Les identités remarquables – Résumé
On a à faire à la 2ème identité remarquable (2ème terme négatif) 1 16 x4− 1 3 x2+ 4 9 = 1 4 x2− 2 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 2 1 16 x4est le carré de 1 4 x2 4 9 est le carré de 2 3 On vérifie le terme du milieu qui est 2⋅ 1 4 x2⋅ 2 3, donc 1 3 x2 On a à faire à la 2ème identité remarquable (2ème terme négatif)
Chapitre 2 Identités remarquables - Math93
En déduire une relation algébrique que nous nommerons 1ère identité remarquable 1b) Activité 2 : Développez en utilisant la double distributivité Forme développée Forme développée et réduite
Identités remarquables
Il s'agit de la troisième identité remarquable, que l'on retrouve facilement en effectuant un simple développement (a + b)(a - b) = a² - ab + ab - b² = a² - b² La troisième identité peut aussi être lue : a² - b² = (a + b)(a – b) Elle fournit ainsi une formule de factorisation de la différence de deux carrés
IDENTITES REMARQUABLES 3 - Les cours cest du gateau
Exercice n°4 : Calculer mentalement en utilisant une identité remarquable A = 492 B = 522 C = 47 53 D = 1042 – 962 Exercice n°5 : On considère l’expression : E = (x – 1)(x – 2) – (x – 3)² 1) Développer et réduire E 2) Comment peut-on en déduire, sans calculatrice, le résultat de : 999 998 – 997²
IDENTITES REMARQUABLES ( ) - Free
a) L'expression proposée est la deuxième identité remarquable avec a x= et b =5 On a donc : x x x2 2− + = −10 25 ( 5) b) L'expression proposée est la première identité remarquable avec a x=3 et b =1 On a donc : 9 6 1 (3 1)x x x2 2+ + = + c) L'expression proposée est la troisième identité remarquable avec a x=4 et b =7
Identités remarquables - ac-aix-marseillefr
o Établir l’identité remarquable sur la différence de deux carrés o Conjecturer – Argumenter – Expérimenter – Démontrer Fiche élève étude géométrique Fiche élève carré d’entiers consécutifs Synthèse identités remarquables Exercices
CHAPITRE 5 - piger-lesmathsfr
identité remarquable peut représenter une difficulté qui doit être prise en compte Les travauxs’articulerontsurdeuxaxes: – utilisation d’expressions littérales pour descalculs numériques; – utilisation du calcul littéral dans la mise en équation et la résolution de pro-blèmes Les activités viseront à assurer la maîtrise
1- Propriétés a) Distributivité simple
Chapitre 9 – Calcul littéral – Identités Remarquables 1- Propriétés a) Distributivité simple Pour tout nombre a, b, k: k ( a + b) = k a + k b b) Distributivité double
Chapitre 10 – Identités remarquables et les équations sous la
Dans ce cas, il faut remarquer une identité remarquable et s’en servir dans le sens « expression développée » vers « expression factorisée » 4 2+12 +9=(2 +3)² Autres cas de figure remarquables : 25 ²−10 + ²=(5 − )² et aussi : 100 ²−1=100 ²−1²=(100 −1)(100 +1)
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Chapitre 9 - Calcul littéral - Identités Remarquables
1- Propriétés
a) Distributivité simple Pour tout nombre a, b, k : k ( a + b ) = k a + k b b) Distributivité double Pour tout nombre a, b, c, d : ( a + b ) ( c + d ) = a c + a d + b c + b d c) Identités Remarquables * Carré d'une somme Pour tout nombre a, b : ( a + b )² = a² + 2 a b + b²Autrement dit : le carré de la somme de deux nombres égale la somme de leurs carrés augmentée du double
produit de ces deux nombres.Démonstration
( a + b )² = ( a + b ) ( a + b ) = a² + a b + b a + b² = a² + 2 a b + b² CQFD !
* Carré d'une différence Pour tout nombre a, b : ( a - b )² = a² - 2 a b + b²Autrement dit : le carré de la différence de deux nombres égale la somme de leurs carrés diminuée du double
produit de ces deux nombres.Démonstration
( a - b )² = ( a - b ) ( a - b ) = a² - a b - b a + b² = a² - 2 a b + b² CQFD !
* Produit des expressions " conjuguées » Pour tout nombre a, b : ( a + b ) ( a - b ) = a² - b²Autrement dit : le produit de la somme de deux nombres et de leur différence égale la différence de leurs
carrés.Démonstration
( a + b ) ( a - b ) = a² - a b + b a - b² = a² - b² CQFD !2- Factorisation d'une expression
Factoriser une expression, c'est l'écrire sous la forme d'un produit. a) On connaît un facteur commun Dans ce cas, on utilise la propriété : k a + k b = k ( a + b ).Exemples
* A(x) = 4x - 8 * B(x) = 3x - 3 A(x) = 4 x - 4 ´ 2 B(x) = 3 x - 3 ´ 1A ( x ) = 4 ( x - 2 ) B ( x ) = 3 ( x - 1 )
* C(x) = ( 5x - 4 )² - ( 3x + 2 )( 5x - 4 ) C(x) = ( 5x - 4 )( 5x - 4 ) - ( 3x + 2 )( 5x - 4 )C(x) = ( 5x - 4 ) ( ( 5x - 4 ) - ( 3x + 2 ) )
C(x) = ( 5x - 4 ) ( 5x - 4 - 3x - 2 )
C ( x ) = ( 5 x - 4 ) ( 2 x - 6 )
b) On reconnaît une identité remarquable On utilise alors une des propriétés : a² + 2 a b + b² = ( a + b )² a² - 2 a b + b² = ( a - b )² a² - b² = ( a + b ) ( a - b )Exemples
* A(x) = 25x² + 40x + 16 * B(x) = 9x² - 4A(x) = (5x)² + 2 (5x) (4) + (4)² B(x) = (3x)² - 2²
A ( x ) = ( 5 x + 4 )² B ( x ) = ( 3 x + 2 )( 3 x - 2 )
* C(x) = ( 3x + 6 )² - 81C(x) = ( 3x + 6 )² - 9²
C(x) = ( 3x + 6 + 9 )( 3x + 6 - 9 )
C ( x ) = ( 3 x + 15 )( 3 x - 3 )
3- Équations " produit nul »
L'objectif de ce paragraphe est de résoudre certaines équations à une inconnue du second degré.
a) Vocabulaire Soit deux expressions A(x) et B(x) de la variable x. Toute équation de la forme A(x) ´ B(x) = 0 est appelée équation " produit nul ». b) Propriété Pour qu'un produit soit nul, il faut et il suffit qu'un de ses facteurs soit nul.Autrement dit
Soit a et b deux nombres.
* Si a = 0 ou b = 0, alors a ´ b = 0 . * Réciproquement, si a ´ b = 0 alors a = 0 ou b = 0 .Démonstration
* La première partie de la propriété est évidente. * Si a ´ b = 0 , on envisage deux cas. Premier cas : supposons que a est nul. La propriété est alors démontrée.Second cas : supposons que a est non nul. On peut alors multiplier chacun des membres de l'égalité par
l'inverse de a : a×b a=0 a. En simplifiant, on obtient : b = 0. CQFD ! c) Principe et méthode générale On considère une équation du second degré. * Si ce n'est pas le cas, on transpose pour que le second membre de cette équation soit nul.* On factorise alors, si possible, le premier membre : on obtient ainsi une équation " produit nul ».
* On utilise la précédente propriété : on doit alors résoudre deux équations du premier degré.
d) ApplicationRésoudre l'équation : ( 3x - 5 )( 2x + 4 ) = 0 . On reconnaît ici une équation " produit nul ».
Or, si un produit est nul, alors un au moins de ses facteurs est nul (et réciproquement). Donc : 3x - 5 = 0 ou 2x + 4 = 0