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Sensibilisation auSensibilisation au

dimensionnement dynamiquedimensionnement dynamique en conceptionen conception

Etienne ARNOULTEtienne ARNOULT

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TN13 - Dimensionnement pourTN13 - Dimensionnement pour la conception de systèmesla conception de systèmes mécaniquesmécaniques - 2 -2Sensibilisation au dimensionnement mécanique en conception

Statique ou dynamique ?

Rappels théoriques en dynamique du solide

Rappels théoriques en vibration

Exemples

Annexes

TN13 - Dimensionnement pourTN13 - Dimensionnement pour la conception de systèmesla conception de systèmes mécaniquesmécaniques - 3 -3Sensibilisation au dimensionnement mécanique en conception

Statique ou dynamique ?

La statique

La dynamique

La notion de quasi-statique

Les problèmes

Rappels théoriques en dynamique du solide

Rappels théoriques en vibration

Exemples

Annexes

- 4 -

TN13TN13Statique ou dynamique ?

statiquedynamiquequasi statique

Les actions ne

dépendent pas du temps, les mouvements des masses ne modifient pas les équilibresLes actions dépendent du temps, les mouvements des masses modifient les équilibresLes actions peuvent dépendre du temps, les mouvements des masses ne modifient pas les équilibres - 5 -

TN13TN13Statique ou dynamique ?

Étude statique

étude d'un système soumis à

des actions constantes, qui n'engendrent aucun mouvement, ou qui engendrent des mouvements pour lesquels les actions d'inertie associées restent négligeables devant les autres actions en présence

Firth of Forth Bridge, Écosse, pre-engineering.comBarrage des Trois Gorges, Chine, chine-informations.com

- 6 -

TN13TN13Statique ou dynamique ?

Étude dynamique

étude d'un système pour lequel les mouvements des masses induisent des modifications sensibles dans les bilans (effort ou

énergie)

note : l'existence des mouvements dans un système est une motivation possible pour étudier ce système en dynamique... ce n'est pas une condition suffisante ! ce n'est pas une condition suffisante ! - 7 -

TN13TN13Statique ou dynamique ?

Importance de la dynamique

ustat udynstatique dynamiqueudyn≫ustat - 8 -

TN13TN13Statique ou dynamique ?

Effort transmis au sol

statique dynamiqueFdyn ∣Fstat∣ T

T0Données de cet exemple ? voir Annexe 1

- 9 -

TN13TN13Statique ou dynamique ?

Importance des accélérations

OO q Oπ 2O 2

˙θ0tDtTT-Dt

ΩmaxQuelle puissance nécessaire pour réaliser l'opération ? (T fixé, et Dt = T/5)

Données de cet exemple ? voir Annexe 2

- 10 -

TN13TN13Statique ou dynamique ?Pcycle,T=∫0

T

P(t)dt

P(t)=J0¨θ˙θavec :

P(t) = puissance instantanée

notes : - J0 = moment d'inertie en O - P(t) est liée aux phases d'accélération et de décélération uniquement → sensibilité à ces phases ?

Pcycle,T

Pcycle,2

T(s) - 11 -

TN13TN13Statique ou dynamique ?Δt=λT

Pcycle,T

Pcycle,2

T(s)

˙θ0tTΩ0,5

˙θ0t0,2TT0,8T

Ω0,2

λ=0,5

λ=0,2

˙θ0t0,01TT0,99T

Ω0,01

λ=0,010,5T

λcroissantConclusion :

Choisir l faible ?

- 12 -

TN13TN13Statique ou dynamique ?

MAIS :

Pmax = puissance instantanée maximale

sur un cycle

Conclusion :

Dualité puissance cycle/ puissance instantanée max → Inclure paramètre coût pour trouver un optimumPmax

Pmax,20%

Pmax=maxt∈[0;T]

P(t) - 13 -

TN13TN13Statique ou dynamique ?

Étude en " quasi-statique »

Étude d'un système subissant des actions qui dépendent du temps, sans que les actions d'inertie impactent sensiblement le comportement du système Il faut que les " transformations » soient très lentes, pour que l'on puisse considérer que tous les états intermédiaires constituent une succession d'états d'équilibres statiques - 14 -

TN13TN13Statique ou dynamique ?

Exemple : champ radial

Exemple : système en mouvement à vitesse constante

Camion plateau chargé de tuyaux béton, transportsrobert.frCFM56, Snecma⃗dfr=rdmΩ2⃗er

⃗er ⃗dfr dm - 15 -

TN13TN13Statique ou dynamique ?

Quels problèmes ?

On connaîtOn connaîtOn chercheOn chercheEn général c'est pour...En général c'est pour...

Les actions extérieuresLes actions dans les

liaisonsDimensionner les liaisons Les actions extérieuresLes mouvementsÉtude de confort, d'ergonomie, de trajectoires Les mouvementsLes actions motricesDimensionner les actionneurs Ajouter : problèmes vibratoires, problèmes de fatigue... TN13 - Dimensionnement pourTN13 - Dimensionnement pour la conception de systèmesla conception de systèmes mécaniquesmécaniques - 16 -16Sensibilisation au dimensionnement mécanique en conception

Statique ou dynamique ?

Rappels théoriques en dynamique du solide

Approche en effort

Approche en énergie

Rappels théoriques en vibration

Exemples

Annexes

- 17 -

TN13TN13Rappels en dynamique du solide

Approche en effort : le Principe Fondamental de la Dynamique Dans un référentiel galiléen R0 , le torseur dynamique associé aux mouvements d'un système S est équivalent au torseur des efforts extérieurs s'exerçant sur S.{D0 }A={Fext}A {Ms

0G;s

Ms

0A=MextAÉquation de résultanteÉquation de moment

- 18 - TN13TN13Rappels en dynamique du solideMs

0G=Fextquantité d'accélération de S

Ms

0G

s

0G=d

dtVs

0G0=d2

dt2OG0somme de tous les efforts extérieurs à S et agissant sur S FextÉquation de résultante - 19 -

TN13TN13Rappels en dynamique du solide

Équation de moment

moment dynamique de S en Asomme de tous les moments calculés en A des actions extérieures à S et agissant sur SMextA s s

0Acas particuliers :

si A ≡ G si A est un point fixe dans R0 alors : ou s

0A=d

dts

0A0s

0et - 20 -

TN13TN13Rappels en dynamique du solide

Isoler un système S

Paramétrer le système

définition de n paramètres qi

Calculer les quantités dynamiques

à partir du paramétrage : et

Faire un bilan des actions agissant sur S

lister forces et moments : données, moteurs, liaisons

Écrire les équations du PFD

équation de résultante :

équation de moment :PFD :PFD :

0(G)⃗δs

0(A)

M⃗Γs

0(G)=⃗Fext→Σ

⃗δs

0(A)=⃗Mext→Σ(A)

- 21 -

TN13TN13Rappels en dynamique du solide

Approche en énergie : Théorème de l'énergie/puissanced dt(TΣ

0+UΣ

0

)=Pext→Σ+PΣj⇔ΣiDans un référentiel galiléen R0 , la variation de l'énergie mécanique d'un système S

est égale à la puissance développée par les actions (intérieures et extérieures) s'exerçant sur S.

Énergie cinétique de S

Énergie potentielle de S

Puissance développée

par les actions extérieures à SPuissance développée par les actions internes à S - 22 -

TN13TN13Rappels en dynamique du solide

rappels sur le calcul de l'énergie cinétique :

2T0={S0}A⋅{C0}A

torseur cinétique de S en Atorseur cinématique de S en A

2T

0⋅0G,remarque : cette relation est souvent utilisée quand A ≡ G

cas particulier : si S est en rotation autour d'un point O fixe dans R0, alors :

2T

0⋅0O,

- 23 -

TN13TN13Rappels en dynamique du solide

rappels sur le calcul de l'énergie potentielle : pour la pesanteur :U

0=-mg⋅OGCtem = masse de SG = centre de masse de S

O = point à altitude constante dans R0

pour un ressort de raideur k :

U0=1

2k L-L02 Cte

L = longueur du ressort

en cours de mouvementL0 = longueur du ressort

à vide (hors chargement)

- 24 -

TN13TN13Rappels en dynamique du solide

Isoler un système S

Paramétrer le système

définition de n paramètres qi

Calculer l'énergie cinétique

à partir du paramétrage :

Calculer l'énergie potentielle

à partir du paramétrage :

Calculer les puissances internes et externes

Écrire le théorème :T0

U0Pext→Σ+PΣj⇔ΣiNRJ/Puissance :NRJ/Puissance : méthodologieméthodologie d dt(TΣ

0+UΣ

0 )=Pext→Σ+PΣj⇔Σi - 25 -

TN13TN13Rappels en dynamique du solide

Approche en énergie : Équations de Lagrange∀i∈[1,n]d dt(∂TΣ 0 ∂˙qi)-∂TΣ 0 ∂qi +∂UΣ 0 ∂qi =Di+LiDans un référentiel galiléen R0 , pour un système S paramétré par n ddl qi, il est possible d'établir n équations appelées " équations de Lagrange » :

Énergie cinétique de S

Énergie potentielle de S

Coefficients associés aux puissances

virtuelles compatibles développées par les actions agissant sur S - 26 -

TN13TN13Rappels en dynamique du solide

Isoler et paramétrer le système

définition de n paramètres qi

Calculer l'énergie cinétique

à partir du paramétrage :

Calculer l'énergie potentielle

à partir du paramétrage :

Calculer la puissance virtuelle

en utilisant une cinématique virtuelle compatible avec le paramétrage : cela permet d'identifier les coefficients Di et Li Pour chaque paramètre qi, écrire l'équation de LagrangeT0

U0Pext

*Pj⇔i ∀i∈[1,n]d dt(∂TΣ 0 ∂˙qi)-∂TΣ 0 ∂qi +∂UΣ 0 ∂qi =Di+LiLagrange :Lagrange : méthodologieméthodologie - 27 -

TN13TN13Rappels en dynamique du solide

Quelle méthode ? Quelle approche ?

PFD : non prise en compte des efforts intérieurs th. de l'énergie/puissance, Lagrange : prise en compte des efforts intérieurs si les liaisons sont parfaites (ni jeu, ni frottement) :Pj⇔i=0 le th. de l'énergie/puissance et Lagrange n'apportent pas d'équations supplémentaires par rapport au PFD (ne modifie pas le bilan inconnues/équations)quotesdbs_dbs11.pdfusesText_17