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2 2 Compatibilité de la congruence avec l’addition et la multiplication THÉORÈME 2 8 Soit nun entier naturel (n 2) et a, b, cet ddes entiers relatifs vériﬁant : a b (mod n) et c d (mod n): La relation de congruence est compatible avec : 1 l’addition : a+c b+d(mod n) 2 la multiplication : ac bd(mod n)

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Congruence (5 points) 1)Quelles sont les propriétés de compatibilité de la relation de congruence avec l’addi-tion, la multiplication et les puissances Démontrer la propriété de compatibilité avec l’addition Voir le cours 2)a)Démontrer que pour tout nombre entier naturel k on a : 23k 1(modulo 7)

Cours Terminale S Divisibilité - Division euclidienne

Attention, la relation de congruence n'est pas compatible avec la division ni avec la racine carrée Par exemple 44 8 (6) , mais on ne peut pas diviser par 4 pour affirmer que 11 est congru à 2 modulo 6

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controle de mathˆ ´ematiques Terminale S spé 2)On a : 11 4 mod 7 D’après la compatibilité de la congruence avec les puissances, on a : 112 42 mod 7 112 16 mod 7 112 2 mod 7 (112)3 23 mod 7 116 8 mod 7 116 1 mod 7 Comme on a : 2 011 = 6 335 +1 et donc 112 011 = (116)335 11, alors : 112 011 1335 11 mod 7 112 011 11 mod 7 112 011 4 mod 7

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