Anneaux principaux et factoriels - Claude Bernard University
Z 1xi 1 donc est un groupe abélien libre de type ni M Proposition 2 Un anneau Ad'entiers algébriques qui est factoriel est principal O Soit P un idéal premier non nul de A; pour x2Pnf0gon a p Q;x = xr + c r 1Xr 1 + + c 1x+ c 0 2Z[X] avec c 0 6= 0 Puisque p Q;x(x) = 0 on a c 0 2P de sorte que P\Z est un idéal premier non nul de Z
111: Anneaux principaux Applications - CEREMADE
Théorème 7 outT anneau principal est factoriel Réciproque fausse Exemple 16 Z[X] est non principal (déjà vu) mais est factoriel (par le théorème de tanrsfert de Gauss) Par contre, on peut montrer les résultats plus ns suivants Proposition 8 outT anneau intègre noethérien, tout élément admet une déompcosition en irré-ductibles
TD6 : Anneaux euclidiens, principaux et afctoriels
4 Si Aest factoriel, alors tout idéal premier non nul est maximal 5 Le quotient d'un anneau factoriel par un idéal premier est factoriel 6 Si Aest un anneau factoriel et aet bsont des éléments non nuls de A, on a (a;b) = (a^b) 7 Si Aest un anneau factoriel et aet bsont des éléments non nuls de A, on a (a)\(b) = (a_b) 8
Anneaux principaux
Remarque : dans un anneau de Dedekind, principal est ¶equivalent µa factoriel; par contre principal n’implique pas euclidien comme le montre l’exemple de OK pour K = Q[i p 19] d) Retour sur la factorialit¶e : nous avons vu que dans un anneau de Dedekind la factorialit¶e
Cours Algèbre 2 – IV: Anneaux principaux, euclidiens, factoriels
Soit A un anneau commutatif intègre et soient a, b ∈A On dit que a divise b (ou que a est un diviseur de b, ou que b est un multiple de a) dans A, s’il existe q ∈A tel que b =aq Remarque 1 2 Un élément inversible u ∈A divise tout élément b ∈A Définition 1 3 Soit a, b ∈A On dit que a et b sont associés s’il existe un
Anneaux d’entiers des corps quadratiques imaginaires
2) R eciproquement, si l’anneau est factoriel et si pest irr eductible, l’id eal (p) est premier 2) Inversement, si pour tout pirr eductible, l’id eal (p) est premier, l’an-neau v eri e l’unicit e de la d ecomposition en irr eductibles Si de plus il est noeth erien, il est factoriel 1 9 Remarque
Anneauxetpolynˆomes - Université Paris-Saclay
D´efinition 1 9 Un anneau commutatif A est dit principal s’il est int`egre et si tous ses id´eaux sont de la forme (a) = aA avec a ∈ A Par exemple Z et K[X] (quand K est un corps) sont principaux D´efinition 1 10 Un id´eal I de A est dit premier si A/I est int`egre De
1 Q Z[︁ ]︁ ̸≡ Z Q
Comme tout anneau euclidien est principal et tout anneau principal est factoriel, doncZ
Feuille d’exercices n 13 : Anneaux
(b) J = (a) est un idéal maximal parmi les idéaux propres principaux ⇐⇒aest un élément irréductible (c)Qu’est-cequirestevraisiAn’estpasintègre? Indication : on pourra chercher des contre-exemples dans Z/6Z 3 En déduire qu’un anneau est intègre (resp un corps) si, et seulement si, 0 est premier (resp maximal) Exercice 3
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