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MATEMÁTICAS

FINANCIERASSEXTA EDICIÓN

HÉCTOR MANUEL VIDAURRI AGUIRRE

MATEMÁTICAS

FINANCIERAS

SEXTA EDICIÓN

Héctor Manuel Vidaurri Aguirre

Revisión técnica

Irma Damián González, CPC y MA

Profesora Asociada

Departamento de Contabilidad y Negocios

Internacionales

Tecnológico de Monterrey, Campus Toluca

MATEMÁTICAS

FINANCIERAS

SEXTA EDICIÓN

© D.R. 2017 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc.

Corporativo Santa Fe

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de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

Datos para catalogación bibliográ“ca:

Héctor Manuel Vidaurri Aguirre

Matemáticas “nancieras, Sexta edición

ISBN:

978-607-526-284-0

Visite nuestro sitio en:

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Impreso en México

1 2 3 4 5 6 7 19 18 17 16

Matemáticas “nancieras, Sexta edición

Héctor Manuel Vidaurri Aguirre

Director Editorial para Latinoamérica

Ricardo H. Rodríguez

Editora de Adquisiciones para Latinoamérica

Claudia C. Garay Castro

Gerente de Manufactura para Latinoamérica

Antonio Mateos Martínez

Gerente Editorial de Contenidos en Español

Pilar Hernández Santamarina

Gerente de Proyectos Especiales

Luciana Rabuetti

Coordinador de Manufactura

Rafael Pérez González

Editora

Cinthia Chávez Ceballos

Diseño de portada

Armando Vidaurri Chávez

Imagen de portada

© hidesy | Shutterstock

Composición tipográ“ca

Humberto Núñez Ramos

Este libro está dedicado, con mucho cariño,

para mi esposa y mis hijos.

Acerca del autor

Héctor Manuel Vidaurri Aguirre estudió ingeniería química en la Universidad de Guadalajara. Ejerció durante un tiempo en la iniciativa privada, pero la mayor parte de su vida profesional ha transcurrido como profesor universitario. Desde enero de 1993 es profesor del Departamento de Matemáticas y Física del Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Occidente (), la universidad jesuita en Guadalajara, Jalisco. También es profesor en el Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Guadalajara. Fue instructor externo en el área de matemáticas nancieras del Instituto Sern, dependiente del Banco Sern (actualmente Banco Santander), y es autor de una serie de artículos sobre matemáticas nancieras aplicadas a diversos aspectos de la vida cotidiana publicados por el periódico Mural . Asimismo, ha impartido cursos sobre la aplicación de las matemáticas nancieras en diversas escuelas de capacitación. ivAcerca del autor

Contenido v

Contenido

Prefacio ................................................................... xiii C 1 Preliminares ........................................................... 1

1.1 La calculadora y las operaciones aritméticas ............................ 2

Reglas de prioridad de las operaciones .............................................. 3

1.2 Notación cientíca ........................................................................

. 11

Transformación de notación ordinaria

a notación cientíca ............................................................... 11

Transformación de notación cientíca a notación ordinaria .............................................................. 13

1.3 Logaritmos ........................................................................

.............. 16 Tema especial: La regla de cálculo ............................................. 18

1.4 Sistemas de logaritmos ................................................................. 23

Sistema de logaritmos decimales ........................................... 23 Sistema de logaritmos naturales ............................................ 25

1.5 Aplicaciones de los logaritmos ..................................................... 28

Examen del capítulo ...................................................................... 35 C 2 Porcentaje y sus aplicaciones ............................... 37

2.1 Porcentaje ........................................................................

............... 38

2.2 Utilidad sobre el costo y sobre el precio de venta ...................... 47

2.3 Descuento comercial ..................................................................... 53

Examen del capítulo ...................................................................... 57 C 3 Variación proporcional .......................................... 59

3.1 Variación proporcional directa ..................................................... 60

3.2 Variación proporcional inversa .................................................... 68

3.3 Variación proporcional mixta ....................................................... 72

Tema especial:

El reparto de utilidades ..................................... 76 Examen del capítulo ...................................................................... 84 viMatemáticas nancieras C 4 Sucesiones y series ................................................ 85

4.1 Introducción ........................................................................

........... 86

4.2 Sucesiones y series aritméticas ................................................... 92

Tema especial: Gauss y las sucesiones ...................................... 96

4.3 Sucesiones y series geométricas .................................................. 101

Tema especial: Leyenda sobre el tablero de ajedrez ................. 106 Examen del capítulo ...................................................................... 113 C 5 Interés simple y descuento simple ...................... 115

5.1 Introducción ........................................................................

........... 116 Tema especial: Poderoso caballero: Don Dinero ....................... 117

5.2 Interés simple ........................................................................

........ 118 Tema especial: El interés y la usura ........................................... 125

5.3 Valor presente y valor del dinero en el tiempo .......................... 128

Tema especial: Las casas de empeño ......................................... 137 Tema especial: Tarjeta de débito ................................................ 144 Tema especial: Tarjeta de crédito ............................................... 148 Tema especial: Pago mínimo en tarjeta de crédito ................... 153

5.4 Descuento simple ........................................................................

.. 159 Tema especial: Mercado de dinero: cetes .................................. 169 Tema especial: Factoraje nanciero ........................................... 174 Examen del capítulo ...................................................................... 179 C 6 Interés compuesto e inación ............................... 181

6.1 Interés compuesto ........................................................................

. 182 Tema especial: El anatocismo ..................................................... 195

6.2 Interés compuesto con períodos de capitalización

fraccionarios ........................................................................ ........... 215

6.3 Tasas de interés equivalente, nominal y efectiva ...................... 218

Tema especial: Costo anual total () ...................................... 223

Tema especial: Ganancia anual total (

) ............................... 224

6.4 Ecuaciones de valor ....................................................................... 230

6.5 Interés compuesto a capitalización continua ............................ 245

6.6 Inación ........................................................................

.................. 252 Examen del capítulo ...................................................................... 274

C 7 Anualidades vencidas, anticipadas

y diferidas ............................................................... 279

7.1 Introducción ........................................................................

........... 280

7.2 Anualidades vencidas ................................................................... 282

Tema especial: Anualidades vencidas y capitalización continua ..................................................................... ..................... 312

7.3 Anualidades anticipadas .............................................................. 315

Tema especial: El costo de retrasar el ahorro en un plan de retiro........................................................................ ................... 326

7.4 Anualidades diferidas ................................................................... 335

Examen del capítulo ...................................................................... 346

Contenido vii

C 8 Amortización y fondos de amortización .............. 349

8.1 Amortización de deudas ............................................................... 350

Amortización con interés global ........................................................ 350

8.2 Amortización constante...............................................................

. 352

8.3 Amortización gradual ................................................................... 363

Tema especial: ¿Es cierto que le venden sin intereses? ........... 376 Tema especial: Unidades de Inversión ....................................... 377

8.4 Fondos de amortización ................................................................ 382

Examen del capítulo ...................................................................... 390 C 9 Otras anualidades .................................................. 393

9.1 Anualidades generales .................................................................. 394

9.2 Rentas perpetuas ........................................................................

... 399

9.3 Anualidades variables y gradientes aritmético y geométrico ... 406

Gradiente aritmético ....................................................................... .. 409 Gradiente geométrico ....................................................................... . 414 Tema especial: Las afores ............................................................ 427 Examen del capítulo ...................................................................... 442 C 10 Bonos y obligaciones ............................................. 445

10.1 Introducción ........................................................................

........... 446

10.2 Valor presente de los bonos .......................................................... 449

10.3 Precio entre fechas de pago de cupones ..................................... 459

10.4 Cálculo de la tasa de rendimiento ............................................... 465

Tema especial: Los bonos en México .......................................... 469 Examen del capítulo ...................................................................... 473 C 11 Depreciación ........................................................... 475

11.1 Introducción ........................................................................

........... 476

11.2 Método de línea recta .................................................................... 477

11.3 Método de la suma de dígitos ....................................................... 487

11.4 Método del porcentaje jo ............................................................ 489

11.5 Método del fondo de amortización .............................................. 492

Examen del capítulo ...................................................................... 496 Respuestas a los ejercicios .................................... 497 Formulario .............................................................. 533 ixPrefacio Actualmente los servicios nancieros se han convertido en parte fundamental de nuestra vida. Por ejemplo, el sueldo que recibimos por nuestro trabajo lo manejamos a través de una tarjeta de débito, ahorramos o invertimos dinero en diversos instru- mentos bancarios o de bolsa de valores y el uso del crédito nos permite tener acceso a un conjunto de bienes que de otra forma sería difícil adquirir, como una casa o un automóvil. Por lo anterior, las Matemáticas Financieras se han convertido en una disciplina fundamental tanto a nivel personal como profesional, ya que proporcionan conceptos y herramientas necesarios para entender y manejar el valor del dinero en el tiempo, y con ello comprender los aspectos nancieros y comerciales del mundo moderno. Las Matemáticas Financieras, llamadas también Matemáticas de las Operaciones

Financieras

, son una parte de las Matemáticas Aplicadas que estudia los modelos ma- temáticos relacionados con los cambios cuantitativos que se producen en sumas de dinero llamadas capitales. Sobre los inicios de las matemáticas nancieras no se sabe gran cosa; simplemente que han existido desde tiempo inmemorial. La aritmética co- mercial estaba bien desarrollada para el 1500 a.C., y al parecer las matemáticas nan- cieras se desarrollaron como un complemento a las transacciones comerciales. Sin embargo, no se conoce quién ni cuándo introdujo los conceptos fundamentales en los que se basa. Así, por ejemplo, del concepto de interés sólo sabemos que surgió cuando una persona se dio cuenta de que si alguien le debía dinero, entonces debía recibir una compensación por el tiempo que el deudor tardara en cancelar la deuda. La importancia de las matemáticas nancieras radica en su aplicación en las ope- raciones bancarias y bursátiles, en temas económicos y en muchas áreas de las nan- zas, ya que favorecen una adecuada toma de decisiones en estos campos. Asimismo, son la base de casi todo análisis de proyectos de inversión, ya que siempre es necesario considerar el efecto del interés que opera en las cantidades de efectivo con el paso del tiempo. Este libro es útil para estudiantes de preparatoria y licenciatura en las áreas de Finanzas, Ingeniería Financiera, Economía, Contabilidad, Banca, Administración de Em- presas y Actuaría, y como auxiliar en los cursos de Ingeniería Económica y Evaluación de Proyectos de Inversión, ya que proporciona los conceptos básicos utilizados en estos campos. Asimismo, es útil como referencia para estudiantes de maestría en las áreas mencionadas. El libro también puede utilizarse para estudio individual por toda persona intere- sada en los fundamentos de las Matemáticas Financieras, como empresarios, banque- ros y profesionistas que deseen aprender o repasar estos temas tan importantes en nuestra economía globalizada.

Prefacio

No estimes el dinero en más ni en menos de lo que vale, porque es un buen siervo y un mal amo. A D (1802 1870)

Escritor francés

xMatemáticas nancieras

Características de la sexta edición

En esta sexta edición, además de una revisión completa de todo el libro, se han reali- zado cambios como los que se mencionan a continuación: rLos porcentajes y sus aplicaciones se estudian en un capítulo dedicado exclusiva- mente a este tema. rEl tema de la amortización de deudas se unicó en un solo capítulo.

rSe escribieron nuevas secciones y se reescribieron otras. También se actualizaron diversas secciones, ejemplos y ejercicios. Asimismo, se eliminaron algunos temas que resultaban obsoletos.

rUna característica fundamental de esta obra, desde su primera edición, es que un amplio porcentaje de los ejemplos y ejercicios propuestos en este libro se basan en datos reales obtenidos a partir de revistas, periódicos e Internet.

rSe revisaron y actualizaron todos los temas especiales. rSe revisaron y actualizaron todas las referencias de sitios de Internet que comple-mentan el texto.

rLa mayoría de las fórmulas utilizadas en el texto van acompañadas de su demos-tración. Esto tiene como objetivo que los lectores entiendan el fundamento y al-cance de las fórmulas, además de evitar que las perciban como algo que aparece por arte de magia.

rAl nal del libro se dan las soluciones de todos los ejercicios propuestos.

rAl nal del libro se encuentra un formulario con todas las fórmulas que aparecen en el libro. Este formulario puede ser desprendido para facilitar su uso por parte de los lectores.

rEste libro contiene más material del que usualmente se cubre en un curso típico de Matemáticas Financieras. De esta forma es posible satisfacer las diferentes ne-cesidades de los diversos planes de estudio.

Recursos para el profesor

La obra cuenta con material adicional en línea. Ingrese a www.cengage.com y busque el libro por el ISBN. xiAgradecimientos En primer lugar, mi agradecimiento, de todo corazón, a los profesores que a lo largo de las cinco ediciones anteriores han utilizado este libro como texto en sus cursos.

Muchas gracias a:

rClaudia Garay, por el respaldo que siempre ha dado a mis proyectos. rFederico Ramírez y Víctor Sánchez, por su valiosa amistad. rCinthia Chávez, editora de este libro, por llevar a cabo un trabajo tan maravilloso. rMaestra Irma Elia Damián, por su gran trabajo de revisión técnica. rTodas las personas del área de promoción y ventas de Editorial Cengage. rTodas las personas de Cengage Learning involucradas en la realización de este libro.

Agradecimientos

Capítulo

1

Preliminares

Objetivos

Con la reducción del trabajo de varios meses de cálculo a unos pocos días, el invento de los logaritmos parece haber duplicado la vida de los astrónomos. P-S L (1749 1827)

Matemático y físico francés

Al nalizar este capítulo, el lector será capaz de: rutilizar las reglas de prioridad de las operaciones aritméticas, rconocer los aspectos básicos de la calculadora, rentender y utilizar la notación cientíca, rentender el concepto y el uso de los logaritmos, y rformular y resolver problemas aplicando las leyes de los logaritmos.

2Matemáticas nancieras

Una calculadoraes un dispositivo capaz de realizar operaciones matemáticas. La pri- mera calculadora de la que se tiene noticia fue el ábaco. En 1622, basándose para ello en las escalas logarítmicas creadas por Edmund Gunter, William Oughtred inventó la regla de cálculo , la cual se mantuvo en uso por parte de cientícos e ingenieros hasta la llegada de las calculadoras electrónicas. Posteriormente aparecen los primeros dis- positivos mecánicos capaces de realizar las operaciones aritméticas de suma y resta, como la calculadora diseñada por el matemático alemán Wilhelm Schickard en 1623, y la

Pascalina

, inventada por Blaise Pascal en 1642. En 1694, el matemático y lósofo alemán Gottfried Wilhelm Leibniz presenta una máquina inventada por él que, ade- más de sumar y restar, realizaba multiplicaciones y divisiones. La primera calculadora electrónica funcional que utilizaba transistores fue di- señada por en 1954, pero era enorme y muy cara. La invención de los circuitos integrados y del diodo emisor de luz () permitió la aparición de las calculadoras electrónicas de bolsillo aproximadamente hacia 1972, aunque tenían grandes limita- ciones en cuanto a las operaciones que podían efectuar. Posteriormente, los avances logrados en el desarrollo de los chips, junto con la invención de la pantalla de cristal líquido (), la cual sustituyó a los , permitieron que las calculadoras electrónicas evolucionaran, convirtiéndose en una poderosa herramienta de cálculo. De entonces a la fecha, la calculadora se ha convertido, junto con la computado- ra, en una herramienta básica de las actividades laborales, académicas y de la vida cotidiana. El uso normal de una calculadora es como una útil herramienta empleada para la resolución de tediosos cálculos aritméticos. Asimismo, puede utilizarse para comprender mejor ciertos conceptos matemáticos y desarrollar cierta habilidad ma- temática. Sin embargo, la calculadora no podrá ser utilizada como un sustituto del razonamiento ni para interpretar resultados. Estas actividades continúan siendo ex- clusivas del ser humano. En este capítulo se verán algunos aspectos básicos sobre el empleo de las calcula- doras en general; sin embargo, no se pretende reproducir un manual de instrucciones. El lector debe estudiar el manual del usuario de su calculadora. Las calculadoras electrónicas se clasican en cuatro tipos: rbásicas, rcientícas, rnancieras, y rgracadoras. La calculadora básica, llamada también estándar, es aquella que permite obtener únicamente sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Pueden efectuar cálculos de porcentajes y de raíces cuadradas, cuentan con una memoria volátil y algunas inclu- yen la tecla de cambio de signo. La calculadora cientíca posee las mismas funciones que la básica, pero también puede llevar a cabo el cálculo de funciones logarítmicas, exponenciales, trigonométri- cas, estadísticas, etc. Cuenta con al menos una memoria no volátil y existen modelos programables. La calculadora nanciera posee varias características de la cientíca. Además, está programada para llevar a cabo la resolución de problemas de interés compuesto, anualidades, amortizaciones, etcétera. La calculadora gracadora cuenta con todas las características de una calculadora cientíca avanzada, puede ser programada y tiene una pantalla rectangular que per- mite la representación gráca de funciones en dos y tres dimensiones. Algunas están

programadas para llevar a cabo la resolución de problemas nancieros.Nadie sabe quién inventó el

ábaco; sólo se sabe que los

primeros modelos aparecie- ron en Mesopotamia, alre- dedor de tres mil años antes de Cristo. Todavía se usa en la actualidad. 1.1

La calculadora y las operaciones aritméticas

Para saber másquotesdbs_dbs7.pdfusesText_13