Exo7 - Cours de mathématiques

cours

Mathématiques, Cours de Mathématiques (Serie 1 - Serie 4), Première S, Trimestre 1 Année scolaire 2016 / 2017 1ère Série 4 Maximum, minimum, extremum local Soient f une fonction définie sur un intervalle D et T0 un élément de D x B présente un maximum f(T0) en T0 si pour tout T réel de D : B(T f(x0)

cours de mathématiques en première - Maths : cours et

Le terme général d'une suite géométrique de premier terme un et de raison q est : Remarque : Si le premier terme de la suite est ur, on a: Si (un)est la suite de premier terme uo avec 12 et de raison , — on a: 12x On retrouve ainsi : 12x 3)Sens de variation = 12 50it une suite géométrique de raison q On suppose que > O

Mathématiques - unistrafr

matiques à l’attention des élèves de première année Vous pourrez d’ailleurs, si telle est votre préférence, faire une utilisation complémentaire de ce cours et d’un ou plu-sieurs ouvrages à vocation exhaustive Les exercices Tout au long des chapitres, vous êtes invités à résoudre un certain nombre d’exercices Toutefois

cours de mathématiques en première - Maths : cours et

Remarque : on aurait pu + — 3 d'où 6x2 2x — 6 3- Dérivée de "(ax + b) Soit u une fonction dérivable surD, a el b deux réels tels b D La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) = u(ax + b) estf (x) = u '(ax + b) Xa Remarque La fonctionf est la composée de la fonction u et de la fonction affine définie par ax 4 b Exemple

Exo7 - Cours de mathématiques

Cours de mathématiques Première année Cours et exercices de maths On compare donc les tables de vérité d’abord dans le cas où P est vrai (à gauche

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d’une première structure algébrique, avec la notion de groupe La seconde partie est entièrement consacrée à l’algèbre linéaire C’est un domaine totalement nouveau pour vous et très riche, qui recouvre la notion de matrice et d’espace vectoriel Ces concepts, à la fois profonds et

Dérivation – Fiche de cours - Physique et Maths

c Méthode pour déterminer une équation de droite L’équation d’une droite a pour expression : y=ax+b 1/2 Dérivation – Fiche de cours Mathématiques Spécialité Première générale - Année scolaire 2020/2021 https://physique-et-maths

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Cours de Mathématiques – Classe de Première S - Chapitre 8 - Trigonométrie De même, on appellera sinus de α, noté sin(α), l'ordonnée de M, soit y = sin(α) Cette définition correspond bien à celle apprise au collège pour les angles aigus En effet, OC est bien l’abscisse de M, et cos(̂AOM)= OC OM =OC car OM = 1

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Angles orientés, ours,c classe de première S Propriété : La mesure d'un angle en radian est proportionnelle à la mesure du même angle en degrés Remarques : Un radian correspond à la mesure de l'angle au centre d'un cercle trigonométrique intercepté par un arc de longueur d'une unité de longueur;

La classe de 1ère STI2D - Soutien scolaire Anacours

L’enseignement du français en classe de première poursuit, pour les élèves de toutes les sections du lycée d’enseignement général et technologique, les objectifs fondamentaux du français au lycée : une maîtrise sans cesse accrue de la langue, la connaissance de la littérature, la constitution d’une culture et la formation d’une

ALGÈBRE

COURS DE MATHÉMATIQUES

PREMIÈRE ANNÉEExo7

À la découverte de l"algèbreLa première année d"études supérieures pose les bases des mathématiques. Pourquoi se lancer dans une

telle expédition? Déjà parce que les mathématiques vous offriront un langage unique pour accéder à une

multitude de domaines scientifiques. Mais aussi parce qu"il s"agit d"un domaine passionnant! Nous vous

proposons de partir à la découverte des maths, de leur logique et de leur beauté.

Dans vos bagages, des objets que vous connaissez déjà : les entiers, les fonctions... Ces notions en apparence

simples et intuitives seront abordées ici avec un souci de rigueur, en adoptant un langage précis et en

présentant les preuves. Vous découvrirez ensuite de nouvelles théories (les espaces vectoriels, les équations

différentielles,...).

Ce tome est consacré à l"algèbre et se divise en deux parties. La première partie débute par la logique

et les ensembles, qui sont des fondamentaux en mathématiques. Ensuite vous étudierez des ensembles

particuliers : les nombres complexes, les entiers ainsi que les polynômes. Cette partie se termine par l"étude

d"une première structure algébrique, avec la notion de groupe.

La seconde partie est entièrement consacrée à l"algèbre linéaire. C"est un domaine totalement nouveau pour

vous et très riche, qui recouvre la notion de matrice et d"espace vectoriel. Ces concepts, à la fois profonds et

utiles, demandent du temps et du travail pour être bien compris.

Les efforts que vous devrez fournir sont importants : tout d"abord comprendre le cours, ensuite connaître

par cur les définitions, les théorèmes, les propositions... sans oublier de travailler les exemples et les

démonstrations, qui permettent de bien assimiler les notions nouvelles et les mécanismes de raisonnement.

Enfin, vous devrez passer autant de temps à pratiquer les mathématiques : il est indispensable de résoudre

activement par vous-même des exercices, sans regarder les solutions. Pour vous aider, vous trouverez sur le

site Exo7 toutes les vidéos correspondant à ce cours, ainsi que des exercices corrigés.

Au bout du chemin, le plaisir de découvrir de nouveaux univers, de chercher à résoudre des problèmes... et

d"y parvenir. Bonne route!

Sommaire

1 Logique et raisonnements

1 Logique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Raisonnements

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Ensembles et applications

1 Ensembles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Applications

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Injection, surjection, bijection

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Ensembles finis

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5 Relation d"équivalence

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Nombres complexes31

1 Les nombres complexes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2 Racines carrées, équation du second degré

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Argument et trigonométrie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 Nombres complexes et géométrie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4 Arithmétique45

1 Division euclidienne et pgcd

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2 Théorème de Bézout

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3 Nombres premiers

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4 Congruences

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5 Polynômes59

1 Définitions

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2 Arithmétique des polynômes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3 Racine d"un polynôme, factorisation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4 Fractions rationnelles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6 Groupes71

1 Groupe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2 Sous-groupes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3 Morphismes de groupes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4 Le groupeZ/nZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5 Le groupe des permutationsSn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7 Systèmes linéaires87

1 Introduction aux systèmes d"équations linéaires

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2 Théorie des systèmes linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3 Résolution par la méthode du pivot de Gauss

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

8 Matrices99

1 Définition

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

2 Multiplication de matrices

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3 Inverse d"une matrice : définition

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4 Inverse d"une matrice : calcul

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5 Inverse d"une matrice : systèmes linéaires et matrices élémentaires

. . . . . . . . . . . . . . 110

6 Matrices triangulaires, transposition, trace, matrices symétriques

. . . . . . . . . . . . . . . 117

9 L"espace vectorielRn123

1 Vecteurs deRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

2 Exemples d"applications linéaires

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

3 Propriétés des applications linéaires

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

10 Espaces vectoriels137

1 Espace vectoriel (début)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

2 Espace vectoriel (fin)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

3 Sous-espace vectoriel (début)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

4 Sous-espace vectoriel (milieu)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5 Sous-espace vectoriel (fin)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

6 Application linéaire (début)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

7 Application linéaire (milieu)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

8 Application linéaire (fin)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

11 Dimension finie167

1 Famille libre

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

2 Famille génératrice

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

3 Base

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

4 Dimension d"un espace vectoriel

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

5 Dimension des sous-espaces vectoriels

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

12 Matrices et applications linéaires

187

1 Rang d"une famille de vecteurs

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

2 Applications linéaires en dimension finie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

3 Matrice d"une application linéaire

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

4 Changement de bases

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

13 Déterminants211

1 Déterminant en dimension 2 et 3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

2 Définition du déterminant

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

3 Propriétés du déterminant

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

4 Calculs de déterminants

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

5 Applications des déterminants

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Index

Logique et

raisonnementsChapitre 1

Quelques motivations

Il est important d"avoir unlangage rigoureux. La langue française est souvent ambigüe. Prenons

quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

[PDF] Exo7 - Cours de mathématiques

ALGÈBRE

COURS DE MATHÉMATIQUES

PREMIÈRE ANNÉEExo7

Sommaire

1 Logique et raisonnements

1 Logique

2 Raisonnements

2 Ensembles et applications

1 Ensembles

2 Applications

3 Injection, surjection, bijection

4 Ensembles finis

5 Relation d"équivalence

3 Nombres complexes31

1 Les nombres complexes

2 Racines carrées, équation du second degré

3 Argument et trigonométrie

4 Nombres complexes et géométrie

4 Arithmétique45

1 Division euclidienne et pgcd

2 Théorème de Bézout

3 Nombres premiers

4 Congruences

5 Polynômes59

1 Définitions

2 Arithmétique des polynômes

3 Racine d"un polynôme, factorisation

4 Fractions rationnelles

6 Groupes71

1 Groupe

2 Sous-groupes

3 Morphismes de groupes

4 Le groupeZ/nZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5 Le groupe des permutationsSn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7 Systèmes linéaires87

1 Introduction aux systèmes d"équations linéaires

2 Théorie des systèmes linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3 Résolution par la méthode du pivot de Gauss

8 Matrices99

1 Définition

2 Multiplication de matrices

3 Inverse d"une matrice : définition

4 Inverse d"une matrice : calcul

5 Inverse d"une matrice : systèmes linéaires et matrices élémentaires

6 Matrices triangulaires, transposition, trace, matrices symétriques

9 L"espace vectorielRn123

1 Vecteurs deRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

2 Exemples d"applications linéaires

3 Propriétés des applications linéaires

10 Espaces vectoriels137

1 Espace vectoriel (début)

2 Espace vectoriel (fin)

3 Sous-espace vectoriel (début)

4 Sous-espace vectoriel (milieu)

5 Sous-espace vectoriel (fin)

6 Application linéaire (début)

7 Application linéaire (milieu)

8 Application linéaire (fin)

11 Dimension finie167

1 Famille libre

2 Famille génératrice

3 Base

4 Dimension d"un espace vectoriel

5 Dimension des sous-espaces vectoriels

12 Matrices et applications linéaires

1 Rang d"une famille de vecteurs

2 Applications linéaires en dimension finie

3 Matrice d"une application linéaire

4 Changement de bases

13 Déterminants211

1 Déterminant en dimension 2 et 3

2 Définition du déterminant

3 Propriétés du déterminant

4 Calculs de déterminants

5 Applications des déterminants

Logique et

Quelques motivations