EXO1 EXO2 Donner les indices de Miller des plans suivants
Représenter les plans d’indices de Miller (120), (121)et (412) dans une maille cubique ? EXO2 Donner les indices de Miller des plans suivants EXO3 Quelles sont les indices de l’axe commun de la zone des plans(211), (120) et (302)? EX04 Montrer que le réseau cristallin ne peut avoir un axe de rotation d’ordre 5 ou supérieur à 6 EXO5
Cristallographie - Indices de Miller
Cristallographie - Indices de Miller 1 Trouver le nombre de noeuds par maille du: a Cubique simple (cs) b Cubique centré (cc) c Cubique faces centrées (cfc) 2 Calculer le volume de la maille d d’1 cs e d’1 cc f d’1 cfc 3 Donner l'équation du plan passant coupantx =3a, y=2b et z=2c et dont le noeud (300) est contenu dans ce plan
Solution EXO3 - d-blizakuniv-boumerdesdz
Solution EXO2 Donner les indices de Miller des plans suivants Solution EXO3: Quelles sont les indice de l’axe commun de la zone des plans (211̅), (120) et (302̅) dans le système cubique? Dans le système cubique [ℎ G H] ⊥(ℎ G H), L’axe de la zone sera perpendiculaire aux orientations [hkl] [211̅]∧[120]=
CHAPITRE II : CRISTALLOGRAPHIE (TD)
Les indices de Miller ( hkl ) de la famille de plans sont les coefficients de cette équation Dans le réseau donner les indices de Miller des familles de plans réticulaires parallèles aux faces de la maille 2 4 PLANS DENSES On peut montrer que la structure cfc est constituée par l'empilement de plans denses Ces plans denses sont
LP 339 COHESION DE LA MATIERE - sorbonne-universitefr
Les indices h, k et sont appelés indices de Miller et définissent ainsi une famille de plans parallèles entre eux : la famille de plans (hk ) • Déterminer les indices de Miller des familles de plans suivants : a 1 b 1 b 2 a 2 b 3 a a 3 4 b 4 (CD) (AB) a→ b→ c→ m 1 x O = 2 1 = 3 m = – a→ b→ yc→ z m 0
1 RESEAUX BIDIMENSIONNELS
Si oui, donner les indices de Miller (hkl) du plan contenant ces trois rangées • si les rangées [u 1 v 1 w 1], [u 2 v 2 w 2] et [u 3 v 3 w 3] sont coplanaires, le volume de la maille qu’elles définissent est nul Il suffit donc de calculer le produit mixte des 3 vecteurs considérés : Volume= u 1v 1w 1 u 2v 2w 2 u 3v 3w 3
LE RESEAU RECIPROQUE – solution - École des Mines de Saint
Les indices de Miller d'un plan sont notés entre des parenthèses : (h,k,l) L'équation du plan ABC s'écrit h x + k y + l z = N Vous pouvez le vérifier aux points A, B, C ; la constante entière N est nulle lorsque le plan passe par l'origine
Exercice 1 - unicefr
4 Déterminer la rangée[u,v,w] qui passe par les couples de noeuds cités: a 432 et 120 b 321 et 131 c 001 et ‐101 5 Indexer (donner les indices de Miller) des plans réticulaires qui déterminent respectivement sur les axes OX OY et OZ les segments suivants
Introduction à la Cristallographie
1ers entre eux = indices de Miller est possible de reconstituer le cristal par jeu de toutes les opérations de symétrie du groupe spatial du cristal
Solution TD nº 1 : Cristallographie géométrique
- Les plans d’indices de Miller (110), (201) et (132) Plans réticulaires : Plan passant par trois nœuds (donc par un nombre infini de nœuds) du réseau Ce plan intercepte respectivement les axes , et en : 1/h, 1/k et 1/l Les indices h, k, l sont appelés indices de Miller et définissent ainsi une famille de plans parallèles
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LP 339 : Cohésion de la Matière correction TD 1 page 1 LP339 - Cohésion de la matière - Cristallographie 1. RESEAUX BIDIMENSIONNELS • Pour chacune des figures ci-contre, déterminer une maille élémentaire. (a) d'après M.C. Escher (b) Pb5Al3F19 le choix de la maille "r ouge" n' est pas correct car les détails structuraux repérés par les flèches vertes sont distincts d'une maille à l'autre (c) graphène (d) pavage de Penrose Pour la figure (c), plusieurs choix sont possibles pour déterminer le motif (nature des atomes, position dans la maille) : Choix #1 : 0,0 2/3, 1/3 Choix #2 : 0,0 1/3, 2/3 a →2b →2a →1b →1
LP 339 : Cohésion de la Matière correction TD 1 page 2 2. RANGEES - INDICES DE MILLER - PLANS EN ZONE 2.1 réseau bidimensionnel • il s'agit de retrouver les vecteurs directeurs des droites (AB) et (CD). (AB) : [uv] = [21-] ou [2-1] ; (CD) : [uv] = [4-3] ou [43-] ne dépend pas du choix de l'origine • (a →1; b →1) : m = 1 ; (a →2; b →2) : m = 1 ; (a →3; b →3) : m = 2 ; (a →4; b →4) : m = 2 • mailles élémentaires : celles formées par (a →1; b →1) et (a →2; b →2). 2.2 Réseau tridimensionnel • Déterminer les indices de Miller des familles de plans suivants : a
1 b 1 b 2 a 2 b 3 a 3 a 4 b 4 (CD) (AB)LP 339 : Cohésion de la Matière correction TD 1 page 3 Soit un réseau cubique primitif (simple) de paramètre a. • Quelle est la multiplicité (nombre de noeuds) de la maille ? • Comme il est précisé qu'il s'agit d'une maille primitive ou simple, on peut en conclure directement que sa multiplicité vaut 1. • On peut aussi recalculer le nombre de noeuds contenus dans la maille : chaque noeud est partagé entre les 8 mailles adjacentes m = 8 × 1/8 • Représenter les plans d'indices de Miller (110), (2-10), (132), ainsi que les rangées [110], [2-10] et [132]. (110) (2-10) (132) vue selon [001] Que remarquez-vous ? Est-ce vrai pour les autres systèmes cristallins ? On constate, pour le système cubique, que les rangées ayant pour indices [hkl] sont perpendiculaires aux plans (hkl) de mêmes indices. Ceci n'est valable que pour le système cubique, en effet sauf pour quelques cas particuliers des systèmes hexagonal, tetragonal ou orthorhombique, ce n'est pas vrai. Exemple : cas de la famille de plans (110) pour une maille orthorhombique : (110)[110][2-10](2-10)←1/2 1/3 ↓(110)[110]
LP 339 : Cohésion de la Matière correction TD 1 page 4 • Les rangées [31-2-], [201-] et [1-95] sont-elles coplanaires ? Si oui, donner les indices de Miller (hkl) du plan contenant ces trois rangées. • si les rangées [u1 v1 w1], [u2 v2 w2] et [u3 v3 w3] sont coplanaires, le volume de la maille qu'elles définissent est nul. Il suffit donc de calculer le produit mixte des 3 vecteurs considérés : Volume=⎪⎪⎪⎪⎪⎪u1v1w1 u2v2w2 u3v3w3 Dans le cas considéré, onvérifieaisémentqueledéterminant⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪31-2-201-1-95 = 0 → Les rangées sont donc coplanaires. • Les indices de Miller (hkl) du plan contenant ces rangées du réseau direct sont les mêmes que ceux de la rangée [hkl] perpendiculaire à ces rangées. vrai que pour le système cubique ! Il suffit donc de calculer le produit vectoriel de deux vecteurs parmi les 3 considérés. Par exemple : [31-2-]∧[201-] = [11-2] • Les plans (211-), (120) et (302-) sont-ils en zone (ont-ils un axe commun) ? Si oui, quel est l'axe commun ? On reprend un raisonnement similaire à celui précédemment utilisé : si les plans sont en zone, les rangées qui leur sont orthogonales sont coplanaires ; on est ramené au problème de la question précédente. Il suffit de vérifier que le produit mixte des trois rangées [211-], [120] et [302-] est nul. De même, pour déterminer la rangée commune aux trois plans, il suffit de calculer le produit vectoriel de deux vecteurs normaux à ces plans parmi les 3 possibles. Par exemple : [21-1-]∧[201-] = [21-3] • Calculer le volume de la maille construite sur les rangées [12-1], [11-0] et [101]. En déduire sa multiplicité. • On calcule le produit mixte des trois vecteurs considérés : V = 2 a3. • La multiplicité est donc égale à 2. [u1 v1 w1][u2 v2 w2][u3 v3 w3][uvw](hkl)[u1v1w1][u2v2w2][u3 v3 w3][uvw](h3k3l3)(h2k2l2)(h1k1l1)
LP 339 : Cohésion de la Matière correction TD 1 page 5 3. CARACTERISTIQUES DES STRUCTURES CRISTALLINES SIMPLES • Donner les positions atomiques permettant de définir parfaitement chacune des 3 structures. • Pour chaque type de réseau (P, I ou F), on déterminera : - le nombre de premiers et de seconds voisins; - la distance entre premiers et seconds voisins; - la densité des rangées [100], [110] et [111]; - la densité des plans (100), (110) et (111); - la compacité (ou taux de remplissage) de la structure cubique P cP cubique I cI cubique F cF 0,0,0 0,0,0 ½,½,½ 0,0,0 ½,½,0 ½,0, ½ 0, ½,½ • premiers voisins : 6 à la distance a • seconds voisins : 12 à la distance 2a • densité des rangées : - [100] : 1/a - [110] : 1/(2a) - [111] : 1/(3a) • densité des plans : - (100) : 1/a2 - (110) : 1/(2a2) - (111) : 1/(3a2) • compacité : - rat = a/2 - c = π/6 ≈ 0.526 (001) • premiers voisins : 8 à la distance a3/2 • seconds voisins : 6 à la distance a • densité des rangées : - [100] : 1/a - [110] : 1/(2a) - [111] : 2/(3a) • densité des plans : - (100) : 1/a2 - (110) : 2/(2a2) - (111) : 1/(3a2) • compacité : - rat = a3/4 - c = π3/8 ≈ 0.680 (110) • premiers voisins : 12 à la distance a2/2 • seconds voisins : 6 à la distance a • densité des rangées : - [100] : 1/a - [110] : 2/(2a) - [111] : 1/(3a) • densité des plans : - (100) : 2/a2 - (110) : 2/(2a2) - (111) : 4/ (3a2) • compacité : - rat = a2/4 - c = π/(32) ≈ 0.740 (001) • Conclusions ? Le réseau cF est le plus dense.
LP 339 : Cohésion de la Matière correction TD 1 page 6 4. RESEAU HEXAGONAL COMPACT • Représenter la structure et donner le nombre d'atomes par maille. • Proposer des positions atomiques permettant de définir parfaitement la structure. Vue de dessus deux atomes par maille : - 0, 0, 0 - 1/3, 2/3, 1/2 ou Vue en perspective Vue de dessus en modèle de sphères pleines Les cercles en pointillés représentent les atomes en z = 1/2 • Calculer le rapport c/a de la structure hexagonale compacte Les atomes cerclés en pointillés sont dans le même plan (112-0). En utilisant le théorème de Pythagore, on détermine le rapport c/a : c/a = 8/3 a = 2 rat a/2· cos30° 2 rat = a c/2
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