[PDF] Topologie, Analyse Fonctionnelle

1 Ouvert, ferm e, compact

Soit Kun compact d’un espace m etrique E Alors toute fonction f: KR est born ee et atteint ses bornes Proposition Soit f: EF une fonction Alors : 1 l’image r eciproque par fd’un ouvert de F est un ouvert de E; 2 l’image r eciproque par fd’un ferm e de F est un ferm e de E; 3 l’image directe par fd’un compact de Eest un

I Ouverts, ferm´es - Claude Bernard University Lyon 1

1 Montrer que si Aest compact et B ferm´e dans E alors A+B est ferm´e dans E 2 Montrer que si Aet B sont compactes alors A+B l’est aussi 3 Soient A= R×{0}et B = {(x,y ) ∈R2 xy = 1 } Montrer que A et B sont des ferm´es de R2 mais que A+B n’en est pas un Exercice 12 Soit ( E, k k) un espace vectoriel norm´e et X⊂E une partie

Coursd’Analyse4avecExercicesCorrigés YassineAhmedBENIA

1 4Topologie: ouvert,fermé,compact Chapitre1 3) OnditqueFestunfermé deRn siC RnFestouvert 4) On dit que U est borné, s’il existe une boule qui contient tout les élémentsdeU,c’est-à-dire

CARACTERISTIQUES - Honeywell

• Normalement Ouvert et Normalement Fermé selon modèles SMART-T – MOTEUR THERMIQUE LINEAIRE COMPACT FR0P-0267-0506R1-FR03 2 REFERENCES Table 1 Moteurs

Espaces topologiques - Claude Bernard University Lyon 1

F fermé,F⊃A F Proposition 7 Soit Aune partie d’un espace topologique a) Aest un ouvert contenu dans A b) Si Uest un ouvert et U⊂ A, alors U⊂ A Autrement dit, Aest le plus grand ouvert contenu dans A a’) Aest un fermé contenant A b’) Si F est un fermé et F⊃ A, alors F⊃ A Autrement dit, Aest le plus petit fermé

TOPOLOGIE-SÉRIE1 Exercice1 A B A B - EPFL

Or tout ouvert non vide contient un ensemble de la forme aZ + b, qui est en bijection avecZ etdoncinfini Exercice3 Vraisoufaux? (a)Unespacetopologiqueestdiscret(i e chaqueU⊆Xestouvert)sietseulementsichaque singleton{x}⊆Xestouvert (b)PourunespacetopologiquefiniX,sitoutsingleton{x}⊆Xestfermé(i e X\{x}⊆X

Partie de Un€N*

ouvert) contenant x et qui soit contenu dans Non, et e d’une manière forte En effet, pour tout x € , il suffit de considérer la boule ]x-r ; x+r[ intersecte Par conséquent, n’est pas ouvert Plus préisément, = intérieur de ≠ Ø Fermé ? est-il ouvert ? On fixe x il y a 2 cas : (1) x < 0 On peut prendre comme boule

Topologie, Analyse Fonctionnelle

D e nition 1 1 2 Soit Eun espace vectoriel sur K = R ou C Une norme sur Eest une application jj:jj: ER+ v eri ant les propri et es suivante : (1) jjxjj= 0 si et seulement si x= 0

[PDF] 1 Ouvert, fermé, compact

[PDF] Exercice 4 (fiche 2) Etablir si les ensembles sont ouverts, fermés

[PDF] Ouverts et fermés

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[PDF] Logique, ensembles et applications - Exo7 - Emathfr

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[PDF] enseñar geografía para los nuevos tiempos - Revistas UPEL

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[PDF] calendrier des concours MINESUPpdf

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[PDF] UNIVERSITY OF BUEA UNIVERSITÉ DE BUÉA REPUBLIC OF

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Topologie, Analyse Fonctionnelle

notes de cours

Table des matieres

1 Vocabulaire4

1.1 Distances et normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Convergence; continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2 Applications continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.3 Applications lipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Vocabulaire topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 Ouverts et fermes d'un espace metrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.2 Adherence, interieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.3 Frontiere; connexite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Distances equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.1Equivalence des normes en dimension nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5 Sous-espaces, produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5.1 Sous-espaces d'un espace metrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5.2 Produits nis d'espaces metriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6 Parties denses d'un espace metrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.7 Separabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Espaces complets 25

2.1 Denition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Theoreme du point xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.1 Theoreme de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3 Theoreme des fermes embo^tes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3.1 Projection sur un convexe ferme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4 Theoreme de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4.1 Fonctions continues nulle-part derivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4.2 Limites simples de fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Espaces metriques compacts 38

3.1 Denition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2 Theoreme des compacts embo^tes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3 Fonctions continues sur un compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3.1 Image continue d'un compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3.2 Optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3.3 Continuite uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4 Produits de compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.4.1 Produits nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.4.2 Produits denombrables; procede diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.5 Propriete de Borel-Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.5.1 Ideaux maximaux deC(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.6 Precompacite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.6.1 Enveloppe convexe d'un compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.6.2 Regularite des mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.7 Theoreme de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4 Applications lineaires continues 57

4.1 Critere de continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.1.1 L'espace normeL(E;F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.2.1 Normes d'operateurs en dimension nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.2.2 Projections orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2.3 Operateurs a noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.3 Prolongement par densite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.4 Familles bornees d'applications lineaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.4.1 Convergence \forcee" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.4.2 Theoreme de Banach-Steinhaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.5 Theoremes de l'image ouverte et du graphe ferme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.5.1 Theoreme de l'image ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.5.2 Caracterisations de la surjectivite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.5.3 Theoreme du graphe ferme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5 Dualite81

5.1 Le dual d'un espace vectoriel norme; exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.1.1 Dual d'un espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.1.2 dual deLp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.1.3 dual deC(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.2 Theoreme de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.2.1 Fonctionnelles sous-lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.2.2Enonce du theoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.2.3 Preuve du theoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.3 Consequences du theoreme de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.3.1 Le dual separe les points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.3.2 Critere de densite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.3.3 Separation des ensembles convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.4 Adjoint d'un operateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.4.1 Cas general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.4.2 Cas hilbertien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.4.3 Norme d'un operateur auto-adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.5 Convergence faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

2

6 Espaces de fonctions continues 103

6.1 Theoreme de Stone-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.2 Theoreme d'Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.2.1Equicontinuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.2.2 La version de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.2.3 Ranements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6.2.4 Une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.3 Fonctions continues sur un ouvert deRd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.3.1 Topologie de la convergence uniforme sur tout compact . . . . . . . . . . . . 113

6.3.2 Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

7 Operateurs compacts 117

7.1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

7.2 Operateurs de Hilbert-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

7.2.1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

7.2.2 Exemple fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7.3 Diagonalisation des operateurs compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

7.3.1 Preliminaires sur les valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

7.3.2 Cas auto-adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

7.3.3 Cas normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

7.4 Applications du theoreme de diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

7.4.1 Decomposition de Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

7.4.2 Noyaux et sommes de series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.4.3 Systemes de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

3

Chapitre 1

Vocabulaire

1.1 Distances et normes

Denition 1.1.1Unedistancesur un ensembleEest une applicationd:EE!R+veriant les proprietes suivantes : (1)d(a;b) =d(b;a)pour tousa;b2E; (2)d(a;b) = 0si et seulement sia=b; (3)d(a;c)d(a;b) +d(b;c)pour tousa;b;c2E. Unespace metrique(E;d)est un ensembleEmuni d'une distanced. Si on interprete la distance comme un \temps de parcours", la propriete de symetrie (1) signie que le parcours en question est entierement reversible : il est \aussi rapide" d'aller deaversbque de revenir enaa partir deb. La propriete (2) signie que la distancedest susamment \ne" pour distinguer les points deE. L'inegalite (3) porte le nom d'inegalite triangulaire. Elle signie qu'il est toujours plus rapide d'aller directement d'un pointaa un pointcque de passer par un point intermediaireb. Sia;x;ysont 3 points deE, alors, d'apres l'inegalite triangulaire, on ad(x;a)d(y;a)d(x;y). Par symetrie, on en deduit l'inegalite triangulaire inverse: jd(x;a)d(y;a)j d(x;y):

Exemples

(1)SurR, ladistance usuelleest denie pard(x;y) =jxyj. (2)SiPest un plan euclidien muni d'un repere orthonorme, on denit une distance surPen notantd(A;B) la longueur du segment [A;B]. En identiantPaR2de maniere evidente, on a d(A;B) =p(xBxA)2+ (yByA)2. De maniere equivalente, si on identiePaC, alorsdest donnee pard(a;b) =jbaj, ou on a notejzjle module d'un nombre complexez. On dit quedest ladistance euclidiennesurR2, ou encore ladistance usuellesurC. (3)SiEest un ensemble quelconque, on denit une distance surEen posantd(a;a) = 0 et d(a;b) = 1 sia6=b. On dit quedestla distance discretesurX. (4)SoitEl'ensemble de toutes les stations du metro parisien. On denit une distance surEen notantd(a;b) la longueur du plus court trajet entreaetb, exprimee en nombre de stations. 4 Denition 1.1.2SoitEun espace vectoriel surK=RouC. UnenormesurEest une application jj:jj:E!R+veriant les proprietes suivante : (1)jjxjj= 0si et seulement six= 0. (2)jjx+yjj jjxjj+jjyjjpour tousx;y2E (3)jjxjj=jjjjxjjpour tousx2Eet2K. Unespace vectoriel norme(E;jj:jj)est un espace vectorielEmuni d'une normejj:jj.

Il y a une evidente similarite formelle entre la denition d'une distance et les 2 premieres proprietes

intervenant dans la denition d'une norme. De fait, on a le resultat suivant, dont la preuve est immediate. Proposition 1.1.3Sijj:jjest une norme sur un espace vectorielE, alors on denit une distance surEen posantd(a;b) =jjbajj. On dit quedest la distanceassocieea la normejj:jj. Notons que la distance associee a une normejj:jj, outre le fait d'^etre une distance, verie 2 pro- prietes supplementaires : elle est invariante par translation (d(a+p;b+p) =d(a;b) pour toutp2E); elle est \homogene" (d(a;b) =jjd(a;b)). La deuxieme propriete montre en particulier que la distance discrete sur un espace vectorielE6=f0g n'estpasassociee a une norme. Exemple 1La valeur absolue est une norme surR, le module est une norme surC.

Exemple 2Normes surKd

Sip2[1;1[, on denit une normejj:jjpsurKden posant

jjxjjp= dX i=1jxijp! 1=p Pourp= 2 , la normejj jj2surRdest lanorme euclidiennesurRd.

La normejj jj1surKdest denie par

jjxjj1= maxfjxij; 1ing:

Exemple 3Espaces pre-hilbertiens

SoitHunK-espace vectoriel. Sih;iest un produit scalaire surH, alors on denit une norme sur

Hen posant

jjxjj=phx;xi: Une propriete importante reliant la norme et le produit scalaire est l'inegalite de Cauchy-

Schwarz: six;y2H, alors

jhx;yij jjxjjjjyjj: Un espace vectoriel norme dont la norme provient d'un produit scalaire est qualie d'espacepre- hilbertien. Par exemple, (Kd;jj:jj2) est pre-hilbertien. 5

Exemple 4Espaces de fonctions bornees

Une partieAd'un espace vectoriel norme (F;j:k) est ditebornees'il existe une constanteC <1 telle quekxk Cpour toutx2A. Une fonctionf:T!Fest dite bornee si son image est une partie bornee deF. SiTest un ensemble quelconque, on note`1(T;K) l'espace vectoriel constitue par toutes les fonctions borneesf:T!K. On denit une norme sur`1(T;K) en posant jjfjj1= supfjf(t)j;t2Tg: En prenantT=f1;:::;dg, on retrouve la normejj:jj1surKd. Plus generalement, siFest un espace vectoriel norme, on note`1(T;F) l'espace vectoriel constitue par toutes les fonctions borneesf:T!F. La norme naturelle sur l'espace`1(T;F) est la norme jj:jj1denie parjjfjj1= supfjjf(t)jj;t2Tg.

Exemple 5EspacesLp

Soit (T;A;) un espace mesure. Pourp2[1;1[, la norme naturelle sur l'espace de Lebesgue L p(T;) est donnee par jjfjjp= Z T jf(t)jpd(t) 1=p Pourp=1, la norme naturelle surL1(T;) est donnee par jjfjj1= supessfjf(t)j;t2Tg; ou \supess" est la borne superieure essentielle. Pourp= 2, la norme provient du produit scalaire deni par hf;gi=Z X f(t)g(t)d(t):

Deux cas particuliers importants sont a isoler :

LorsqueX=f1;:::;dget queest la mesure de decompte,Lp(T;) s'identie aKdet on retrouve la denition dejj:jjpdonnee plus haut. LorsqueT=Net queest a nouveau la mesure de decompte, alors les espacesLp(T;) s'iden- tient a des espaces de suites : pourp <1, on a L p(N;)'`p(N) :=( x= (xn)2KN;1X

0jxnjp<+1)

et pourp=1, on a L

1(N;)'`1(N) :=

x= (xn)2KN; sup njxnj<+1 Pourp= 2, la norme provient donc du produit scalaire deni par hx;yi=1X 0x ny n: Notons enn que l'espace`1(N) n'est rien d'autre que l'espace des fonctions bornees`1(N;K)! 6

1.2 Convergence; continuite

1.2.1 Suites convergentes

Denition 1.2.1Soit(E;d)un espace metrique. On dit qu'une suite(xn)de points deEconverge vers un pointa2Esid(xn;a)tend vers0quandntend vers l'inni. Autrement dit, (xn) converge versxsi et seulement si la propriete suivante a lieu :

8" >09N8nN d(xn;a)< ":

La denition est donc formellement identique a celle de la convergence d'une suite de nombres reels : on remplace simplement \jxnaj" par \d(xn;a)". Remarque 1Comme dans le cas des suites numeriques, une suite ne peut pas converger simul- tanement vers deux points dierents. Il n'y a donc aucune ambiguite a dire queaestlalimite de la suite(xn), et a ecrirea= limn!1xn. Preuve.Supposons qu'une suite (xn) converge vers deux points distinctsaetb. Commedest une distance,":=d(a;b) est strictement positif. Comme (xn) converge a la fois versaet versb, on a a la foisd(xn;a)< "=2 etd(xn;b)< "=2 pournassez grand. D'apres l'inegalite triangulaire, on

en deduitd(a;b)< ", ce qui est absurde.Remarque 2Dans un espace vectoriel norme, toute suite convergente est bornee. La reciproque

est fausse. Exemple 1Une suite (zn)Cconverge pour la distance usuelle si et seulement si les suites (Re(zn)) et (Im(zn)) convergent. Exemple 2Si on munitKdde la normejj:jj1, alors une suite (xn)Kdconverge dansKd si et seulement si elle converge \coordonnee par coordonnee". Exemple 3SoitTun ensemble, et soit`1(T;K) l'ensemble des fonctions bornees surT, muni de la normejj:jj1. Une suite (fn)`1(T;K) converge vers une fonctionfau sens de la norme jj:jj1si et seulement si (fn) convergeuniformementversf. Pour cette raison, la normejj:jj1est qualiee denorme de la convergence uniforme. Exemple 4SoitC1([0;1]) l'ensemble des fonctionsf: [0;1]!Kde classeC1. On denit une normejj:jjC1surC1([0;1]) en posant jjfjjC1=jjfjj1+jjf0jj1: Alors, une suite (fn) C1([0;1]) converge vers une fonctionf2 C1([0;1]) au sens de la norme jj:jjC1si et seulement si (fn) converge uniformement versfet (f0n) converge uniformement versf0. Exemple 5Une suite (xn) converge versapour la distance discrete si et seulement si on axn=a a partir d'un certain rang. 7

1.2.2 Applications continues

Denition 1.2.2SoientEetFdeux espaces metriques. On dit qu'une applicationf:E!Fest continueen un pointa2Esi \f(x)tend versf(a)lorsquextend versa", autrement dit si la propriete suivante a lieu :

8" >09 >08x2E d(x;a))d(f(x);f(a))< " :

On dit que l'applicationfestcontinue surEsi elle est continue en tout point deE. A nouveau, cette denition est formellement identique a celle de la continuite pour les fonctions d'une variable reelle. Exemple 1.2.3SurE=Kdmuni de la normejj:jj1, les applications coordonnees sont continues. Preuve.Sii2 f1;:::;dg, alorsjx(i)y(i)j jjxyjj1pour tousx;y2Kd. Par consequent, la

i-eme application coordonnee est continue.Comme dans le cas des fonctions d'une variable reelle, on montre que la continuite est compatible

avec les operations algebriques : la somme et le produit de deux fonctions numeriques continues sont continues, l'inverse d'une fonction continue qui ne s'annule pas est continue. De m^eme, la composee de deux applications continues est continue. On en deduit en particulier le resultat suivant : Corollaire 1.2.4Soitf:A!K, ouAKd. Sif(x1;:::;xd)s'exprime par une formule algebrique en fonction dex1;:::;xd, alorsfest continue sur(A;jj:jj1). Le resultat suivant, qui est d'usage constant, caracterise la continuite en termes de suites. Proposition 1.2.5SoientE;Fdeux espaces metriques, et soita2E. Pour une applicationf:

E!F, les proprietes suivantes sont equivalentes :

(1)fest continue ena; (2)pour toute suite(xn)Econvergeant versa, la suite(f(xn))converge versf(a). Preuve.L'implication (1))(2) decoule tres facilement des denitions. Inversement, supposons que (1) ne soit pas veriee. Cela signie qu'il existe un nombre"0>0 veriant la propriete suivante : pour tout >0, on peut trouverx()2Etel qued(x();a)< etd(f(x();f(a))"0. En posantn= 2netxn=x(n), on obtient une suite (xn) qui converge versaet telle que (f(xn)) ne converge pas versf(a). Ainsi, (2) n'est pas veriee. On a donc montre \par contraposee" que (2) entra^ne (1).1.2.3 Applications lipschitziennes Soient (E;dE) et (F;dF) deux espaces metriques. Une applicationf:E!Fest ditelipschitzienne s'il existe une constantek <1telle que d

F(f(x);f(y))kdE(x;y)

8 pour tousx;y2E. Sikest une telle constante, on dit quefestk-lipschitzienne. Si on pose

Lip(f) = supdF(f(x);f(y))d

E(x;y);x;y2E; x6=y

alors la constantek= Lip(f) verie la propriete precedente, et est visiblement laplus petite constante veriant cette propriete. On dit que Lip(f) est laconstante de Lipschitzde l'ap- plicationf. Par denition de Lip(f), on a donc l'equivalence suivante : d(f(x);f(y))kd(x;y) pour tousx;y2E fest lipschitzienne et Lip(f)k Il est clair que toute application lipschitzienne est continue, mais la reciproque est fausse. Par exemple la fonctionx7!pxest continue surR+, mais elle n'est pas lipschitzienne carpx=xtend vers +1quandxtend vers 0. Voici deux exemples importants de fonctions lipschitziennes. Exemple 1SoitIun intervalle deRet soitf:I!Rune fonction derivable. Alorsfest lipschitzienne si et seulement sif0est bornee, et on aLip(f) =jjf0jj1. Preuve.Sif0est bornee, alorsfest lipschitzienne et Lip(f) jjf0jj1d'apres l'inegalite des ac- croissements nis. Inversement, sifest lipschitzienne, alors, six2I, on a jf(y)f(x)jjyxjLip(f) pour touty6=x, d'oujf0(x)j Lip(f) en faisant tendreyversx; ainsif0est bornee etjjf0jj1 Lip(f).Exemple 2Soit(E;d)un espace metrique. Pour tout pointa2E, l'applicationx7!d(x;a) est1-lipschitzienne. Plus generalement, soitAune partie deE. Pour toutx2E, on denit la distance dexaAparquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35