Chapitre IV Les Fonctions Hyperboliques
On appelle argsh la fonction r eciproque de sh La fonction argsh est d eriv able en tout point de R et pour tout x 2 R, (argsh)0(x) = 1 p x2 +1 2 3 Argth : 2 0-2 x
Fonctions hyperboliques
Les variations de la fonction Argsh sur R sont les mˆemes que celles de la fonction sh sur R x 1 0 +1 Argsh x +1 1 0 0 B 1 2 Proposition La fonction Argsh est d´erivable sur R et pour tout x ∈ R , Argsh0(x) = 1 √ 1+x2 B 2 Reciproque de la fonction cosinus hyperbolique´
LES FONCTIONS HYPERBOLIQUES ET LEURS RÉCIPROQUES - MPSI-3
Les parties paire et impaire de la fonction exponentielle sont le “cosinus hyperbolique” et le “sinus hyperbolique”; que l’on note respectivement ch et sh : 8x 2R, 8 >> >< >> >: ch(x) = ex +e x 2 sh(x) = e x e 2 Chacune de ces deux fonctions admet l’autre pour dérivée Ci-dessous, leurs graphes, ainsi que celui de x 71 2 e x (en
ETUDES DE FONCTIONS - Luniversité des sciences en ligne
2) Préciser les propriétés de la fonction ArgSh et tracer sa courbe représentative 3) Soit x I∈ Calculer l’unique réel y tel que : 2 e ey y x − − = En déduire l’expression de ArgSh( )x en fonction de x 4) Retrouver à l’aide de cette expression l’étude de la dérivabilité de la fonction ArgSh et le calcul de sa dérivée
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Problème : Construction de argsh et étude d'une fonction associée Partie I Construction de la fonction argsh 1 La fonction sh est strictement croissante et continue sur R De plus les limites de sh en 1 et en +1sont respectivement 1 et +1 Ainsi, par le théorême d'homéomorphisme, sh est une bijection de R vers R
Exercices sur les fonctions cosinus hyperbolique, 6 sinus
5 Expression logarithmique de Argch, Argsh, Argth 6 Formules de trigonométrie hyperbolique 7 Démontrer à l’aide de la définition de la fonction ch que x ch x 1 8 Démontrer que x – ch x < sh x < ch x En déduire un encadrement de th x 9 Déterminer le sens de variation de la fonction th sans utiliser la dérivée
Notions de fonctions bijectives Correction des exercices
1 La fonction sh : R −→ R est continue strictement croissante sur R, et lim −∞ sh = −∞, lim ∞ sh = ∞ Le théorème de la bijection assure donc que sh réalise une bijection de Rsur R, dont on note argsh la réciproque Soit y ∈ R Résolvons l’équation shx = y (E) : (E) ⇐⇒ ex −e−x −2y = 0
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