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Chapitre 3
Produit scalaire, espaces
vectoriels euclidiens
3.1 Produit scalaire, norme euclidienne
D´efinition 3.1
SoitEun espace vectoriel r´eel. Unproduit scalairesur Eest une forme bilin´eaire sym´etrique d´efinie positive surE×E. Un espace vectoriel r´eel de dimension finie muni d"un produit scalaire est appel´eespace euclidien. Si(x,y)?→(x|y)est un produit scalaire surE, lanorme euclidienne d"un ´el´ementx?Eest?x?=p (x|x). Un espace vectoriel r´eel de dimension infinie muni d"un produit scalaire est couramment appel´e espace pr´ehilbertien r´eel. On notera en g´en´eral (x|y) le produit scalaire. E§??⎷??∫ ?? ⎷?????? ∫??????? ¬ L? ⎷?????? ∫??????? ?∫??? ∫??Rn; six= (x1,...,xn) ety= (y1,...,yn) sont deux vecteurs deRn, on pose (x|y) =Pn i=1xiyiOn a bien ?x?2=Pn i=1x2i>0 quandx?= 0. 2. scalaire surMn(R). En effet, siA= (ai,j) n"est pas la matrice nulle, on a trace(AtA) =P i,ja2i,j>0. 3. S???El"espace vectoriel r´eel (de dimension infinie) des fonctions conti- nues sur [0,1] `a valeurs dansR. On pose, pourfetg´el´ements de E, (f|g) =Z 1 0 f(t)g(t)dt . 15
16CHAPITRE 3. ESPACES EUCLIDIENS
Ceci d´efinit bien un produit scalaire car sifn"est pas identiquement nulle, on aR1
0f(t)2dt >0.
?x?= 0?x= 0 et?λx?=|λ|?x?pour tout r´eelλ. Voici d"autres pro- pri´et´es. Proposition 3.2 (In´egalit´e de Cauchy-Schwarz)
SoitEun espace vec-
toriel r´eel muni d"un produit scalaire(· | ·),?·?la norme euclidienne associ´ee.
Alors pour tousxetydeEon a
L"´egalit´e a lieu si et seulement sixetysont colin´eaires.
Proposition 3.3 (In´egalit´e triangulaire)
SoitEun espace vectoriel r´eel
muni d"un produit scalaire(· | ·),? · ?la norme euclidienne associ´ee. Alors pour tousxetydeEon a L"´egalit´e a lieu si et seulement siy= 0ou s"il existe un r´eelt≥0tel que x=ty.
3.2 Orthogonalit´e, base orthonormale
Un produit scalaire est une forme bilin´eaire sym´etrique non d´eg´en´er´ee. Dans un espace euclidienEon a donc dimF+ dimF?= dimEpour tout sous-espaceE. Mais on a mieux :
Proposition 3.4
SoitEun espace euclidien,Fun sous-espace deE. L"or- thogonalF?deFpour le produit scalaire est un suppl´ementaire deFdans E. On l"appelle le suppl´ementaire orthogonal deFdansE. On reprend la d´efinition de base orthogonale d´ej`a vue pour une forme bi- lin´eaire sym´etrique et on la compl`ete.
D´efinition 3.5
SoitEun espace euclidien de dimensionn. Une base
(e1,...,en)deEest diteorthogonalequand(ei|ej) = 0pour tousi?=j. Elle est diteorthonormalesi en plus?ei?= 1pouri= 1,...,n.
3.2. ORTHOGONALIT
´E, BASE ORTHONORMALE17
L? ??∫? ?e1,...,en) est orthonormale si et seulement si la matrice du produit scalaire dans cette base est la matrice identit´eIn, ou encore si et seulement si le produit scalaire de deux vecteursx=Pn i=1xieiety=Pn i=1yieiest donn´e par (x|y) =Pn i=1xiyi. peut en faire une base orthonormale en rempla¸canteipar1 ?ei?ei. On obtient donc :
Proposition 3.6
Tout espace euclidien admet une base orthonormale. Grˆace `a cette proposition, on voit comment l"´etude d"un espace euclidien de dimensionnse ram`ene `a celle deRnavec son produit scalaire usuel. Proposition 3.7 (Proc´ed´e d"orthogonalisation de Gram-Schmidt) Soit(e1,...,en)une base quelconque d"un espace euclidienE. Alors on peut fabriquer par r´ecurrence une base orthogonale(ε1,...,εn)deEde la forme 1=e1
2=e2-λ1,2ε1...
i=ei-Pi-1 j=1λj,iεj... n=en-Pn-1 j=1λj,nεj en prenantλj,i=(εj|ei) ?εj?2. On aVect(e1,...,ei) = Vect(ε1,...,εi)pour i= 1,...,n.
Proposition 3.8
SoitEun espace vectoriel r´eel muni d"un produit scalaire (· | ·), et soitFun sous-espace de dimension finie deE. Pour toutx?E, il existe un uniquepF(x)?Ftel quex-p(x)est orthogonal `aF. L"application p
F:E-→E
x?-→pF(x) est un endomorphisme lin´eaire. Cet endomorphismepFs"appelle laprojec- tion orthogonale surF.
18CHAPITRE 3. ESPACES EUCLIDIENS
Si (e1,...,er) est une base orthogonale deF, alors p
F(x) =rX
i=1(ei|x) ?ei?2ei.
3.3 Endomorphismes d"un espace euclidien
Dans toute cette section,Eest un espace euclidien, (· | ·) son produit scalaire et? · ?sa norme euclidienne.
Proposition 3.9
Soitfun endomorphisme deE. Pour toutx?E, il existe un uniquef?(x)?Etel que, pour toutydeE, on a (f?(x)|y) = (x|f(y)). L"applicationf?:E→Eest un endomorphisme lin´eaire Cet endomorphisme f ?s"appellel"adjoint def. SiEest une base orthonormale deE, la matrice def?dans la baseEest la transpos´ee de la matrice defdans la baseE.
D´efinition 3.10
Un endomorphisme d"un espace euclidien est ditsym´etri- que(ouautoadjoint) s"il est ´egal `a son adjoint. SiEest une base orthonormale de l"espace euclidienE, un endomor- phisme deEest sym´etrique si et seulement si sa matrice dans la baseEest sym´etrique.
Proposition 3.11
Soitfun endomorphisme deE. Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes : 1.
P??? ???∫x,ydeE, on a(f(x)|f(y)) = (x|y).
2.
P??? ????xdeE, on a?f(x)?=?x?.
3. f ?f= IdE. U\endomorphisme orthogonaldeEest un endomorphisme qui v´erifie ces propri´et´es. Les endomorphismes orthogonaux forment un groupe, appel´e le groupe orthogonal deE.
Exemple : les sym´etries orthogonales.
D´efinition 3.12
Une matriceM? Mn(R)est dite orthogonale sitM M=
I n. Les matrices orthogonales forment un sous-groupe du groupe lin´eaire, appel´e groupe orthogonal et not´eO(n,R).
3.3. ENDOMORPHISMES D"UN ESPACE EUCLIDIEN19
S???E= (e1,...,en) une base orthonormale deE. Alors un endomor- phismefdeEest orthogonal si et seulement si (f(e1),...,f(en)) est une base orthonormale deE, et si et seulement si sa matrice dans la baseEest orthogonale.
Proposition 3.13
Les endomorphismes orthogonaux (les matrices orthogo- nales) ont un d´eterminant ´egal `a1ou-1. Ceux (celles) de d´eterminant1 forment un sous-groupe du groupe orthogonal appel´e groupe sp´ecial orthogo- nal. Dans le cas des matrices, on le noteSO(n,R) Etude des groupes orthogonaux en dimension 2 et 3.
Proposition 3.14
SoitEun plan euclidien.
1. S???(e1,e2)une base orthonormale deE, etfun endomorphisme or- thogonal deEde d´eterminant1. Alors il existe un r´eelθtel que la matrice defsoitµcosθ-sinθ (rotation d"angleθ). 2. S???fun endomorphisme orthogonal deEde d´eterminant-1. Alors il existe une base orthonormale(e1,e2)deEtelle que la matrice de fdans cette base soitµ1 0 (sym´etrie orthogonale par rapport `a une droite).
Proposition 3.15
SoitEun espace euclidien de dimension 3,fun endo-
morphisme orthogonal deE. Alors il existe une base orthonormale(e1,e2,e3) deEtelle que la matrice defdans cette base soit0 @ε0 0
0 cosθ-sinθ
0 sinθcosθ1
A , o`u θest un nombre r´eel etε= 1(resp.-1) sidetf= 1(resp.-1). Dans le cas detf= 1,fest l"identit´e ou la rotation d"axe la droite engendr´ee pare1et d"angle g´eom´etriqueθ. Dans le casdetf=-1, c"est une sym´etrie orthogo- nale par rapport `a un plan, ou une telle symetrie suivie d"une rotation d"axe perpendiculaire au plan Dans le cas d"une rotationf(d´eterminant 1, diff´erente de l"identit´e), l"axe est la droite vectorielle propre defassoci´ee `a la valeur propre 1, et l"angle g´eom´etriqueθde la rotation est d´etermin´e par 1 + 2cos(θ) = trace(f).
20CHAPITRE 3. ESPACES EUCLIDIENS
3.4 Diagonalisation des endomorphismes sy-
m´etriques
Th´eor`eme 3.16
Soitfun endomorphisme sym´etrique d"un espace euclidien E. Alors il existe une base orthonormale deEdans laquelle la matrice def est diagonale. D????\∫??????\¬On admet le lemme qui dit qu"un endomorphisme sym´etrique a ses valeurs propres r´eelles (ce lemme sera d´emontr´e au prochain chapitre). E. Pourn= 1, il n"y a rien `a d´emontrer. Supposons alorsn >1 et le r´esultat ´etabli pour un endomorphisme sym´etrique d"un espace euclidien de dimensionn-1. Soitλune valeur propre r´eelle def, etun?Eun vecteur propre de valeur propre associ´eeλ. On peut supposerunde norme 1, quitte `a le diviser par sa norme. L"hyperplanu?northogonal deunest stable parf.
En effet, sixappartient `au?n, alors
(f(x)|un) = (x|f(un)) = (x|λun) =λ(x|un) = 0, et doncf(x) appartient aussi `au?n. O\ ⎷??? ??\? ??\∫??????? ?? ??∫???????\f|u?n:u?n→u?n. Le produit scalaire surEinduit une structure d"espace euclidien suru?n, pour laquellef|u?nest un endomorphisme sym´etrique. D"apr`es l"hypoth`ese de r´ecurrence, il existe une base orthonormale (u1,...,un-1) deu?nform´ee de vecteurs propres de f|u?n. Alors (u1,...,un) est une base orthonormale deEform´ee de vecteurs En termes de matrices, le th´eor`eme se traduit ainsi :
Th´eor`eme 3.17
SoitMune matrice sym´etrique r´eelle de taillen. Alors il existe une matrice orthogonaleUtelle quetU M U=U-1M Usoit diagonale. On peut tirer quelques cons´equences de ce th´eor`eme. S?Mest une matrice sym´etrique. Il existe une matrice diagonaleDet une matrice orthogonaleUtelle queD=tU M U=U-1M U. La matriceD est congruente `aM, et doncDetMont mˆeme signature. La signature de Dest le couple form´e de son nombre de coefficients diagonaux strictement positifs et de son nombre de coefficients diagonaux strictement n´egatifs. Or les coefficients diagonaux deDsont les valeurs propres deM. Par cons´equent :
Corollaire 3.18
SoitMune matrice sym´etrique. La signature deMest ´egale au couple form´e du nombre de ses valeurs propres strictement positives
3.4. DIAGONALISATION DES ENDOMORPHISMES SYM
´ETRIQUES21
et du nombre de ses valeurs propres strictement n´egatives (valeurs propres compt´ees avec multiplicit´e). Exemple : Consid´erons la matrice sym´etrique de taillen >1 : M=0 B
BB@0 1...1
1 0 ...............1
1...1 01
C CCA. ClairementM+Inest de rang 1, donc-1 est valeur propre de multiplicit´e au moinsn-1. Comme la trace deMest nulle,-1 est valeur propre de multiplicit´e exactementn-1 et l"autre valeur propre deMestn-1. Donc la signature deMest ((1,n-1).
Corollaire 3.19
SoitEun espace euclidien etqune forme quadratique sur E. Alors il existe une base orthonormale deEqui est aussi orthogonale pour q. D????\∫??????\¬SoitEune base orthonormale deEetMla matrice deq dans la baseE. Il existe une matrice orthogonaleUtelle queD=tU M U soit diagonale. La matriceUest la matrice de passage `a une nouvelle base orthonormaleE?deE. La matrice deqdans la baseE?estD, et donc cettequotesdbs_dbs11.pdfusesText_17
Produits scalaires Espaces euclidiens