LA PROGRAMMATION LINEAIRE : ANALYSE DE SENSIBILITE
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Chapitre 5 Analyse de sensibilité - Université Laval
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Programmation linéaire : analyse de sensibilité – Exercices
Programmation linéaire : analyse de sensibilité – Exercices -corrigé I – Reprendre l'exemple du cours et, avec le solveur, étudier les conséquences d'une variation du profit de l'IM5, le profit de l'IM4 restant fixé à 400€
Programmation linéaire - African Virtual University
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analyse de sensibilité et paramétrage Introduction, la post-optimisation (modification discrète du vecteur b, modification des coefficients de la fonction économique z, addition d'une variable, modification des coefficients d'une colonne de A, addition d'une ou de plusieurs contraintes), analyse de sensibilité (analyse de sensibilité
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Programmation linéaire : analyse de sensibilité/exercices/corrigé/p1 Programmation linéaire : analyse de sensibilité - Exercices -corrigé
I - Reprendre l'exemple du cours et, avec le solveur, étudier les conséquences d'une variation du profit de l'IM5,
le profit de l'IM4 restant fixé à 400€.Max z = 4 x
1 + p 2 x 2 x 1 + x 2 10 2 x 1 + 6 x 2 483x1 + x 2 24
x 1 , x 2 0
Pour p
2 = 8 on a la solution x 1 = 3 x 2 = 7 et z = 68 L'analyse de sensibilité suivante indique que si 8-4 p 28 + 4 soit 4 p
212 la solution est
inchangée. Sur cet intervalle z = 12 + 7 p 2Cellules variables
Finale Réduit Objectif Admissible Admissible
Cellule Nom Valeur Coût Coefficient Augmentation Réduction $B$4 Variables x1 3 0 4 4 1,333333333 $C$4 Variables x2 7 0 8 4 4 Si p2 < 4 , on relance le solveur avec par exemple p 2 = 3 .Finale Réduit
Objectif Admissible Admissible
Cellule Nom Valeur Coût Coefficient Augmentation Réduction $B$4 Variables x1 7 0 4 5 1 $C$4 Variables x2 3 0 3 1 1,666666667 Solution optimale x 1 = 7 x 2 = 3 pour 4/3 p 2 4 z = 28 + 3 p 2 Si p 2 < 4/3 par exemple p 2 = 1 , on obtient :Cellules variables
Finale Réduit Objectif Admissible Admissible
Cellule Nom Valeur Coût Coefficient Augmentation Réduction $B$4 Variables x1 8 0 4 1E+30 1 $C$4 Variables x2 0 -0,333333333 1 0,333333333 1E+30Solution optimale x
1 = 8 x 2 = 0 pour - p 24/3 z*
= 32Si maintenant p
2 > 12 :Cellules variables
Finale Réduit Objectif Admissible Admissible
Cellule Nom Valeur Coût Coefficient Augmentation Réduction $B$4 Variables x1 0 -0,333333333 4 0,333333333 1E+30 $C$4 Variables x2 8 0 13 1E+30 1Solution optimale x
1 = 0 x 2 = 8 pour 12 p 2 + z = 8 p 2 On a donc ainsi 4 solutions possibles suivant la valeur de p 2 Programmation linéaire : analyse de sensibilité/exercices/corrigé/p2 Programmation linéaire : analyse de sensibilité/exercices/corrigé/p3II Suite de l'exercice III de la leçon "Résolution analytique d'un problème de programmation linéaire"
Après avoir résolu le problème, on dispose du rapport de résultats et de l'analyse de sensibilité fournis par Excel.
Rappel : le problème est le suivant :
Une entreprise produit 3 types d'articles P
1, P2, P3. Sa production hebdomadaire ne peut actuellement
dépasser 500 pour le produit P1, 200 pour le produit P2 et 1 000 pour P3. La fabrication de ces trois
articles utilise une machine qui ne peut fonctionner plus de 45 heures par semaine, les différentes
productions ne pouvant être simultanées. En 1 heure, on peut produire, soit 25 articles P1, soit 10
articles P2, soit 50 articles P3. Les prix de vente unitaires des trois articles sont respectivement p1 = 24,
p2 = 40 et p3 = 9 (on peut vendre tout ce qu'on produit).
Il se modélise par :
Max ( 24 x
1 + 40 x 2 + 9 x 3 x 1 500x 2 200
x 3 1000
x 1 /25 + x 2 /10 + x 3 / 50 45 x 1 , x 2 , x 3 0
Solution optimale x
1 = 500 x 2 = 50 x 3 = 1000 z = 23 000 a) A partir de ces informations, pouvez-vous répondre aux questions suivantes : Le prix du bien 1 augmente de 10%. Doit-on remettre en cause le plan de production ?Cellules variables
Finale Réduit Objectif Admissible Admissible
Nom Valeur Coût Coefficient Augmentation RéductionX1 500 0
24 1E+30 8
De ce résultat on déduit que si le prix du bien 1 augmente de 10% on ne change pas le plan de productionDe combien devrait-on augmenter le prix du bien 2 pour qu'on puisse envisager de le produire à son maximum ?
Cellules variables
Finale Réduit
Objectif Admissible Admissible
Nom Valeur Coût Coefficient Augmentation RéductionX1 500 0 24 1E+30 8
X2 50 0 40 5 40
Pour que la solution change il faut impérativement que le prix du bien 2 augmente au minimum de 5.
Il faudra alors revoir le plan de production.
Pour connaître le nouveau plan on peut utiliser Excel. ( voir feuille L8.exo3.cor.xls)On obtient : x
1 = 500, x 2 =200, x 3 = 250 c'est le bien 3 dont la production a diminué. Si on voulait augmenter le nombre d'heures machines, quelle dépense pourrait-on envisager ?Contraintes
Finale Ombre
Contrainte Admissible Admissible
Nom Valeur Coût à droite Augmentation RéductionHeures machine 45 400 45 15 5
De cette information on déduit que toute heure en plus rapporte un chiffre d'affaires supplémentaire
de 400 (ce qui est normal puisqu'on peut l'utiliser pour produire du bien 2 à raison de 10 en 1 heure
qui seront vendus à un prix de 40). Le coût dual représente ici la productivité marginale de l'heure de
travail.Ceci est valable tant que le nombre d'heures disponibles reste compris entre 45 - 5= 40 et 45 + 15= 60
Ce qui est aussi normal car sur cet intervalle, seul le nombre d'unités produites du bien 2 va varier : si
le nombre d'unités du bien 1 variait il ne pourrait que diminuer et donc la contrainte 1 ne serait plus
Programmation linéaire : analyse de sensibilité/exercices/corrigé/p4saturée ce qui entraînerait un changement de structure de la solution. On sait que sur l'intervalle
donné par cette analyse de sensibilité ce n'est pas le cas.Il en est de même pour le bien 3.
Donc si on perd 5 heures, la production du bien 2 tombe à 0, en deçà il va falloir toucher à la
production des autres biens. Si on dispose de 15 heures de plus, on peut alors produire le bien 2 au maximum ( 50 + 15*10 = 200). b) Analyse de la variation du nombre d'heures-machine disponibles :En utilisant le solveur d'Excel, étudier les conséquences sur le chiffre d'affaires et sur la nature de la production
du nombre d'heures-machine disponible. Celui-ci peut varier de 0 ( en cas de panne) à autant que l'on veut en
faisant appel, par exemple, à des heures supplémentaires ou à toute autre mesure susceptible de se libérer de la
contrainte portant sur les heures-machine. On vient déjà d'étudier ce qui se passe lorsque le nombre d'heures varie entre 40 et 60.S'il passe au-delà de 60, pour examiner la situation relançons le solveur avec un second membre de la
contrainte portant sur les heures égal à 61.Finale Ombre
Contrainte Admissible Admissible
Nom Valeur Coût à droite Augmentation RéductionQuantité max du bien 1 500 24 500 25 500
Quantité max du bien 2 200 40 200 10 200
Quantité max du bien 3 1000 9 1000 50 1000Heures-machine 60 0 61 1E+30 1
Le coût dual (ombre coût) est nul : cela signifie que toute heure supplémentaire ne rapporte plus rien.
Ce qui est normal puisqu'il suffit de 60 heures pour que les 3 biens soient produits à leur maximum.
Examinons la situation pour un nombre d'heures plus petit que 40. On sait déjà qu'il faudra changer la
structure de la solution puisque la quantité produite du bien 2 est tombée à 0. On relance le solveur avec un second membre de 39.Finale Ombre
Contrainte Admissible Admissible
Nom Valeur Coût à droite Augmentation RéductionQuantité max du bien 1 500 6 500 475 25
Quantité max du bien 2 0 0 200 1E+30 200
Quantité max du bien 3 950 0 1000 1E+30 50
Heures-machine 39 450 39 1 19
On constate que le bien 3 n'est plus produit à son maximum (950 pour une capacité de 1000)Toute heure en moins fait maintenant diminuer le chiffre d'affaires de 450, et ceci tant que le nombre
d'heures disponibles restera compris entre 20 (39 - 19) et 40 (39 +1). Si le nombre d'heures disponibles passe en dessous de 20, on a le résultat suivant :Finale Ombre
Contrainte Admissible Admissible
Nom Valeur Coût à droite Augmentation RéductionQuantité max du bien 1
475 0 500 1E+30 25
Quantité max du bien 2 0 0 200 1E+30 200
Quantité max du bien 3 0 0 1000 1E+30 1000Heures-machine 19 600 19 1 19
La quantité produite du bien 1 commence à diminuer et la perte sur le chiffre d'affaires est passée à
600 par heure.
En résumé lorsque le nombre d'heures-machine (H) augmente la productivité marginale (ombre coût )
varie de la manière suivante :0 H 20 productivité de 600
20 < H 40 productivité de 450
40< H 60 productivité de 400
Programmation linéaire : analyse de sensibilité/exercices/corrigé/p560 < H productivité nulle
"Plus on à d'heures moins elles rapportent" ! on retrouve le vieil adage que le prix d'un bien rare est
cher !c) De la même manière, dans quelle mesure doit-on entreprendre des actions pour augmenter la capacité
hebdomadaire de production de chacun des produits ?Contraintes
Finale Ombre
Contrainte Admissible Admissible
Nom Valeur Coût à droite Augmentation RéductionQuantité max du bien 1 500
8 500 125 375
Quantité max du bien 2 50 0 200 1E+30 150
Quantité max du bien 3 1000 1 1000 250 750
L'examen du coût dual montre que l'augmentation d'une unité de la capacité de production du bien 1
rapporterait 8 et ceci tant qu'elle ne dépasse pas 625.Pour le bien 3, cela ne rapporte que 1 par unité et ceci tant que la capacité ne dépasse pas 1250.
Quant au bien 2 cela ne rapporte rien, ce qui est normal puisqu'il n'est pas produit actuellement au maximum.NB : les données de ce problème sont particulièrement simples afin que l'on puisse expliquer (et même
les trouver directement) les résultats issus d'Excel, mais il va de soi que dans un problème plus
compliqué on ne peut s'en sortir sans avoir recours à un outil de calcul.quotesdbs_dbs6.pdfusesText_12