Exo7 - Exercices de mathématiques

Exo7 Nombres complexes 1 Forme cartésienne, forme polaire Exercice 1 Mettre sous la forme a+ib (a;b2R) les nombres : 3+6i 3 4i; 1+i 2 i 2 + 3+6i 3 4i; 2+5i 1 i + 2 5i 1+i: Indication H Correction H Vidéo [000001] Exercice 2 Écrire sous la forme a+ib les nombres complexes suivants : 1 Nombre de module 2 et d’argument p=3 2 Nombre de module

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Exercices : Jean-François Burnol Corrections : Volker Mayer Relecture : François Lescure Exo7 Prolongement analytique et résidus 1 Un peu de topologie Exercice 1 Soit W=Cnf] ¥;0]g Déterminer en tout z 0 2Wla série de Taylor de la fonction holomorphe z7Logzainsi que son rayon de convergence Soit z 0 avec Re(z 0) < 0 Soit R 0 le rayon

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Title: Exo7 - Exercices de mathématiques Author: Exo7 Created Date: 2/7/2013 9:24:18 PM

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Exercices : Martine Quinio Exo7 Probabilité conditionnelle Exercice 1 Dans la salle des profs 60 sont des femmes; une femme sur trois porte des lunettes et un homme sur deux porte des lunettes : quelle est la probabilité pour qu’un porteur de lunettes pris au hasard soit une femme? Correction H [005992] Exercice 2

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exercices de maths sur exo7 emath 5 Correction del’exercice1 N 1 Soit e > 0 Il existe un rang n 0 tel que, si n n 0 alors ju n ‘j< e 2 Soit n un entier

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Exo7 Intégration Exercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette ﬁche sur www maths-france * très facile ** facile *** difﬁculté moyenne **** difﬁcile ***** très difﬁcile

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Enoncés et corrections : Sandra Delaunay Exo7 Sujets de l’année 2006-2007 1 Devoir à la maison Exercice 1 Soit a∈R, notons A la matrice suivante A= 0 1 −a 1+a On déﬁnit une suite (un)n∈N, par la donnée de u0 et u1 et la relation de récurrence suivante, pour n∈N un+2 =(1+a)un+1 −aun 1

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Exo7 - Exercices de mathématiques Author: Exo7 Created Date: 11/7/2019 4:11:23 PM

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Exo7

Réduction

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile

I : Incontournable

Exercice 1**SoitA=0

@1 2 2 2 1 2

2 2 11

A . Pournentier relatif donné, calculerAnpar trois méthodes différentes. @3 0 0 8 4 0

5 0 11

A @3 1 0 41 0
4 821 A 1.

Vérifier que An"est pas diagonalisable.

Déterminer K er(AI)2.

3. Montrer que Aest semblable à une matrice de la forme0 @a0 0 0b c 0 0b1 A 4.

Calculer Anpournentier naturel donné.

Vérifier quefest un endomorphisme deR2n[X]puis déterminer les valeurs et vecteurs propres def.fest-il

diagonalisable ? etB=X4X.

Vérifier quefest un endomorphisme deEpuis déterminer Kerf, Imfet les valeurs et vecteurs propres def.

Exercice 6***SoitAune matrice rectangulaire de format(p;q)etBune matrice de format(q;p). Comparer les polynômes

caractéristiques deABetBA. et quevest nilpotent. Montrer que det(u+v) =detu. Montrer queAest nilpotente si et seulement si8k2[[1;n]], Tr(Ak) =0. quefest nilpotent. Soientuetvdeux endomorphismes deEtels que9(a;b)2C2=uvvu=au+bv. Montrer queuetvont un vecteur propre en commun. 1.

Montrer que (E;)est un groupe

2. Soit Aun élément deEtel que9p2N=Ap=I2. Montrer queA12=I2. A A

Calculer detM. Déterminer les éléments propres deMpuis montrer queMest diagonalisable si et seulement si

Aest diagonalisable.

BBB@0b:::b

a .........b a:::a01 C CCCA. 2

Montrer que les images dans le plan complexe des valeurs propres deAsont cocycliques. (Indication : pour

calculercA, considérerf(x) =

X+x b+x:::b+x

a+x......... .........b+x a+x:::a+xX+x 1.

Montrer que 1 est v aleurpropre de A.

Soit lune valeur propre deA.

(a)

Montrer que jlj61.

(b) Montrer qu"il e xisteun réel wde[0;1]tel quejlwj61w. Conséquence géométrique ? B

BBB@0:::0 1

.........0 0

1 0:::01

C CCCA

Montrer queAest diagonalisable.

BBBBBB@0 1 0:::0

......0 0 ...1

1 0::: :::01

CCCCCCA(de formatn>3). DiagonaliserJn.

En déduire la v aleurde

0a1:::an2an1

a n1a0a1an2............ a

2...a0a1

1a2:::an1a0

1.Calculer det (Ps)pour touts2Sn.

2. (a)

Montrer que 8(s;s0)2S2n,PsPs0=Pss0.

(b) On pose G=fPs;s2Sng. Montrer que(G;)est un groupe isomorphe àSn. 3.

Soit A= (ai;j)16i;j6n2Mn(C). CalculerAPs.

T rouverles v aleurspropres d"une matrice de pemutation (on pourra utiliser le résultat hors programme

: toute permutation se décompose de manière unique à l"ordre près des facteurs en produit de cycles à

supports disjoints). caractéristique est scindé surK.

Montrer qu"il existe un couple d"endomorphismes(d;n)et un seul tel quedest diagonalisable,nest nilpotent

netf=d+n. a b:::b b a .........b b:::b a dansC.

8x2R,(j(f))(x) =1x

R x

0f(t)dtsix6=0 et(j(f))(0) =f(0).

Montrer que jest un endomorphisme deE.

2. Etudier l"injecti vitéet la surjecti vitéde j. 3.

Déterminer les éléments propres de j.

que pourk2 f1;2;3g,fk=lku+mkv. Montrer quefest diagonalisable. 4 Exercice 26**IRésoudre dansM3(C)l"équationX2=0 @0 1 0 0 0 1

0 0 01

A Montrer quefetgsont simultanément trigonalisables. communes si et seulement si la matricecA(B)est inversible. inversible si et seulement siPetcfsont premiers entre eux. B

B@1 1 0 0

0 1a0

0 0 1b

0 0 0 11

C CA. Peut-on trouver deux matrices distinctes semblables parmi les quatre matrices M

0;0,M0;1,M1;0etM1;1?

BBB@1 0:::0

2 n0:::01 C CCCA. B

BB@0:::0a1.........

0:::0an1

1:::an1an1

C CCAoùa1,...,ansontnnombres complexes (n>2).Aest-elle diagonalisable? parfdans chacun des cas suivants : 5 1.A=0 @1 11 1 1 1

1 1 11

A 2.A=0 @2 2 1 1 3 1

1 2 21

A 3.A=0 @66 5 41 10
76 41
A @1 37 2 614 1 371 A

Commutant de

0 @1 01 1 2 1

2 2 31

Estable parf. On suppose quefest diagonalisable. Montrer que la restriction defàFest un endomorphisme

diagonalisable deF. entier pair. Correction del"exer cice1 N1ère solution.A=2JI3oùJ=0 @1 1 1 1 1 1

1 1 11

A . On aJ2=3Jet plus généralement8k2N,Jk=3k1J. Soitn2N. Puisque les matrices 2JetIcommutent, la formule du binôme de NEWTONpermet d"écrire A n= (2JI)n= (I)n+nå k=1 n k (2J)k(I)nk= (1)nI+ nå k=1 n k 2 k3k1(1)nk! J = (1)nI+13 nå k=1 n k 6 k(1)nk!

J= (1)nI+13

((61)n(1)n)J 13quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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Réduction

I : Incontournable

Exercice 1**SoitA=0

2 2 11

5 0 11

Vérifier que An"est pas diagonalisable.

Déterminer K er(AI)2.

Calculer Anpournentier naturel donné.

Montrer que (E;)est un groupe

Aest diagonalisable.

BBB@0b:::b

X+x b+x:::b+x

Montrer que 1 est v aleurpropre de A.

Soit lune valeur propre deA.

Montrer que jlj61.

BBB@0:::0 1

1 0:::01

Montrer queAest diagonalisable.

BBBBBB@0 1 0:::0

1 0::: :::01

CCCCCCA(de formatn>3). DiagonaliserJn.

En déduire la v aleurde

0a1:::an2an1

2...a0a1

1a2:::an1a0

1.Calculer det (Ps)pour touts2Sn.

Montrer que 8(s;s0)2S2n,PsPs0=Pss0.

Soit A= (ai;j)16i;j6n2Mn(C). CalculerAPs.

8x2R,(j(f))(x) =1x

0f(t)dtsix6=0 et(j(f))(0) =f(0).

Montrer que jest un endomorphisme deE.

Déterminer les éléments propres de j.

0 0 01

B@1 1 0 0

0 0 1b

0 0 0 11

0;0,M0;1,M1;0etM1;1?

BBB@1 0:::0

BB@0:::0a1.........

0:::0an1

1:::an1an1

1 1 11

1 2 21

Commutant de

2 2 31

1 1 11

J= (1)nI+13