La distance du point A à la droite D est la plus courte distance du point A à un point de D 2°) Démonstration Nous allons démontrer que pour tout point M de D la distance AM est supérieure ou égale à AH A H D M 1er cas : A D 1er sous-cas : M H Dans ce cas, le triangle AMH existe bien et il est rectangle en H
La distance d’un point A à une droite (d) est la longueur du segment reliant le point A au pied de la perpendiculaire à (d) passant par ce même point A Exemple: Dans la figure, le point H est le pied de la perpendiculaire AH est la distance du point A à la droite (d)
Prouver alors, ce qui est tout à fait intuitif, que a est un point de la frontière de G (c'est à dire de l'ensemble o G −G) 2 Distance entre un compact et un fermé Étant données deux parties A et B d'un même espace vectoriel normé E, on définit la distance de A à B par : ( , ) inf ( , ), d A B d a b a∈A b∈B = a
Exercice 3 10 Distance d’un point à une droite, à un plan Soit, dans l’espace affine euclidien E de dimension 3, D une droite définie par un point A et un vecteur directeur ~u (resp P un plan défini par un point A et deux vecteurs directeurs ~u et ~v) Déterminer la distance d’un point M de E à D (resp P) en fonction des vecteurs
Propriété : La distance d’un point A à une droite (d) est la longueur du segment reliant le point A au pied de la perpendiculaire à (d) passant par ce même point A Remarque : Dans la figure ci-dessus, le point H est le pied de la perpendiculaire AH est la distance du point A à la droite (d) Exercices conseillés En devoir p135 n°18
Le point H est appelé projeté orthogonal du point A sur d si et seulement si H est un point de d et la droite (AH) est perpendiculaire à d b) Propriété : Soit A un point et soit d une droite passant par le point B, de vecteur directeuru et ne passant pas par A Le point H est le projeté orthogonal du point A sur d si et seulement si uet
Définition 2 6 Soient A un point et d une droite du plan On appelle projeté orthogonal H de A sur d le point d’intersection de d et de la perpendiculaire à d passant par A Remarque 2 1 Si A2d, alors H ˘ Définition 2 7 On appelle distance d’un point à une droite la plus petite distance entre ce point et un point de la droite
correspondant au point A Cette formule fait intervenir la distance zénithale Z observée au moment de la mesure et tient compte d'une correction dite niveau apparent qui correspond à la courbure du rayon lumineux et de la sphéricité de la terre
Il n’y a pas d’ordre dans les différences , mais il est préférable ( non obligatoire ) de commencer par le dernier point de l’écriture AB , c’est à dire par le point B Propriété : Dans le plan muni d’un repère, soient A et B deux points de coordonnées respectives ( x A; y A) et ( x B; y B) Nous avons :
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1 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr LONGUEURS Le Mètre : A l'origine, 1 mètre est défini comme la distance séparant le pole Nord de l'équateur divisée par 10 000 000. La tâche de mesurer ce quart de méridien est donnée à deux astronomes français : Jean-Baptiste Delambre et Pierre Méchain. La mesure se fera en toises. Exemples d'unités plus anciennes : le pouce, le pied, le empan (largeur main), la coudée (longueur coude-main), la toise (environ 4m), ... I. Le segment vient du latin " secare » = couper Vidéo https://youtu.be/tNSF1F3AMHo Activité conseillée p128 Activité 1 Myriade 6e - Bordas Éd.2016 1) Définition et notation - Une portion de droite limitée par deux points s'appelle un segment. - Ces points s'appellent les extrémités du segment. - Le segment ci-dessus se note : [AB] - Le segment [AB] mesure : 8,6 cm On écrit : AB = 8,6 cm (et non pas [AB] = 8,6 cm) 2) La demi-droite - Une portion de droite limitée d'un seul côté s'appelle une demi-droite. - La demi-droite ci-dessus se note : [Ax) mais aussi : [AB) A B A B x
2 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 3) Segments de même longueur Deux segments ont la même longueur lorsqu'on peut les superposer. Exemple du rectangle : 4) Milieu d'un segment B I A Le milieu I d'un segment [AB] se trouve sur le segment [AB], tel que les segments [AI] et [BI] aient la même longueur. Le milieu est à égale distance des extrémités du segment. Exercices conseillés En devoir p132 n°5 p133 n°11 p135 n°17, 19 p139 n°42 p141 n°52 p133 n°10 Myriade 6e - Bordas Éd.2016 II. Distance d'un point à une droite Vidéo https://youtu.be/tUzoATZrAmc Activité conseillée p129 Activité 4 Myriade 6e - Bordas Éd.2016 Définition : La distance d'un point à une droite est la longueur du plus petit segment reliant ce point à l'un des points de la droite. codage
3 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Propriété : La distance d'un point A à une droite (d) est la longueur du segment reliant le point A au pied de la perpendiculaire à (d) passant par ce même point A. Remarque : Dans la figure ci-dessus, le point H est le pied de la perpendiculaire. AH est la distance du point A à la droite (d). Exercices conseillés En devoir p135 n°18, 20 p140 n°51 p143 n°64 Myriade 6e - Bordas Éd.2016 III. Médiatrice d'un segment Activité de groupe : La .............. du segment http://www.maths-et-tiques.fr/telech/MEDIAT_DECOUV.pdf 1) Définition A B La médiatrice du segment [AB] est la droite PERPENDICULAIRE au segment [AB] et qui passe par le MILIEU de [AB]. Médiatrice du segment [AB]
4 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Découverte par Euclide au IIIe avant J.C., le mot est pourtant assez récent dans le langage des mathématiques. En 1923, une association de professeurs de mathématiques forment le mot en s'inspirant des mots " médiane » et " bissectrice ». " Media » désigne l'idée de milieu et " sectrice » celle de couper. 2) Construction d'une médiatrice Méthode : Construire une médiatrice à l'aide de l'équerre Vidéo https://youtu.be/aKy4obIcRCI 2 A B I 1 Programme de construction : 1 : Construire le milieu I du segment [AB]. 2 : Tracer la perpendiculaire à [AB] passant par I. Cette perpendiculaire est la médiatrice du segment [AB]. Exercices conseillés p170 n°3 p133 n°8 Myriade 6e - Bordas Éd.2016 3) Propriété de la médiatrice TP info : " Propriété d'équidistance de la médiatrice » : http://www.maths-et-tiques.fr/telech/Prop_mediat.pdf Propriété : Tous les points de la médiatrice d'un segment sont à égale distance des extrémités de ce segment. MA = MB NA = NB M N B A
5 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Exercices conseillés p171 n°7, 8 p177 n°41 p171 n°6 Myriade 6e - Bordas Éd.2016 4) Conséquence : Construction d'une médiatrice au compas Méthode : Construire une médiatrice à l'aide du compas Vidéo https://youtu.be/9CCbE3eMSqM I 1 : Garder le même rayon pour les 2 arcs de cercle. A B 2 : Garder le même rayon pour les 2 arcs de cercle. J Programme de construction : 1 : Construire deux arcs de cercle de même rayon et de centres A et B. Les arcs de cercle de coupent en un point I. 2 : De l'autre côté du segment [AB], construire deux arcs de cercle de même rayon et de centres A et B. Les arcs de cercle de coupent en un point J. La médiatrice de [AB] est la droite (IJ). Exercices conseillés p170 n°2 p17 n°5, 9 Myriade 6e - Bordas Éd.2016 Activité ordinateur p182 Activité 1 Myriade 6e - Bordas Éd.2016 Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur. www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
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Distance d’un point à une droite