FONCTIONS HYPERBOLIQUES 4 - univ-tlnfr
4 La fonction cosinus hyperbolique (): 2 x x f ee xychx − → + == \\ 6 La fonction ychx= ()est une fonction PAIRE Cette fonction est continue et définie sur \ et sa dérivée s'écrit : (ch x sh x( ))' = ( ) 5 La fonction sinus hyperbolique (): 2 x x f ee xyshx − → − == \\ 6 La fonction yshx= ()est une fonction IMPAIRE Cette
FORMULAIRE SUR LES FONCTIONS HYPERBOLIQUES
3 Identit e hyperbolique : ch2x sh2x = 1 4 Expression de shx et thx en fonction de chx et de chx et cothx en fonction de shx : shx = p ch2x 1 chx = p sh2x+ 1 thx = r 1 1 cos2 x cotx = r 1 + 1 sin2 x 5 Relation avec l’exponentiel : chx+ shx = e xet chx shx = e 6 Formule de puissance : (chx+ shx)n = ch(nx) + sh(nx) pour tout n 2N 7
Fonctions circulaires et hyperboliques inverses
Indication 4 On compose les ´equations par la bonne fonction, par exemple sinus pour la premi`ere Indication 5 Faire une ´etude de fonction Indication 6 1 Regarder ce qui se passe en deux valeurs oppos´ees x et −x 2 Poser X = ex Indication 9 Montrer que l’´equation xy = yx est ´equivalente a lnx x = lny y, puis ´etudier la
Tableaux des dérivées et primitives et quelques formules en
Fonctions usuelles : logarithme et exponentielle, fonction puissance, fonctions circulaires et leurs réciproques Définition 1 (Logarithme) On définit ln :]0;+1[R comme la primitive de x7
Formulaire de dérivées - MATHEMATIQUES
Fonction Dérivée Domaine de dérivabilité fn, n ∈ N∗ nf′fn−1 en tout réel où f est dérivable 1/f − f′ f2 en tout réel où f est dérivable et non nulle 1 fn, n ∈ N∗ − nf′ fn+1 en tout réel où f est dérivable et non nulle fn, n ∈ Z∗ nf′fn−1 √ f f′ 2 √ f en tout réel où f est dérivable et strictement
Growth models and longevity of freshwater pearl mussels
lanffy et une fonction hyperbolique Ces populations atteignent la plus petite taille maximale (90,5 mm), la durée de vie la plus courte (35 ans) et le taux de croissance le plus élevé ( k du modèle de von Bertalanffy en moyenne
Fonctions élémentaires
Fonctions élémentaires Pascal Lainé 3 Exercice 13 Soit )la fonction numérique définie par : ( )=2cos( +sin2 ) 1 Déterminer l'ensemble de définition de , sa période et sa parité
UNE CHAINETTE - Accueil
La fonction « cosinus hyperbolique » ch est la fonction définie sur par ch(x) = e +e Soient la courbe respective de ch dans un repère orthonormal du plan 1 a Montrer que la fonction ch est paire, c’est-à-dire que pour tout réel x, ch( −x) = ch(x) C4 b Traduire le fait que ch est paire graphiquement C3 2 a
Manuel Enrouleur/dérouleur pour MOVIDRIVE MDX61B
l’aide d’un tableau, soit à partir d’une fonction d’allure hyperbolique • Détermination des valeurs de frottement : les valeurs du frottement liées à la vitesse des éléments mécaniques et du réducteur peuvent être déterminées en mode apprentissage La connaissance de ces indices est nécessaire pour la déter-
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Biblioth`eque d"exercices
´Enonc´es
L1Feuille n◦14Fonctions circulaires et hyperboliques inverses1 Fonctions circulaires inverses
Exercice 1Une statue de hauteursest plac´ee sur un pi´edestal de hauteurp.`A quelle distancedoit se placer un observateur (dont la taille est suppos´ee n´egligeable) pour voir la statue sous
un angle maximal? Exercice 2D´emontrer les in´egalit´es suivantes :Arcsina >a⎷1-a2si 0< a <1;
Arctana >a1 +a2sia >0.
Exercice 3
´Ecrire sous forme d"expression alg´ebrique
sin(Arccosx),cos(Arcsinx),sin(3Arctanx). Exercice 4R´esoudre les ´equation suivantes :Arcsinx= Arcsin25
+ Arcsin35 ,Arccosx= 2Arccos34Arctanx= 2Arctan12
Exercice 5V´erifier
Arcsinx+ Arccosx=π2
,Arctanx+ Arctan1x = sgn(x)π22 Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses
Exercice 61. Montrer qu"il n"existe pas de fonctionf: [1;+∞[→Rv´erifiant : ?x?R,f(chx) =ex.2. D´eterminer toutes les fonctionsf:R+?→Rtelles que :
?x?R,f(ex) = chx.Pr´eciser le nombre de solutions.
3. D´eterminer toutes les fonctionsf:R+→Rtelles que :
?x?R,f(ex) = chx. Pr´eciser le nombre de solutions; y a t-il des solutions continues surR+? 1Exercice 7Calculer :
lim x→∞ex(ch3x-sh3x) et limx→∞(x-ln(chx)).Exercice 8Les r´eelsxety´etant li´es par
x= ln? tan?y2 +π4 calculer chx,shxet thxen fonction dey. Exercice 9R´esoudre l"´equationxy=yxo`uxetysont des entiers positifs non nuls. 2Biblioth`eque d"exercicesIndications
L1Feuille n◦14Fonctions circulaires et hyperboliques inverses Indication 1Faire un dessin. Remarquer que maximiser l"angle d"observationαrevient `a maximiser tanα. Puis calculer tanαen fonction de la distance et ´etudier cette fonction.Indication 2On pourra ´etudier les fonctions d´efinies par la diff´erence des deux termes de
l"in´egalit´e. Indication 3Il faut utiliser les identit´es trigonom´etriques classiques. Indication 4On compose les ´equations par la bonne fonction, par exemple sinus pour la premi`ere.Indication 5Faire une ´etude de fonction.
Indication 61. Regarder ce qui se passe en deux valeurs oppos´eesxet-x.2. PoserX=ex.
Indication 9Montrer que l"´equationxy=yxest ´equivalente `alnxx =lnyy , puis ´etudier la fonctionx?→lnxx 1Biblioth`eque d"exercicesCorrections
L1Feuille n◦14Fonctions circulaires et hyperboliques inverses Correction 1On notexla distance de l"observateur au pied de la statue. On noteαl"angle d"observation de la statue seule, etβl"angle d"observation du piedestal seul. Nous avons le deux identit´es : tan(α+β) =p+sx ,tanβ=px En utilisante la relation tan(α+β) =tanα+tanβ1-tanα·tanβon obtient tanα=sxx2+p(p+s).
Maintenant l"angleα?[0,π2
[ et la fonction tan est croissante sur cet intervalle, donc maximiserα est ´equivalent `a maximiser tanα.´Etudions la fonctionf(x) =sxx2+p(p+s)d´efinie surx?[0,+∞[.
Apr`es calculsf?ne s"annule qu"enx0=?p(p+s) qui donne le maximum def(en 0 et +∞ l"angle est nul). Donc la distance optimiale de vision estx0=?p(p+s). En compl´ement on peut calculer l"angle maximumα0correspondant : par la relation tanα0= f(x0) =s2 ⎷p(p+s), on obtientα0= arctans2 ⎷p(p+s). Correction 21. Soitf(a) = Arcsina-a⎷1-a2sur ]0,1[,f?(a)?0 (faite le calcul!) doncf est strictement croissante etf(0) = 0 doncf(a)>0 pout touta?]0,1[.2.g(a) = Arctana-a1+a2alorsg?(a) =11+a2-1+a2(1+a2)2=2a2(1+a2)2>0 Doncgest strictement
croissante etg(0) = 0 doncgest strictement positive sur ]0,+∞[. Correction 31. sin2y= 1-cos2ydonc siny=±?1-cos2y. Donc sinarccosx= ±⎷1-cos2arccosx=±⎷1-x2et comme arccosx?0 on a sinarccosx= +⎷1-x2.2. De la mˆeme mani`ere cosarcsinx= +⎷1-x2.
3. On utilise 1+tan
2x=1cos
2x=11-sin2xce qui permet d"avoir sin2x= 1-11+tan
2x. Ensuite
on calcule tan3yen utilisant deux fois la formule de tan(a+b) on trouve tan3y=3tany-(tany)31-3(tany)2. Cela permet d"avoir
sin(3arctanx) = 4x(1 +x2)3/2-x⎷1 +x2. Correction 41. En prenant le sinus de l"´equation Arcsinx= Arcsin25 +Arcsin35 on obtient x= sin(Arcsin25 + Arcsin35 ), doncx=25 cosArcsin35 +35cosArcsin25 . En utilisant la formule cosarcsinx= +⎷1-x2. On obtientx=25 45
+35
?21 25
=825 +3⎷21 25