Chapitre 01 Caractéristiques et représentations temporelles
D Fréquence et pulsation d’un signal périodique : v Fréquence d’un signal périodique : Définition : (à connaître par cœur) La fréquence d’un signal périodique, notée H, correspond au nombre de fois que le motif, se répète en une seconde Son unité est le hertz, notée IJ La définition conduit donc à la formule suivante
1 Signaux physiques, spectre - AlloSchool
Figure 2 2 – Spectre d’un signal périodique s(t): amplitude et phase initiale b) Exemple de synthèse de Fourier d’un signal périodique (MPSI) On considère le signal représenté sur la figure 2 3, de périodeT S En définissant un temps adimensionnel t∗= t T S, on peut écrire ce signal : s(t)=0,625(t∗−0,4) si 0 ≤t∗≤0,8et
Caractéristiques des signaux périodiques
Forme et amplitude d’un signal Visualisation d’un signal périodique Un signal périodique électrique est également décrit par sa forme et par son amplitude Pour les signaux électriques simples, quelques formes usuelles portent des noms : sinusoïdale, triangulaire, carrée Quelques formes usuelles : Sinusoïdale triangulaire carrée
Analyse spectrale des signaux périodiques
d’une fréquence fondamentale Nous allons voir que tout signal périodique peut s’écrire sous la forme d’une telle somme, qu’on appelle série de Fourier Cela conduira à la représentation fréquentielle des signaux, sous forme de spectre Nous verrons comment le spectre d’un signal numérique est obtenu avec la transformée
PCSI Signaux physiques Chap 2 Propagation d’un signal
Le spectre en amplitude d’un signal physique donne l’amplitude de chacune de ses composantes sinusoïdales Une théorie mathématique due à Joseph Fourier (début XIXe) montre qu’un signal périodique peut être décomposé en somme de signaux sinusoïdaux Tout signal périodique s(t) de période T 0 (fréquence = ????
Chapitre 04 Puissances et signaux périodiques
Plus la valeur de I augmente, plus le motif du signal d’un motif sinusoïdal Un signal périodique ayant un fondamental d’amplitude nulle, a un taux de distorsion I III De la puissance instantanée à la puissance moyenne : A Notion de puissance et d’énergie :
Travaux Pratique TR-C1 : Traitement du signal Avancée TP 1
Le spectre en amplitude de ce signal périodique est donc formé d’une impulsion de Dirac dans les fréquences positives située en f0=100Hz Pour calculer une TFD sur ce signal, on est amené à limiter le nombre d’échantillons du signal, donc la durée de celui-ci On note alors x`(t) le signal x(t) limitée à un intervalle de
Décomposition en série de Fourier
Exemple 1 : cas d'un signal sinusoïdal • Soit un signal sinusoïdal décrit par : C ’est un signal ne contenant qu’un seul harmonique s(t)=2cos(2π10t− π 4) Domaine temporel s(t) t 2 A 0 0 0125 0 1125 T o =0 1s A 1 2 A 3 4 5 0 1020 30 4050 A n fondamental f ( Hz) 2 Domaine fréquentiel Spectre unilatéral de phase Spectre
Chapitre 2 Analyse des signaux non périodiques
HEIG-Vd Traitement de signal Chapitre 2 Analyse des signaux non périodiques 2 1 Transformation de Fourier 2 1 1 Passage de la série à la transformation de Fourier Le passage d’un signal périodique à un signal apériodique peut se faire en considérant que la période T devient de plus en plus grande pour finalement tendre vers l’infini
32-105 Analyse spectrale de signaux priodiques
Une bande passante limitée suffira généralement à la transmission d’un signal périodique continu En effet, si un signal périodique ne présente que des discontinuités de pente, l’amplitude cn des raies de son spectre de fréquence décroît rapidement (au moins en 1 n2) y=triangle(1000,0 5) y=triangle(1000,0 5)
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TdS H. Garnier 1
Hugues GARNIER
hugues.garnier@univ-lorraine.fr Décomposition en série de Fourier Signaux périodiquesTdS H. Garnier 2
Organisation de l'UE de TdS
I. Introduction
II. Analyse et traitement de signaux déterministes - Analyse de Fourier de signaux analogiques• Signaux à temps continu • Décomposition en série de Fourier • Transformée de Fourier à temps continu
- De l'analogique au numérique - Analyse de Fourier de signaux numériques III. Filtrage des signaux IV. Analyse et traitement de signaux aléatoiresTdS H. Garnier 3
Introduction
• Domaine, jusqu'à présent, habituel pour analyser un signal : - Domaine temporel : analyse de l'évolution du signal dans le temps
• Permet de mettre en évidence certaines caractéristiques :• signal périodique ou non (détermination de la période), • amplitude (valeur moyenne, maximale...), • signal analogique/numérique, énergie finie/infinie, ...
• Déterminer l'expression analytique du signal ci-dessous ?5 s(t) t (ms) 5 0
s(t)=?TdS H. Garnier 4
Introduction
• L'expression mathématique du signal est : - L'observation dans le domaine temporel est s ouvent insuffisante pour déduire l'expression mathématique du signal - Il serait int éressant de tro uver une autre représentation qui app orterait plus d'informations sur le signal que la représentation usuelle temporelle - Cette nouvelle représentation devra faire directement apparaître certaines caractéristiques du signal (par exemple A o , A 1 , A 2 o 1 2) non plus dans le do maine temporel (en fonct ion du temps) mais dans le do maine fréquentiel, c'est à dire en fonction de la fréquence.
5 s(t) t (ms) 5 0
TdS H. Garnier 5
• Représentation habituelle : amplitude du signal en fonction du temps • Nouvelle représentation : amplitude et phase initiale en fonction de la fréquence5 s(t) t (ms) 5 0f (Hz) 0
A o =2 A 1 =5 A 2 =10 A n1000 2500 f (Hz) 0
o =0 ϕ n1000 2500
3 1 2 2TdS H. Garnier 6
Série & transformée de Fourier
Joseph FOURIER
• Auxerre 1768 - Paris 1830 • Grand savant français • A pr ofondément influencé les mathématiques et la physique des sciences de son siècle • L'étude de la propagation de la chaleur l'a amené à la découverte des séries trigonométriques portant son nomTdS H. Garnier 7
Théorème de Fourier Sous certaines conditions de dérivation et de continuité, tout signal à temps continu s(t) périodique de période T
o peut s'écrire sous la forme d'une somme de signaux sinusoïdaux Cette somme peut s'écrire de deux manières : - forme trigonométrique réelle - forme exponentielle complexeTdS H. Garnier 8
Forme trigonométrique réelle
avec : Tout signal à temps continu s(t) périodique de période T o peut s'écrire :Le terme g énéral u
n (t)=a n cos(nω o t)+b n sin(nω o t)=A n cos(nω o t-ϕ n ) est appelé harmonique de rang n C'est un signal cosinusoïdal d'amplitude A n de période T o /n (fréquence nf o ) et de phase à l 'origine -ϕ nTdS H. Garnier 9
Remarques et propriétés
- a 0 : valeur moyenne du signal (composante continue) - Harmonique d'ordre 1 : fondamental - Amplitudes A n tendent vers 0 lorsque n tend vers l'infini - Décomposition indépendante de l'intervalle [t 0 , t 0 +T o - Si s(t) pair - Si s(t) impairTdS H. Garnier 10
Spectres unilatéraux d'amplitude et de phase
• Spectre d'amplitude de s(t) : tracé de A n en fonction des pulsations (fréquences) • Spectre de phase de s(t) : tracé de ϕ nen fonction des pulsations (fréquences) • On parle de représentation fréquentielle ou spectrale • A
n et ϕ n n'existant que pour des multiples entiers de ω o on parle de spectres de raies. composante continue 0 ω o2 ω
o3 ω
o4 ω
o A 1 A 0 A 2 A 3 A 4 A 55 ω
o A n fondamental ω (rd/s)Spectre unilatéral de phase
0 n o2 ω
o3 ω
o4 ω
o 1 0 2 3 4 55 ω
oω (rd/s)
Spectre unilatéral d
'amplitude 0 T o s(t) tEvolution temporelle du signal
TdS H. Garnier 11
Exemple 1 : cas d'un signal sinusoïdal
• Soit un signal sinusoïdal décrit par : C 'est un signal ne contenant qu'un seul harmonique ! s(t)=2cos(2π10t-π4)Domaine temporel
s(t) t 20.1125 0 0.0125 T
o =0.1s A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 0 10 20304050
A n fondamental f (Hz) 2Domaine fréquentiel
Spectre unilatéral de phase Spectre unilatéral d 'amplitude 1 2 3 4 50 10 20 30 40 50 ϕ
n f ( Hz )4 π
TdS H. Garnier 12
Exemple 2 : cas d'un créneau
• Montrer que le dévelop pement en s érie de Fourier d'un signal créneau s'écrit : s(t) t A T o 0Domaine temporel
A n 4A 3 4A 3ω 5ω 3ω 5ω n 2Domaine fréquentiel
Spectre unilatéral de phase Spectre unilatéral d 'amplitudeTdS H. Garnier 13
Evolution temporelle des harmoniques Reconstruction du signal à partir des harmoniques0 -2 0 2 0 0 0 0 0 1 -5 0 5 0 1 -5 0 5 0 1 -5 0 5 0 1 -5 0 5 0 1 -5 0 5 -2 0 2 -2 0 2 -2 0 2 -2 0 2 1 1 1 1 1
Harmonique 1 Harmoniques 1 et 3 Harmoniques 1, 3 et 5 Harmoniques 1, 3, 5 et 7 Harmoniques 1, 3, 5 7 et 9 Harmonique 1 Harmonique 5 Harmonique 3 Harmonique 7 Harmonique 9
Ondulations = phénomène de Gibbs
A=2 T o =1TdS H. Garnier 14
Théorème de Fourier
Sous certaines conditions de dérivation et de continuité, tout signal à temps continu s(t) périodique de période T o peut s'écrire sous la forme d'une somme de signaux sinusoïdaux. Cette somme peut s'écrire de deux manières : - forme trigonométrique réelle - forme exponentielle complexeTdS H. Garnier 15
De la forme trigonométrique à la forme exponentielle complexe • Tout signal à temps continu s(t) périodique de période T o peut s'écrire :En utilisant les formules d'Euler :
• On montre que tout signal à temps continu s(t) périodique de période T o peut également s'écrire :Forme trigonométrique
réelleForme exponentielle
complexeTdS H. Garnier 16
Forme exponentielle complexe
• Tout signal à temps continu s(t) périodique de période T o peut s'écrire : • Remarques - Les coefficients c nsont appelés coefficients de Fourier - Ces coefficients sont généralement complexes et peuvent
s 'écrire sous forme exponentielle complexe : - L 'harmonique de rang n s'écrit également : L'harmonique de rang n est donc une cosinusoïde de pulsation nω o d'amplitude 2 |c n et de déphasage Arg(c nTdS H. Garnier 17
Spectres bilatéraux d'amplitude et de phase
• Les coefficients de Fourier sont généralement complexes et peuvent s 'écrire : • Spectre d 'amplitude de s(t) : tracé de |c n | en fonction des pulsations • Spectre de phase de s(t) : tracé de Arg(c n ) en fonction des pulsationsSpectre bilatéral de phase
0Spectre bilatéral d
'amplitude 0 T o s(t) tEvolution temporelle du signal
cn=cnejArg(cn)Ic n I 0 o 2ω o 3ω o Ic 1 I c 0 Ic 2 I Ic 3 I fondamentalω (rd/s)
Ic -1 I Ic -2 I Ic -3 I o -2ω o -3ω o Arg(c n 0 o 2ω o 3ω oω (rd/s)
o -2ω o -3ω oTdS H. Garnier 18
Propriétés des spectres bilatéraux
• Il apparaît dans l'expression de s(t) des termes pour les fréquences s'étendant de - ∞ à +∞, d'où le nom de spectres bilatéraux
• Le spectre d'amplitude bilatéral est toujours pair • Le spectre de phase bilatéral est toujours impair • Les 2 spectres ne comportent des composantes qu'aux multiples
entiers de la fréquence du signal, on parle de spectres de raies Spectre bilatéral de phase Spectre bilatéral d'amplitude Ic n I 0 o 2ω o 3ω o Ic 1 I c 0 Ic 2 I Ic 3 I fondamentalω (rd/s)
Ic -1 I Ic -2 I Ic -3 I o -2ω o -3ω o Arg(c n 0 o 2ω o 3ω oω (rd/s)
o -2ω o -3ω oTdS H. Garnier 19
Exemple 1 : cas d'un signal sinusoïdal
• Soit un signal sinusoïdal décrit par : s(t)=2cos(2π10t-π4)Domaine temporel
Domaine fréquentiel
Spectre bilatéral de phase Spectre bilatéral d 'amplitude0 10 20 30 f ( Hz) 1 -20 -10
n c 1 c 1 c c c 3 c 010 20 30f (Hz) -20-10 )c(Arg n 4 4 s(t) t 2