Analyse vectorielle (PC*) - oliviergranierfreefr
Analyse vectorielle (PC*) Opérateurs gradient, divergence, rotationnel, laplacien : 1 – Gradient d’un champ scalaire : Soit la fonction ou champ scalaire : r f r→ ∈ℜ( ) r r continue et dérivable L’opérateur gradient agissant sur ce champ scalaire donne un champ vectoriel défini par, où df représente la différentielle de f :
PC Physique I - oliviergranierfreefr
On rappelle la formule d’analyse vectorielle : Partie I - Théorie statique des marées Données relatives à la Terre (de centre ), à la Lune (de centre ) et au Soleil (de centre ) : On considère un système supposé isolé de deux astres en interaction gravitationnelle :
Electrostatique : révisions de Sup Conducteurs en équilibre
Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 8 3 – Le théorème de Gauss, équations locales de l’électrostatique : Ce théorème a été démontré en 1 ère année ; on peut l’utiliser comme point de départ pour
(PC*)
O Granier, PC* J Decour (Ondes dans les plasmas) 2 – Equations de Maxwell dans le plasma : L’ionosphère est la partie de la haute atmosphère (75 à 250 km d’altitude en plusieurs couches) où les gaz sont ionisés par le rayonnement cosmique et par le vent solaire : c’est un exemple de plasma
PC* Electrostatique : révisions de Sup Compléments
(Voir le formulaire d’analyse vectorielle) 11 4 – Exemples de calculs de champs et de potentiels : Voir feuilles d’exercices 12 Olivier Created Date:
Electromagnétisme Chap1 Les équations de Maxwell
Remarque : Une propriété générale d’analyse vectorielle nous dit que lorsque le rotationnel et la divergence d’un champ sont connus, alors le champ peut être déterminé complètement si l’on se donne des conditions initiales et des conditions aux limites
Vibrations*transversales*d’une*corde,*équationde*d’Alembert*:*
Olivier Granier, Delphine Chareyron, Nicolas Taberlet On s’intéresse maintenant aux oscillations libre et à une famille de solutions de l’équation de d’Alembert sous forme d’ondes stationnaires On suppose que la corde est fixée à ses deux extrémités en x = 0 et en x = L, où L est la longueur de la corde
PROCÉDURE DE SUIVI - Cirad
- Stage post-doc d’Olivier Fridolin Maminiaina mi-novembre – fin décembre 2012 - Thèse en alternance de Marthin Dakouo (soutenance en 2013) LCV, Bamako, Mali WP2 : - Poursuite de la thèse de Mme Nguyen Minh Huong (sociologue Vietnam) à Amsterdam, encadrement Muriel Figuié CIRAD, Christian Broer, Univ d’Amsterdam (Sociologie)
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Analyse vectorielle (PC*)
Opérateurs gradient, divergence, rotationnel, laplacien :1 - Gradient d"un champ scalaire :
Soit la fonction ou champ scalaire :
( )r f r→ ??r rcontinue et dérivable. L"opérateur gradient agissant sur ce champ scalaire donne un champ
vectoriel défini par, où df représente la différentielle de f : ( ). ( ).df grad f r dr f r dr= = ?uuuuurrr r r r * Expressions en coordonnées cartésiennes, polaires, cylindriques et sphériques :On définit des multiplicateurs
μi de la manière suivante :
3 1 i i i idr ds uμ ==∑r rTableau des multiplicateurs
s1 s2 s3 μ1 μ2 μ3Coordonnées cartésiennes x y z 1 1 1
Coordonnées cylindriques ρ θ z 1 ρ 1 Coordonnées sphériques r θ ? 1 r rsin θ Dans l"un de ces trois systèmes de coordonnées orthogonales, on peut écrire : 3 11 i ii iUgradU usμ=
uuuuurr * En tout point, le gradient du champ scalaire ( )f rr est perpendiculaire à la surface de niveau (lasurface iso-f) passant par ce point et il est dirigé suivant la direction de variation la plus rapide de
( )f rr, dans le sens des valeurs croissantes de ( )f rr.Exemple en électrostatique : les lignes de champs sont perpendiculaires aux équipotentielles et le
champ est dirigé vers les potentiels décroissants (car ( ( ))E grad V r= -uuuuurrr.2 - Divergence d"un champ vectoriel :
Soit le champ vectoriel :
( )r V r→rr r. La divergence de ( )V rrr est, formellement, le résultat du produit scalaire de ( )V rrr avec l"opérateur nabla ?r, soit : ( ) . ( )divV r V r= ?r r rr r * Expressions en coordonnées cartésiennes, polaires, cylindriques et sphériques : 2On utilise l"interprétation locale de la divergence, vue en cours lors de la démonstration locale du
théorème de Gauss : tan( )sor tddivA r dτΦ=rr
A partir d"un point M de coordonnées orthogonales s i, on construit un pavé élémentaire dont les6 faces sont définies par les valeurs s
i + dsi, ... des coordonnées. Les arêtes du pavé ont pour longueurμidsi et son volume vaut :
1 2 3 1 2 3d ds ds dsτ μ μ μ=
Le flux élémentaire à travers les deux surface s1 et s1 + ds1 vaut :
1 1 1 1 2 3 2 2 3 3 1 1 2 3 2 2 3 3( , , ) ( , , )d A s ds s s ds ds A s s s ds dsμ μ μ μΦ = + -
Soit :
2 3 11 1 2 3
1 ( )Ad ds ds dssPar conséquent :
2 3 1 1 3 2 1 2 3
1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( )1A A AdivAs s sμ μ μ μ μ μ
rEn coordonnées cylindriques :
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 1 1r z r zA ArA rA rA AdivAr r z r r r z rEt en coordonnées sphériques :
2222( )( )( sin ) (sin )( sin ) ( )11 1 1
sinsin sinrrrAAr AAr A r AdivAr r r r r rφφθθθθθ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂? ?r Pour se persuader de limiter l"utilisation du vecteur Nabla aux seules coordonnées cartésiennes, il suffit d"examiner les expressions du gradient et de la divergence en coordonnées cylindriques : l"expression du gradient suggère de postuler : 1 r zu u ur r zθθ rr r r mais si on effectue .A?rr (sans précaution !), on ne retrouve l"expression de divAr obtenue ci-dessus ! Alors, ATTENTION !!!!!En dehors des coordonnées cartésiennes, il n"est pas nécessaire d"apprendre les expressions des
opérateurs (sauf celles du gradient !) ; s"il le faut, l"énoncé les donnera. On peut d"ailleurs par une
approche intégrale (théorèmes de Stockes et de Green Ostrogradsky) ne pas avoir besoin de l"expression locale de ces opérateurs. 33 - Rotationnel d"un champ vectoriel :
Soit le champ vectoriel :
( )r V r→rr r. Le rotationnel de ( )V rrr est, formellement, le résultat du produit vectoriel de )(rVrr avec l"opérateur nabla ?r, soit : ( ) ( )rotV r V r= ??uuurr r rr r * Expressions en coordonnées cartésiennes, polaires, cylindriques et sphériques :En coordonnées cartésiennes, le calcul du rotationnel à l"aide du vecteur nabla est simple :
yz x xz y z yx AA y z xA