EXO1 EXO2 Donner les indices de Miller des plans suivants
Représenter les plans d’indices de Miller (120), (121)et (412) dans une maille cubique ? EXO2 Donner les indices de Miller des plans suivants EXO3 Quelles sont les indices de l’axe commun de la zone des plans(211), (120) et (302)? EX04 Montrer que le réseau cristallin ne peut avoir un axe de rotation d’ordre 5 ou supérieur à 6 EXO5
Cristallographie - Indices de Miller
Cristallographie - Indices de Miller 1 Trouver le nombre de noeuds par maille du: a Cubique simple (cs) b Cubique centré (cc) c Cubique faces centrées (cfc) 2 Calculer le volume de la maille d d’1 cs e d’1 cc f d’1 cfc 3 Donner l'équation du plan passant coupantx =3a, y=2b et z=2c et dont le noeud (300) est contenu dans ce plan
Solution EXO3 - d-blizakuniv-boumerdesdz
Solution EXO2 Donner les indices de Miller des plans suivants Solution EXO3: Quelles sont les indice de l’axe commun de la zone des plans (211̅), (120) et (302̅) dans le système cubique? Dans le système cubique [ℎ G H] ⊥(ℎ G H), L’axe de la zone sera perpendiculaire aux orientations [hkl] [211̅]∧[120]=
CHAPITRE II : CRISTALLOGRAPHIE (TD)
Les indices de Miller ( hkl ) de la famille de plans sont les coefficients de cette équation Dans le réseau donner les indices de Miller des familles de plans réticulaires parallèles aux faces de la maille 2 4 PLANS DENSES On peut montrer que la structure cfc est constituée par l'empilement de plans denses Ces plans denses sont
LP 339 COHESION DE LA MATIERE - sorbonne-universitefr
Les indices h, k et sont appelés indices de Miller et définissent ainsi une famille de plans parallèles entre eux : la famille de plans (hk ) • Déterminer les indices de Miller des familles de plans suivants : a 1 b 1 b 2 a 2 b 3 a a 3 4 b 4 (CD) (AB) a→ b→ c→ m 1 x O = 2 1 = 3 m = – a→ b→ yc→ z m 0
1 RESEAUX BIDIMENSIONNELS
Si oui, donner les indices de Miller (hkl) du plan contenant ces trois rangées • si les rangées [u 1 v 1 w 1], [u 2 v 2 w 2] et [u 3 v 3 w 3] sont coplanaires, le volume de la maille qu’elles définissent est nul Il suffit donc de calculer le produit mixte des 3 vecteurs considérés : Volume= u 1v 1w 1 u 2v 2w 2 u 3v 3w 3
LE RESEAU RECIPROQUE – solution - École des Mines de Saint
Les indices de Miller d'un plan sont notés entre des parenthèses : (h,k,l) L'équation du plan ABC s'écrit h x + k y + l z = N Vous pouvez le vérifier aux points A, B, C ; la constante entière N est nulle lorsque le plan passe par l'origine
Exercice 1 - unicefr
4 Déterminer la rangée[u,v,w] qui passe par les couples de noeuds cités: a 432 et 120 b 321 et 131 c 001 et ‐101 5 Indexer (donner les indices de Miller) des plans réticulaires qui déterminent respectivement sur les axes OX OY et OZ les segments suivants
Introduction à la Cristallographie
1ers entre eux = indices de Miller est possible de reconstituer le cristal par jeu de toutes les opérations de symétrie du groupe spatial du cristal
Solution TD nº 1 : Cristallographie géométrique
- Les plans d’indices de Miller (110), (201) et (132) Plans réticulaires : Plan passant par trois nœuds (donc par un nombre infini de nœuds) du réseau Ce plan intercepte respectivement les axes , et en : 1/h, 1/k et 1/l Les indices h, k, l sont appelés indices de Miller et définissent ainsi une famille de plans parallèles
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LP 339 : Cohésion de la Matière TD 1 page 1 LP 339 COHESION DE LA MATIERE Année 2014 - 2015 TD n°1 : RESEAU DIRECT - INDICES DE MILLER - MULTIPLICITE - VOLUME RAPPEL : RESEAU - RESEAU DE BRAVAIS Un réseau définit un ensemble de points (ou de noeuds) régulièrement répartis dans l'espace (ou le plan, ou s ur une droite). À trois dimensions, un rés eau de Bravais représente l'ensemble des noeuds dont le rayon-vecteur est de la forme : R → = n1a →1 + n2a →2 + n3a →3 où les ni sont des entiers et les a →i des vecteurs linéairement indépendants. Un réseau de Bravais est infini dans toutes les directions et est tel que de chaque noeud, on voit exactement le même paysage que de tous les autres. On peut aussi définir des réseaux de B ravais à 1 et 2 dimensions. Les vecteu rs a →i sont appelés vecteurs de base et à l'ens emble d es vecteurs R →, on peu t assoc ier l'ensemble des translations du réseau T(R →) : toute translation du réseau relie deux points du réseau. La distinction des réseaux de Bravais repose sur leur propriétés de symétries. À 2 dimensions, il existe 5 réseaux de Bravais : carré a1 = a2 γ = π/2 hexagonal a1 = a2 γ = 2π/3 rectangulaire a1 ≠ a2 γ = π/2 rectangulaire centré a1 ≠ a2 γ = π/2 oblique a1 ≠ a2 γ quelconque À 3 dimensions, il existe 14 réseaux de Bravais (voir page suivante). Comme pour les réseaux 2D, on notera l'existence de r éseaux p rimitifs (un noeud par maille) et de réseaux associés à des mailles multiples (2, 3 noeuds par maille). Le réseau de Bravais est une construction purement géométrique. Tous les cristaux réels sont basés sur de tels réseaux (aux défauts près !) et peuvent être décrits en précisant le motif situé aux noeuds du réseau. Par exemple, la structure de la fluorite CaF2 est basée sur un réseau cubique (toutes) faces centrées avec pour motif : ⎩⎨⎧•un atome de Ca en (0, 0, 0) •un atome de F en (), ), ))•un atome de F en (), ), *) ⊗ ⇒ Ca F F
LP 339 : Cohésion de la Matière TD 1 page 2 Les 14 réseaux de Bravais tri-dimensionnels : Triclinique aP Monoclinique mP Monoclinique mC faces C centrées a ≠ b ≠ c α ≠ β ≠ γ a ≠ b ≠ c α = γ = π/2, β > π/2 Orthorhombique oP Orthorhombique oC faces C centrées Orthorhombique oI centré Orthorhombique oF toutes faces centrées a ≠ b ≠ c α = β = γ = π/2 Tétragonal tP Tétragonal tI centré a = b ≠ c α = β = γ = π/2 Trigonal hR Hexagonal hP a = b = c α = β = γ ≠ π/2 a = b ≠ c α = β = π/2, γ = 2π/3 Cubique cP Cubique cI centré Cubique cF toutes faces centrées a = b = c α = β = γ = π/2
LP 339 : Cohésion de la Matière TD 1 page 3 1. RESEAUX BIDIMENSIONNELS (a) d'après M.C. Escher (b) Pb5Al3F19 (c) graphène (d) pavage de Penrose • Pour chacune des figures ci-contre, déterminer une maille élémentaire. • Pour la figure (c), déterminer le motif (nature des atomes, position dans la maille) 2. RANGEES - INDICES DE MILLER - PLANS EN ZONE Définition : 2 noeuds du réseau définissent une rangée du réseau. À 3 dimensions, une rangée est définie par : n →uvw = [u v w] = ua → + vb → + wc → a →, b → et c → sont les vecteurs de base du réseau Une rangée ou direction cristallographique est définie par les plus petits entiers possibles : [-9 3 6] → [-3 1 2] = [3- 1 2] noté "3 barre" 1 2 a → b → c →
LP 339 : Cohésion de la Matière TD 1 page 4 2.1 réseau bidimensionnel • Dans le repère (a →1; b →1), déterminer les indices [uv] des rangées (AB) et (CD). • Le résultat dépend-il du choix de l'origine? • Déterminer la multiplicité des mailles définies par les couples de vecteurs (a →i; b →i). • Quelles sont celles qui peuvent être qualifiées de maille élémentaire? • Proposer d'autres repères (a →; b →) correspondant à des mailles élémentaires. 2.2 Réseau tridimensionnel On considèr e un plan passant par 3 noeuds (et donc passant par une infinité de noeuds du réseau). Ce plan a pour équation : hx + ky + z = m Pour m = 0, il s'agit du plan passant par l'origine. Pour m = 1, il s'agit du plan le plus proche de l'origine. Ce plan intercepte respectivement les axes (O, a →), (O, b →) et (O, c →) en : 1/h, 1/k et 1/. Les indices h, k et sont appelés indices de Miller et définissent ainsi une famille de plans parallèles entre eux : la famille de plans (hk). • Déterminer les indices de Miller des familles de plans suivants : a
1 b 1 b 2 a 2 b 3 a 3 a 4 b 4 (CD) (AB) a → b → c → m = 1 O m = 2 m = 3 m = -1 a → b → c → x y z m = 0LP 339 : Cohésion de la Matière TD 1 page 5 Soit un réseau cubique primitif (simple) de paramètre a. • Quelle est la multiplicité (nombre de noeuds) de la maille ? • Représenter les plans d'indices de Miller (110), (2-10), (132), ainsi que les rangées [110], [2-10] et [132]. Que remarquez-vous ? Est-ce vrai pour les autres systèmes cristallins ? • Les rangées [32-1], [311] et [351] sont-elles coplanaires ? Si oui, donner les indices de Miller (hk) du plan contenant ces trois rangées. • Les plans (211-), (120) et (302-) sont-ils en zone (ont-ils un axe commun) ? Si oui, quel est l'axe commun ? • Calculer le volume de la maille construite sur les rangées [12-1], [11-0] et [101]. En déduire sa multiplicité. 3. CARACTERISTIQUES DES STRUCTURES CRISTALLINES SIMPLES La plupart des composés purs cristallisent dans les structures cubiques réseaux I ou F ou bien encore dans la structure hexagonale compacte. Par exemple, les éléments tels que Cu, Ag, Fe-γ, Pb, Ni etc. cristallisent dans la structure cubique réseau F alors que Ba, Cr, Cs, Fe-α, Mo, Ta, W cristallisent dans la structure cubique réseau I. Ces s tructures présentent en fait les empilements d'a tomes parmi les plus compacts possibles. Nous étudierons dans un premier temps les structures relatives aux réseaux cubiques P, I et F. • Donner les positions atomiques permettant de définir parfaitement chacune des 3 structures. • Pour chaque type de réseau (P, I ou F), on déterminera : - le nombre de premiers et de seconds voisins; - la distance entre premiers et seconds voisins; - la densité des rangées [100], [110] et [111]; - la densité des plans (100), (110) et (111); - la compacité (ou taux de remplissage) de la structure, celle-ci étant définie comme le rapport entre le volume occupé par les atomes (considérés dans un modèle de sphères dures) et le volume de la maille. Remarque : le paramètre de maille sera pris égal à a. • Conclusions ? 4. RESEAU HEXAGONAL COMPACT La structure du réseau cubique F peut être décrite comme un empilement selon les axes de type [111] de couches de type (111) ident iques mais d écalées. On dit alors que l'empilement est ...ABCABC... dans la structure c.f.c.. Cet empilement est le plus compact possible. Cependant, il existe une autre possibilité d'empilement qui conduit au même taux de r emplissag e que celui de la structure c.f.c. mais dans c e cas, la structur e obtenue présente alors une symétrie hexagonale. Cette structure peut être décrite comme un empilement ...ABABAB... et elle est appelée structure hexagonale compacte (notée en anglais c.p.h. close packed hexagonal) • Représenter la structure et donner le nombre d'atomes par maille. • Proposer des positions atomiques permettant de définir parfaitement la structure. • Calculer le rapport c/a de la structure hexagonale compacte
LP 339 : Cohésion de la Matière TD 1 page 6 Dans le cas des structures hexagonales compactes réelles (Be, Sc, Mg, Te, Co, Zn, Y, Zr, Tc, Ru, Gd, Tb, Py, Ho, Er, Tm, Lu, Hf, Re, Os, Tl), le rapport c/a pourra être légèrement différent du rappor t théorique; cela dépen d de la for me du nuage électronique des atomes constituant la maille. Dans le cas de Mg, c/a≈1,623, on peut considérer les atomes de Mg com me légèrement "aplatis"; au contra ire pour Zn , c/a≈1,86, on considère néanmoins cette structure comme hexagonale compacte.
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