Unité C Identités trigonométriques
• définir une équation et une identité trigonométrique Une fonction trigonométrique est par définition une équation qui comprend au moins une fonction trigonométrique d'une variable On appelle ces équations des identités trigonométriques si l'équation est vérifiée quelle que soit la valeur des variables dans les deux membres
Quelques identités trigonométriques fondamentales
Centre d’aide en mathématiques 20 août 2005 Collège Ahuntsic Quelques identités trigonométriques fondamentales 1 sin2A + cos2A = 1 2 En divisant chacun des membres de l’identité 1 par cos2A, on obtien
Identités trigonométriques
Identités trigonométriques Sylvain Lacroix 2005-2011 Page 1 www sylvainlacroix ca Démonstration d’identité trigonométrique Il suffit de transformer le membre de gauche de l’égalité pour obtenir l’équivalent du membre de droite
Trigonom´etrie: quelques identit´es trigonom´etriques A
Trigonom´etrie: quelques identit´es trigonom´etriques A partir des fonctions trigonom´etriques primaires nous po` uvons contruire plusieurs equa- tions compos´ees de fonctions trigonom´etriques
Deuxième identité de base
Première identité de base Avec Pythagore sin 2t + cos 2t = 1 Deuxième identité de base sin 2t + cos 2t = 1 (Divisons les deux côtés de l’égalité par cos 2t) t t t t t 2 2 2 2 2 cos 1 cos cos cos sin + = tan 2t + 1 = sec2t Démonstration : mOC mOA mOG mOF = t t x mOC mOAxmOG mOF sec cos 1 1 = = =
Formulaire de trigonométrie circulaire
Formulaire de trigonométrie circulaire A 1 B x M H K cos(x) sin(x) tan(x) cotan(x) cos(x) = abscisse de M sin(x) = ordonnée de M tan(x) = AH cotan(x) = BK
TRIGONOMÉTRIE : FORMULAIRE - Recherche
Une lecture efficace du cercle trigonométrique permet de retrouver les relations suivantes : Relations entre cos, sin et tan cos2(x) + sin2(x) = 1 1 + tan2(x) = 2 1
EXERCICES DE TRIGONOMÉTRIE
Exercices Trigonométrie 11 ème Page 4 sur 4 Adama Traoré Professeur Lycée Technique EXERCICE 9 : Démontrer les identités suivantes 1°) (sin x+cos x)2 =1+2sin xcos x; 2°) sin 4 x +cos 4 x =1−2sin 2 xcos 2 x;
Dérivée des fonctions trigonométriques
En utilisant le théorème de Pythagore dans le cercle trigonométrique, on obtient l’importante identité trigonométrique suivante : Proposition 9 1 cos2( )+sin2( ) = 1: Note 9 2 On utilise ici une convention de notation très répandue : pour simplifier un peu l’écriture, on écrit sin 2(x) au lieu de sin(x) 2 et cos (x) au lieu de
Livret de formules pour le cours de mathématiques NM
Tables des matières Acquis préliminaires 2 Thèmes 3 Thème 1 − Algèbre 3 Thème 2 − Fonctions et équations 4
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Unité C
Identités trigonométriques
C-3 MATHÉMATIQUESPRÉ-CALCULSECONDAIRE4• Identités trigonométriquesDans l'unité qui suit, les élèves :
• examinent le graphique d'identités trigonométriques et les analysent; • vérifient les identités trigonométriques algébriquement, en utilisant les identités trigonométriques de base; • utilisent les identités relatives à la somme, à la différence et au double d'un angle pour le sinus, le cosinus et la tangente pour vérifier et simplifier des expressions trigonométriques.Méthodes pédagogiques
Les enseignants devraient mettre en oeuvre les méthodes pédagogiques proposées ici pour favoriser l'apprentissage des élèves et leur permettre notamment : • d'analyser les identités graphiquement, si c'est approprié; • d'utiliser diverses techniques algébriques pour vérifier des identités; • d'intégrer les identités de base pour résoudre des équations trigonométriques; • d'effectuer des activités d'enseignement différencié appropriées.Exercice d'algèbre
À l'aide de questions brèves et simples qui feront appel à un " calcul mental », les enseignants pourront réviser les concepts de l'algèbre tels que (voir l'annexe C-1) : • la décomposition en facteurs de trinômes; la différence des carrés; les facteurs communs; • les fractions complexes.Matériel
• outils graphiquesDurée
• 12 heuresIDENTITÉS TRIGONOMÉTRIQUES
Résultat d'apprentissage
généralRésoudre des équations
exponentielles, logarithmiques et trigonométriques et des identitésRésultat(s) d'apprentissage
spécifique(s)C-1 analyser des identités
trigonométriques graphiquement et les vérifier algébriquement C-4 • définir une équation et une identité trigonométrique Une fonction trigonométriqueest par définition une équation qui comprend au moins une fonction trigonométrique d'une variable. On appelle ces équations des identités trigonométriquessi l'équation est vérifiée quelle que soit la valeur des variables dans les deux membres. Si l'équation n'est pas une identité, elle est appelée équation conditionnelle. • examiner et analyser les graphiques des équations ou des identitésExemple 1
Trace le graphique de y= sin xet de y= sin (x+ θ).Solution
y= sin x y= sin (x+ θ) Ces graphiques permettent de constater que sin xαsin (x+ θ).Ce n'est pas une identité.
- suite xy xy MATHÉMATIQUESPRÉ-CALCULSECONDAIRE4• Identités trigonométriquesRÉSULTATS D'APPRENTISSAGE
PRESCRITS
STRATÉGIES PÉDAGOGIQUES
On trouve à la fin de cette unité des activités d'apprentissage à l'appui de l'enseignement différencié (voir les annexes C-2 àC-7, p. C-42 à C-47).
CommunicationsQRésolution
LiensQRaisonnement
Estimation etQ=Technologie
Calcul Mental Visualisation
Ressources imprimées
Mathématiques pré-calcul
Secondaire 4 : Exercices
cumulatifs et réponses.Supplément au document de
mise en oeuvre, Winnipeg,Man., Éducation et Formation
professionnelle Manitoba, 2000.Mathématiques pré-calcul
Secondaire 4 : Solutions des
exercices cumulatifs.Supplément au document de
mise en oeuvre, Winnipeg,Man., Éducation et Formation
professionnelle Manitoba, 2000.Mathématiques pré-calcul
Secondaire 4 : Cours destiné à
l'enseignement à distance,Winnipeg, Man., Éducation et
Formation professionnelle
Manitoba, 2001.
C-5Calcul mental
Simplifie :
cos a)π tan β sin β b) sin 2β- cos
2 sin β c) sin 2 MATHÉMATIQUESPRÉ-CALCULSECONDAIRE4• Identités trigonométriques NOTESSTRATÉGIES D'ÉVALUATION
C-1 analyser des identités
trigonométriques graphiquement et les vérifier algébriquement - suite C-6 • examiner et analyser les graphiques des équations ou des identités (suite)Exemple 2
Sur le même système d'axes, trace le graphique de y= sin 2xet de y= 2 sin x.Solution
y= sin 2x y= 2 sin x Les graphiques permettent de constater que l'équation n'est pas vérifiée pour toutes les valeurs : ce ne sont pas des identités. Remarque :La méthode des graphiques ne permet pas de démontrer (vérifier) une identité. xy xy MATHÉMATIQUESPRÉ-CALCULSECONDAIRE4• Identités trigonométriquesRÉSULTATS D'APPRENTISSAGE
PRESCRITS
STRATÉGIES PÉDAGOGIQUES
CommunicationsQRésolution
LiensQRaisonnement
Estimation etQ=Technologie
Calcul Mental Visualisation
Ressource imprimée
Mathématiques pré-calcul
Secondaire 4 : Cours destiné à
l'enseignement à distance,Winnipeg, Man., Éducation et
Formation professionnelle
Manitoba, 2001.
- Module 3, Leçons 1 et 2 C-7 MATHÉMATIQUESPRÉ-CALCULSECONDAIRE4• Identités trigonométriques NOTESSTRATÉGIES D'ÉVALUATION
C-1 analyser des identités
trigonométriques graphiquement et les vérifier algébriquement - suite C-8 • énoncer les huit identités trigonométriques de baseIdentités inverses
1 sin xcsc x= tan x= sin xcos x
1 cos xsec x= cot x= cos xsin x
1cot x= tan x
Identités de Pythagore
cos 2 x+ sin 2 x= 1Variations : cos
2 x= 1 - sin 2 x sin 2 x= 1 - cos 2 x •utiliser des identités pour trouver des autres fonctions circulaires Les identités de base peuvent remplacer la méthode du cercle unitaire ou du triangle rectangle pour trouver des autres fonctions circulaires.Exemple
Trouve cos xsi cot x= 2 et sin x< 0.
Solution
cot 2 x+ 1 = csc 2 x 2 2 + 1 = csc 2 x5 = csc
2 x = csc 2 xÉtant donné que sin x< 0, alors csc x= - et
-1 -sin x= ou . 5 - suite 5 5 5 cos 2 x+ sin 2 x= 1 cos cossin cos cos 2 2222
1x xx xx+= cos sinsin sin sin 2 22
22
1x xx xx+= 1 22
+=tan secxx cot csc 22
1xx+= (division par cos 2 x)(division par sin 2 x) MATHÉMATIQUESPRÉ-CALCULSECONDAIRE4• Identités trigonométriques
RÉSULTATS D'APPRENTISSAGE
PRESCRITS
STRATÉGIES PÉDAGOGIQUES
5CommunicationsQRésolution
LiensQRaisonnement
Estimation etQ=Technologie
Calcul Mental Visualisation
C-9Problème
-5Si tan β= et cos β> 0, trouve la valeur exacte de sin β.13 MATHÉMATIQUESPRÉ-CALCULSECONDAIRE4• Identités trigonométriques NOTESSTRATÉGIES D'ÉVALUATION
C-1 analyser des identités
trigonométriques graphiquement et les vérifier algébriquement - suite C-10 • utiliser des identités pour trouver des autres fonctions circulaires (suite)Exemple - suite
Solution - suite
Ainsi, cot x= 2
cos x= 2sin x cos x= 2 sin x • utiliser des identités pour simplifier des fonctions trigonométriquesExemple
Simplifie le plus possible l'expression suivante : sin x+ cos 2 xcsc x csc xSolution
sin x+ cos 2 xπcsc xsin xcos 2 xcsc x= +csc xcsc xcsc x sin x= + cos 2 x1 sin x = sin 2 x+ cos 2 x = 1 125225
cos ou 55x- MATHÉMATIQUESPRÉ-CALCULSECONDAIRE4• Identités trigonométriques