Poly d’exercices

Poly d’exercices Loic Teyssier & co Tabledesmatières 1 Nombres réels 1 1 1 Développements,rationnels

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Chapitre 1 Exercises 1 1 Digital ourierF ransformT The exercises in this sctione esume,r on an example, the approximations which have to eb done in order to go from FT to DFT

POLY DEXERCICES (RMN SV2)

POLY D'EXERCICES (RMN SV2) Exercice 1 On donne γ H=2 67519 10 8rad s-1 T-1 et γ C=6 726 10 7rad s T Un spectromètre est réglé pour observer le proton à la fréquence de 250MHz (1) Calculer la valeur de l’induction B 0 correspondante (2) Déterminer la fréquence ν

S?vbB[m2R - Optimal Sup-Spé

ANALYSE RÉELLE, OPTIMISATION LIBRE ET SOUS CONTRAINTE

Chapitre 1 EXERCICES 1 7 Diﬀérentielleetapproximationaﬃne Exercice 1 22 —SoitflafonctiondéﬁniesurR parf(x) = x3 3x2+6xetsoitaunréelquelconque 1

LEXERCICE DE LA PROFESSION MEDICALE

IV/ Ies règles d'exercices Tout médecin doit se soumettre aux règles d'exercice dictées par la loi du 16 02 85 et veiller toriouls au respect de l'éthique médicale Cei règles soni forrnulées pal plusieurs articles Nous accorderons une att€ntiorl partioulière aux articles suivânts :

S?vbB[m2R JS

Chap 1 : Nombres entiers - La classe inversée de Mme TESSE

EX 18, 22, 5, 6, du poly les exercices Suivants EX 18, 22, 5, 6, du poly EX 19 et 20 du poly les exercices Suivants EX 18, 22, 5, 6, du poly Ex 19 et 20 du poly

Chap 1 : Nombres relatifs 1

EX 38, 39, 45 et 46 du poly les exercices Suivants EX 2, 3 du poly Ex 19, 20, 28 et 30 du poly EX 33 , 35 et 36 du poly EX 38, 39, 45 et 46 du poly EX 81 et 82 du I

Exercices - THIBAULT LEFEUVRE

Universit e Paris{Sud L1 { Calculus Math101 Math ematiques 1er semestre 2017-2018 Exercices Equations in equations Exercice 1 R esoudre les equations suivantes :

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Poly d’exercices - Deleporte

Poly d"exercices

Loic Teyssier & co

Table des matières

1 Nombres réels1

1.1 Développements, rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Suites5

2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Continuité9

3.1 Premières définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Suites définies par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Dérivabilité14

4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Théorèmes des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Développements de Taylor 17

1 Nombres réels

1.1 Développements, rationnels

Exercice 1.On considère la suite géométrique de terme généralun= 10-n,n?N?. 1.

P ourN?N?calculer

S N=N? n=1u n 2.

Quelle est la limite de la suite (SN)N?N??

Discuter l"égalité

0,9 = 1.

Exercice 2.

Soit x?Radmettant un développement décimal périodique à partir d"un certain rangk. Montrer que

xest rationnel. (Indication : calculer10kx-x). 2.

Mon trerque si x?Q, alors son développement décimal est périodique à partir d"un certain rang

(Indication : examiner l"algorithme de la division euclidienne). 3. En déduire que tout en tieradmet un m ultiplede la forme 10n(10k-1)pour un certain couple(k,n).

Exercice 3.Écrire le nombre2,412sous forme d"une fraction rationnelle réduite où12signifie que le bloc

de chiffres12est répétéad infinitum.

Exercice 4.Montrer que

1.⎷3-⎷2n"est pas un rationnel.

2.⎷2 +

⎷3 + ⎷5n"est pas un rationnel. 1

Exercice 5.Démontrer que tout nombre entiern?N\ {0}peut s"écrire de manière unique sous la forme

n=cl10l+cl-110l-1+...+c110 +c0 oùcj? {0,1,...,9}etcl?= 0.

Exercice 6.

Mon trer?a,b?R,a2+b2≥2ab.

Soien ta,b?R+. Montrer quea+b≥2⎷ab.

Mon trer?a,b,c?R,a2+b2+c2≥ab+bc+ac.

Mon trer?a,b,c?R,(a2+ 1)(b2+ 1)(c2+ 1)≥8abc.

Mon trer?a,b,c?R+,(a+b+c)(ab+bc+ca)≥9abc

Exercice 7.

Mon trer?a?R,a(1-a)≤14

2. Soien ta,betctrois réels positifs. Montrer que au moins l"un des trois nombresa(1-b),b(1-c), c(1-d)sont inférieur ou égal à14 Exercice 8.Soienta,b,cles longueurs des côtés d"un triangle. Montrer que Exercice 9.Soitx?Ret< dm...d0,d-1... >son écriture décimale propre. Exprimerdjen fonction des nombres(x10-j)j≤m.

Exercice 10.Montrer que pour toutx,y?Retn?N, on a

1.?x+n?=?x?+n

2.?x?+?-x?=?0six?Z

-1six?R\Z

3.?x?+?y? ≤ ?x+y?

4.0≤ ?nx? -n?x? ≤n-1

Exercice 11.Soientn?N\0etx?R. Montrer que

n-1? k=0?x+kn ?=?nx?. Exercice 12.Soientp,q?N\0. Montrer que sipetqsont premiers entre eux, alors q-1? k=1?kpq ?=(q-1)(p-1)2 (Indication : utiliser l"exercice 10) Exercice 13.Soientxetydeux nombres réels tels que0< x6y. On pose m=x+y2 , g=⎷xy, 1h =12 1x +1y

Montrer quex6h6g6m6y.

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