a)?transG.

Or (rots)n= Id et rots-Id?GL(R2). En posantP=Xn-1+...+X+ 1, on a doncP(rots) = 0, ou en

´ecrivant rots= (rots-Id)+Id,P(rots-Id)+nId = 0. Comme transGest stable par rots(conjugaison), on obtient

n(b-a) =-P(rots-Id)(b-a)?transG. On en d´eduit queR ?a+ (transG)/nest discret. Proposition 4.Le cardinal du grouperotGdes rotations deGest contenu dans{1,2,3,4,6}.

Supposons que card(rotG)/? {1,2}. Soita?R2tel que card(Ga) = card(rotG) (lemme 2).R´etant localement fini

(proposition 3), on peut choisirb?R2tel que card(Gb)≥3 etd(a,b) est minimale. Notonsr(resp.s) la plus petite

rotation deGa(resp.Gb). Soitcle centre desr=t. L"ordre deGcest exactement l"ordre det, sinon on contredit la

d´efinition deb(distance minimale aveca). Par cons´equent, la somme des angles dans le triangleabcvalantπ, les trois

ordresu,vetwdeGa,GbetGcsont li´es par1 u+1v+1w= 1. On obtient donc, `a permutation pr`es,u=v=w= 3 ouu=v= 4,w= 2 ouu= 6,v= 3,w= 2. On en d´eduit que card(rotG) = card(Ga)? {1,2,3,4,6}. Isomorphisme.On sait donc que pour tout groupe cristallographique directdu plan, (i) son groupe de translations est un r´eseau, (ii) son groupe de rotations est un groupe cyclique `a 1,2,3,4 ou 6 ´el´ements.

Tout groupe cristallographique direct du plan est donc isomorphe `a un produit semi-direct (Z2)? Z/pZ, avecp?

{1,2,3,4,6}.D"o`u le th´eor`eme : on n"obtient qu"un nombre fini de classes d"isomorphisme de groupes cristallographiques

directs du plan. 5

3.2 Tracer un pavageArborescence fondamentale.Une ´etude plus pouss´ee des sym´etries permet de donner un r´esultat similaire sur

les classes d"isomorphismes de groupes cristallographiques du plan (cette fois, directs et indirects). On obtient un

classement exhaustif des classes d"isomorphisme de groupes cristallographiques en dimension 2 que nous pr´esentons

sous la forme du graphe p1 pg ?pm ?p2 pgg ?cmm p3m1 p4g p4m p6m

o`uA-→Bsignifie queAetBont le m´eme r´eseau et queAest un sous-groupe maximal non trivial deB, et o`u les

noms des groupes (par exemplep6) donnent des informations sur la structure de leur r´eseauet sur les isom´etries qui

les engendrent : les chiffres donnent la structure du r´eseau(par exemplep6 signifie que le r´eseau est hexagonal) et

les autres lettres correspondent aux sym´etries (msignifie monosym´etrique etmmbisym´etrique) et aux glissements (g

signifie glissant etggbiglissant). Ce graphe est appel´egraphe des sous-groupes. On extrait du graphe des sous-groupes un arbre de racinep1 (le choix de cet arbre est arbitraire) : p1 pg pm p2 ?p3 pgg pmg pmm p4 cmmp6 p3m1p31m p4g p4m p6m, appel´earborescence fondamentale.

L"algorithme.L"id´ee de l"algorithme est d"utiliser r´ecursivement l"arborescence fondamentale pour ramener le

pavage `a un pavage dont le groupe de sym´etrie estp1. Plus pr´ecis´ement,

- siG=p1, on sait tracer le pavage : il suffit de translater le domaine fondamental Δ suivant une base du r´eseau

des translations. Autrement dit, si (t1,t2) est une base du r´eseau des translations deG,

P=G·Δ =?

(n,m)?Z2tn1tm2(Δ).

- sinon, on traite le groupeGcomme la composition de son ant´ec´edent dans l"arborescence fondamentale par une

isom´etrieωbien choisie. Autrement dit, pour une isom´etrie bien choisieω,

P=G·Δ =G/?ω? ·(?ω? ·Δ).

Donnons un tableau r´ecapitulant les 17 groupes, leurs r´eseaux, la transformation `a effectuer pour remonter dans

l"arborescence fondamentale et le groupe vers lequel on remonte : 6 groupe r´eseau possible transformation `a effectuer nouveau groupe p1???? ?? ? ? ?translations suivant les vecteurs du r´eseau p2???? ?? ? ? ?rotation d"angleπ p1 p3?deux rotations d"angle 2π/3p1 p4?rotation d"angleπ/2p2 p6?rotation d"angleπ/3p3 cm? ? ?sym´etrie d"axeu+v p1 pm?? ?sym´etrie d"axev p1 pg?? ?sym´etrie gliss´ee d"axevde vecteurv/2p1 cmm? ? ?sym´etrie d"axeu+v p2 pmm?? ?sym´etrie d"axev p2 pgg?? ?sym´etrie gliss´ee d"axevde vecteurv/2p2 pgg?? ?sym´etrie gliss´ee d"axevde vecteur (u+v)/2p2 p31m?sym´etrie d"axeu+v p3 p3m1?sym´etrie d"axev p3 p4m?sym´etrie d"axev p4 p4g?sym´etrie gliss´ee d"axev-ude vecteur (u+v)/2p4 p6m?sym´etrie d"axev p6

Exemple du fonctionnement de l"algorithme surp4g.Pour tracer un pavage dont le groupe de sym´etrie est

p4g, on applique au domaine fondamental une sym´etrie orthogonale d"axed(fig. 9, ´etape 2) et on doit alors traiter la

figure obtenue comme le domaine fondamental d"un pavage dontle groupe de sym´etrie estp4. On applique alors au

domaine une rotation d"angle

4(fig. 9, ´etape 3) et on doit traiter la figure comme le domaine fondamental d"un pavage

dont le groupe de sym´etrie estp2, et ainsi de suite (fig. 9) jusqu"`a arriver `a un domaine fondamental d"un pavage dont

le groupe de sym´etrie estp1, que l"on sait tracer (fig. 9, ´etape 5).

Étape 1 Étape 2 Étape 3 Étape 4

Étape 5

Fig.9 - Exemple du fonctionnement de l"algorithme

4 Les th´eor`emes de Bieberbach

On s"int´eresse maintenant aux groupes cristallographiques deRn. Il s"av`ere que la situation du plan se g´en´eralise en

dimension sup´erieure : le groupe des translations d"un groupe cristallographique reste un r´eseau et il n"existe toujours

qu"un nombre restreint de classes d"isomorphisme (et mˆemede conjugaison dans aff(Rn)) de groupes cristallogra-

phiques. Ces r´esultats ont ´et´e d´emontr´es par Bieberbach en 1910 en r´eponse au 18-`eme probl`eme de Hilbert :

Th´eor`eme 2(Premier th´eor`eme de Bieberbach).Tout groupe cristallographique deRncontientntranslations lin´eai-

rement ind´ependantes.

Th´eor`eme 3(Deuxi`eme th´eor`eme de Bieberbach).Pour toutnfix´e, il existe un nombre fini de classes d"isomorphisme

de groupes cristallographiques deRn.

Th´eor`eme 4(Troisi`eme th´eor`eme de Bieberbach).SiGetG?sont deux groupes cristallographiques conjugu´es, alors

il existe une application affineΦtelle queG?= ΦGΦ-1. Dans la suite, nous montrons les deux premiers th´eor`emes.

4.1 Isom´etries

4.1.1 Notations

Soitn?Nfix´e. Dans l"espace euclidienRnusuel, on note|x|lanormed"un vecteurx?Rnet?(x,y) l"angleentre

deux vecteursx,y?Rn?{0}.

On rappelle qu"on exprime une isom´etrieαdeRnsous la formex?→αx=Ax+ao`uA?O(n) est appel´ee

composante de rotationdeαet not´ee rotα, eta?Rnest appel´eecomposante de translationdeαet not´ee transα.

Ungroupe cristallographique d"isom´etriesdeRnest un sous-groupeGde Is(Rn)

4.1.2 Rotations

PourA?O(n), on pose

m(A) = maxx?Rn\{0}? |Ax-x| |x|?

Alors l"ensemble

A={x?Rn| |Ax-x|=m(A)|x|}

quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

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