Arbre à balourd sur paliers

On considère un arbre, monté sur palier court, et possédant un balourd caractérisé par (m,e).AB

h (m,e)W⃗x0 ⃗y0 (M,L)1.Étude en solide rigide Les efforts exercés par les paliers sur l'arbre en A et B sont respectivement : {T}A={⃗RA;⃗0}et {T}B={⃗RB;⃗0}(avec ⃗RB⋅⃗x0=0)

1.1.L'arbre est à l'arrêt : déterminer les efforts dans les paliers.

1.2.L'arbre tourne à vitesse constante W grâce à un couple moteur Gmoteur ; les efforts dans les

paliers et le couple moteur vérifient : {XA=0

YA+YB-Mg=-meΩ2cos(Ωt)

ZA+ZB=-meΩ2sin(Ωt)et {Γmoteur+mgesin(Ωt)=0 -LZB=mheΩ2sin(Ωt)

LYB-MgL

2=-mheΩ2cos(Ωt)

1.2.1.Dans le cas où W = 1000 tr/min, tracer l'évolution des efforts dans les paliers au cours du

temps. Les comparer aux valeurs statiques.

1.2.2.Tracer les amplitudes maximales des efforts dans chaque palier en fonction de la vitesse

de rotation de l'arbre. Les comparer aux valeurs statiques.

2.Étude en solide déformable

2.1.Les supports sont modélisés par leur élasticité : kt en traction et kf en flexion. On suppose dans

cette question que l'arbre reste rigide. A B ⃗x0 v q ⃗z0 ⃗y0- 1/2 - UTCTN13 - Conception Mécanique et IntégrationP12

Sensibilisation au dimensionnement dynamique

L'étude est menée successivement dans le plan (⃗x0,⃗y0) puis dans le plan (⃗x0,⃗z0).

Dans un plan donné, les degrés de liberté utilisés sont le déplacement du centre de masse de

l'arbre (v), et la rotation de l'arbre dans ce plan (q), regroupés dans le vecteur q={v Les matrices de masse et de rigidité pour ces deux ddl (découplés) sont : M= [M0

0ML2/12] et K=[k0

0kL2/2]Déterminer les quatre fréquences propres de l'arbre à l'arrêt (on néglige la masse du balourd

dans cette étape).

2.2. Quand l'arbre tourne à vitesse constante W, l'amplitude des petites oscillations du point A dans

un plan donné est : ∣vA∣=meΩ2

M⋅

ω12-Ω2+(3-6h

L)⋅1

ω22-Ω2] où M est la masse de l'arbre

Tracer l'amplitude du déplacement du point A pour chacun des plans.

2.3. On s'intéresse maintenant à la déformation de l'arbre. Pour cela, on se limite à l'étude dans le

plan (⃗x0,⃗y0), en négligeant la déformabilité des paliers. On suppose que la flèche de l'arbre est

de la forme :

vx,t=xVt où V(t) représente le déplacement du milieu de l'arbre et

ψ(x)=sin(πx

L). v(x,t)⃗x0 ⃗y02.3.1.D'un point de vue vibratoire : la masse équivalente de l'arbre est donnée par : meq=ρS∫0 L

ψ2(x)dx

la rigidité équivalente de l'arbre est donnée par : keq=EI∫0L

ψ,xx2(x)dx

En déduire la première fréquence propre de l'arbre.

2.3.2.Quand l'arbre tourne à vitesse constante W, l'amplitude de la contrainte maximale au

milieu de l'arbre est donnée par : ∣σmax∣=EΦ

2⋅π2

L2⋅meΩ2

meq sin(πh

L)⋅1

(ω1)2-Ω2Tracer l'évolution de ∣σmax∣ en fonction de W.

Données :

AB = L = 3 mh = L/4

diamètre arbre : F = 10 cm matériau arbre : acier [0;2000]balourd : me = 100 g.m rigidités des paliers : kt = 1000*kf = 107 N/m - 2/2 -quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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Sensibilisation au dimensionnement dynamique en conception