Tableaux des dérivées et primitives et quelques formules en

4 La fonction cosinus hyperbolique (): 2 x x f ee xychx − → + == \\ 6 La fonction ychx= ()est une fonction PAIRE Cette fonction est continue et définie sur \ et sa dérivée s'écrit : (ch x sh x( ))' = ( ) 5 La fonction sinus hyperbolique (): 2 x x f ee xyshx − → − == \\ 6 La fonction yshx= ()est une fonction IMPAIRE Cette

FORMULAIRE SUR LES FONCTIONS HYPERBOLIQUES

3 Identit e hyperbolique : ch2x sh2x = 1 4 Expression de shx et thx en fonction de chx et de chx et cothx en fonction de shx : shx = p ch2x 1 chx = p sh2x+ 1 thx = r 1 1 cos2 x cotx = r 1 + 1 sin2 x 5 Relation avec l’exponentiel : chx+ shx = e xet chx shx = e 6 Formule de puissance : (chx+ shx)n = ch(nx) + sh(nx) pour tout n 2N 7

Fonctions circulaires et hyperboliques inverses

Indication 4 On compose les ´equations par la bonne fonction, par exemple sinus pour la premi`ere Indication 5 Faire une ´etude de fonction Indication 6 1 Regarder ce qui se passe en deux valeurs oppos´ees x et −x 2 Poser X = ex Indication 9 Montrer que l’´equation xy = yx est ´equivalente a lnx x = lny y, puis ´etudier la

Tableaux des dérivées et primitives et quelques formules en

Fonctions usuelles : logarithme et exponentielle, fonction puissance, fonctions circulaires et leurs réciproques Déﬁnition 1 (Logarithme) On déﬁnit ln :]0;+1[R comme la primitive de x7

Formulaire de dérivées - MATHEMATIQUES

Fonction Dérivée Domaine de dérivabilité fn, n ∈ N∗ nf′fn−1 en tout réel où f est dérivable 1/f − f′ f2 en tout réel où f est dérivable et non nulle 1 fn, n ∈ N∗ − nf′ fn+1 en tout réel où f est dérivable et non nulle fn, n ∈ Z∗ nf′fn−1 √ f f′ 2 √ f en tout réel où f est dérivable et strictement

Growth models and longevity of freshwater pearl mussels

lanffy et une fonction hyperbolique Ces populations atteignent la plus petite taille maximale (90,5 mm), la durée de vie la plus courte (35 ans) et le taux de croissance le plus élevé ( k du modèle de von Bertalanffy en moyenne

Fonctions élémentaires

Fonctions élémentaires Pascal Lainé 3 Exercice 13 Soit )la fonction numérique définie par : ( )=2cos( +sin2 ) 1 Déterminer l'ensemble de définition de , sa période et sa parité

UNE CHAINETTE - Accueil

La fonction « cosinus hyperbolique » ch est la fonction définie sur par ch(x) = e +e Soient la courbe respective de ch dans un repère orthonormal du plan 1 a Montrer que la fonction ch est paire, c’est-à-dire que pour tout réel x, ch( −x) = ch(x) C4 b Traduire le fait que ch est paire graphiquement C3 2 a

Manuel Enrouleur/dérouleur pour MOVIDRIVE MDX61B

l’aide d’un tableau, soit à partir d’une fonction d’allure hyperbolique • Détermination des valeurs de frottement : les valeurs du frottement liées à la vitesse des éléments mécaniques et du réducteur peuvent être déterminées en mode apprentissage La connaissance de ces indices est nécessaire pour la déter-

[PDF] argsh en fonction de ln

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Tableaux des dérivées et primitives et quelques formules en prime FonctionDomaine de dérivabilitéDérivée ln(x)R +;1 xe xRe x1 xR 1x 2pxR +;1 2 px x ;2RR +;x

1cos(x)Rsin(x)sin(x)Rcos(x)tan(x)]2

+k;2 +k[;k2Z1 + tan

2(x) =1cos

1 +x2OpérationDérivée

f+gf

0+g0fgf

0g+fg0f

0gfg0g

2gff 0g0f1 u u0u 2u nnu

0un1puu

02 pu e uu

0euln(u)u

0usin(u)u

0cos(u)cos(u)u0sin(u)FonctionIntervalle d"intégrationPrimitive

(xa)n;n2N;a2RR1 n+ 1(xa)n+11 xa;a2R] 1;a[OU]a;+1[ln(jxaj)1 (xa)n;a2R;n2] 1;a[OU]a;+1[

1(n1)(xa)n1cos(ax);a2Rnf0gR1

a sin(ax)sin(ax);a2Rnf0gR 1a cos(ax)tan(x)]k2 ;k+2 [;k2Zln(jcos(x)j)ln(x)R +;xln(x)xe ax;a2Rnf0gR1 a eax(xa);a2R;2Rnf1g]a;+1[1 + 1(xa)+1a x;a >0R1 ln(a)ax1 x

2+ 1Rarctan(x)pxa;a2R]a;+1[2

3 (xa)3=21pxa;a2R]a;+1[2

pxa1p1x2]1;1[arcsin(x)Quelques formules de trigonométrie vraiment utiles.a;betxsont des réels (quelconques) :

cos

2(x) + sin2(x) = 1;cos(a+b) = cos(a)cos(b)sin(a)sin(b);sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b);

cos(2x) = 2cos2(x)1 = 12sin2(x);cos2(x) =1 + cos(2x)2 sin(2x) = 2sin(x)cos(x);sin2(x) =1cos(2x)2 1 Fonctions usuelles : logarithme et exponentielle, fonction puissance, fonctions circulaires et leurs réciproques Définition1(Logarithme).On définitln :]0;+1[!Rcommelaprimitive dex7!1x qui s"annule en 1.

Propriété1.

1.lnest continue et strictement croissante sur]0;+1[.

2.8x;y2]0;+1[;ln(xy) = ln(x) + ln(y).

3.8x >0;ln(1x

) =ln(x).

4.8x;y2]0;+1[;ln(xy

) = ln(x)ln(y).

5.8n2N;8x >0;ln(xn) =nln(x).

6.limx!0+ln(x) =1etlimx!+1ln(x) = +1Définition2(Exponentielle).On définitexp:R!]0;+1[commelasolution de l"équation différentielley0=yde

condition initialey(0) = 1.

On noteexp(x) =ex.

Propriété2.

1.expest continue et strictement croissante surR.

2.8x;y2R;ex+y=exey:

3.8x2R;ex= 1=ex:

4.8x;y2R;exy=exe

5.8n2N;8x2R;enx= (ex)n:

6.limx!1ex= 0etlimx!+1ex= +1:Propriété3.On a8x2R;ln(ex) =xet8x >0;eln(x)=x.

Définition3(Fonction puissance).Soita2R. On définit lafonction puissancesur]0;+1[par p a(x) :=ealn(x):On notexa:=ealn(x).

Exemples :

ln(x2) = 2ln(x); e2x+y=e2xey;2x=exln(2);px=x12 =e12 ln(x);3px=x13 =e13 ln(x):

Croissances comparées :Pour tous >0; >0,

lim x!+1(lnx)x = 0etlimx!0+xjlnxj= 0 lim x!+1e xx = +1etlimx!1jxjex= 0

Autrement dit, l"exponentielle impose toujours sa limite en1aux fonctions puissances, et celles-ci imposent toujours

leur limites en0+ou+1au logarithme.

Fonctions circulaires réciproquesOn suppose connues les fonctionssinusetcosinus. On rappelle que la fonctiontangenteest définie sur]2

;2 [par tan(x) =sin(x)cos(x). Valeurs spéciales des fonctions trigonométriquesx0 6 4 3

2233456

cos(x)1p3 2p2 21
20 12 p2 2 p3

21sin(x)01

2p2 2p3 21p3
2p2 21
20 tan(x)01p31p31 p31 1p30 2

Formules de trigonométrie

cos

2(x) + sin2(x) = 1 tan(x) =sin(x)cos(x)

cos(x+ 2) = cos(x) sin(x+ 2) = sin(x) tan(x+) = tan(x) cos(2x) = 2cos2(x)1 = 12sin2(x) sin(2x) = 2sin(x)cos(x) Définition4(Arcsinus).Sinus est une bijection de[2 ;2 ]sur[1;1]. On appellearcsinussa réciproque.

8x2[1;1];82[2

;2 ]; x= sin(),arcsin(x) =:

Définition5(Arccosinus).Cosinus est une bijection de[0;]sur[1;1]. On appellearccosinussa réciproque.

8x2[1;1];82[0;]; x= cos(),arccos(x) =:

Définition6(Arctangente).Tangente est une bijection de]2 ;2 [surR. On appellearctangentesa réciproque.

8x2R;82]2

;2 [; x= tan(),arctan(x) =:

ArcsinusArccosinusArctangente

Propriété4.

1.8x2[1;1];sin(arcsin(x)) =x.

2.8x2[1;1];cos(arccos(x)) =x.

3.8x2R;tan(arctan(x)) =x.Icixappartient au domaine de défi-

nition de la fonction réciproque.

Propriété5.

1.82[2

;2 ];arcsin(sin()) =.

2.82[0;];arccos(cos()) =.

3.82]2

;2 [;arctan(tan()) =.FAttention, icine parcourt pas tout l"ensemble de définition des fonctions sinus, cosinus ou tangente!

Exemples :

1.arcsin(sin(175

)) = arcsin(sin(205 35
)) = arcsin(sin(35 )) =35

2.arccos(cos(175

)) = arccos(cos(205 35
)) = arccos(cos(35 )) = arccos(cos(35 )) =35

3.arctan(tan(175

)) = arctan(tan(35 )) =35

Dérivées :Les fonctions arcsinus et arccosinus sont (infiniment) dérivables sur]1;1[et arctangente est (infiniment)

[PDF] Tableaux des dérivées et primitives et quelques formules en

1cos(x)Rsin(x)sin(x)Rcos(x)tan(x)]2

2(x) =1cos

1 +x2OpérationDérivée

0+g0fgf

0g+fg0f

0gfg0g

0un1puu

0euln(u)u

0usin(u)u

0cos(u)cos(u)u0sin(u)FonctionIntervalle d"intégrationPrimitive

1(n1)(xa)n1cos(ax);a2Rnf0gR1

2+ 1Rarctan(x)pxa;a2R]a;+1[2

2(x) + sin2(x) = 1;cos(a+b) = cos(a)cos(b)sin(a)sin(b);sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b);

Propriété1.

1.lnest continue et strictement croissante sur]0;+1[.

2.8x;y2]0;+1[;ln(xy) = ln(x) + ln(y).

3.8x >0;ln(1x

4.8x;y2]0;+1[;ln(xy

5.8n2N;8x >0;ln(xn) =nln(x).

6.limx!0+ln(x) =1etlimx!+1ln(x) = +1Définition2(Exponentielle).On définitexp:R!]0;+1[commelasolution de l"équation différentielley0=yde

On noteexp(x) =ex.

Propriété2.

1.expest continue et strictement croissante surR.

2.8x;y2R;ex+y=exey:

3.8x2R;ex= 1=ex:

4.8x;y2R;exy=exe

5.8n2N;8x2R;enx= (ex)n:

6.limx!1ex= 0etlimx!+1ex= +1:Propriété3.On a8x2R;ln(ex) =xet8x >0;eln(x)=x.

Exemples :

Croissances comparées :Pour tous >0; >0,

2233456

21sin(x)01

Formules de trigonométrie

2(x) + sin2(x) = 1 tan(x) =sin(x)cos(x)

8x2[1;1];82[2

8x2[1;1];82[0;]; x= cos(),arccos(x) =:

8x2R;82]2

ArcsinusArccosinusArctangente

Propriété4.

1.8x2[1;1];sin(arcsin(x)) =x.

2.8x2[1;1];cos(arccos(x)) =x.

3.8x2R;tan(arctan(x)) =x.Icixappartient au domaine de défi-

Propriété5.

1.82[2

2.82[0;];arccos(cos()) =.

3.82]2

Exemples :

1.arcsin(sin(175

2.arccos(cos(175

3.arctan(tan(175

Propriété6.1.8x2]1;1[;arcsin

0(x) =1p1x2.

2.8x2]1;1[;arccos

0(x) =1p1x2.

3.8x2R;arctan

0(x) =11 +x2.