La dérivée seconde- - HEC Montréal
L ˜ 1, la dérivée seconde ′′ L O 0 est négative La fonction est donc concave en ce point ce qui indique qu'il s'agit d'un maximum local Au point stationnaire L 2, la dérivée seconde ′′ : Û ; L P 0 est positive La fonction est convexe en ce point ce qui indique qu'il s'agit d'un
1 Fonction convexe, fonction concave
• f est concave sur I si, et seulement si, f′ est décroissante sur I Proriété 3 x a x0 b f′′(x) − 0 + f′ concave convexe Conséquence : Si f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I: • si la dérivée seconde est positive, alors la fonction f est convexe; • si la dérivée seconde est négative, alors la
Dérivation, continuité et convexité
— f est concave sur I si si, pour tous réels a et b de I, la portion de la courbe C située entre les points A(a;f(a)) et B(b;f(b)) est au-dessus de la sécante (AB) Définition a O f(a) b f(b) A B a O (a) b f(b) A B f est convexe f est concave Exemples : La fonction carré et la fonction exponentielle sont convexes sur R La fonction
DÉRIVÉES FONCTIONS CONVEXES
La fonction x ֏ x est une fonction concave sur [0 ; +∞[ La fonction x ֏ xe est une fonction convexe sur IR La fonction x ֏ ln(x) est une fonction concave sur ]0 ; +∞[ Exercice 06 On considère la fonction f représentée graphiquement ci-contre Indiquer, à partir de ce graphique si les
TES-L – Résumé informel du cours sur la convexité
dans une copie), concave si sa courbe forme une bosse Lorsqu'une fonction est convexe : si elle est dérivable, sa dérivée est croissante Si elle est deux fois dérivable, sa dérivée seconde est positive (au sens large) Et réciproquement Lorsqu'une fonction est concave : si elle est dérivable, sa dérivée est décroissante Si
Terminale Spé math Mercredi 20/01/2021 Convexité des
La dérivée seconde est négative sur 1; donc f est concave sur 1; Démonstration : Étudions le signe de la dérivée seconde par lecture graphique La dérivée seconde s’annule et change de signe pour les abscisses -2, 1 et 7 donc il y a trois points d’inflexion en ces
MATHEMATIQUES Dérivation, continuité et convexité : QCM
Exercice 3 La courbe C ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, d’une fonction f définie et deux fois dérivable sur l’intervalle [1; 7]
Chapitre 9 : Convexité
‚ Dire que f est concave sur I signifie que sur I, la courbe C est entièrement au-dessus de chacune de ses cordes Définition 3 Exemple 2 Parmi les fonctions usuelles, on a : O x C y f convexe O x y Cf concave O x y C f concave convexe La fonction carré x ÞÝÑx2 est convexe La fonction racine carrée x ÞÝÑ? x La fonction inverse x
CONVEXITÉ - Maths & tiques
La fonction f est concave sur I si, sur l'intervalle I, sa courbe représentative est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes Fonction convexe Fonction concave Propriétés : - La fonction carré xx2 est convexe sur - La fonction cube ⎦xx3 est concave sur ⎤−∞,0⎤⎦ et convexe sur ⎡⎣0;+∞⎡
CONVEXITÉ - Maths & tiques
- La fonction f est concave sur I si, sur l'intervalle I, sa courbe représentative est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes Fonction convexe Fonction concave 3) Propriétés Propriétés : - La fonction carré $ $# est convexe sur ℝ - [La fonction cube "$ $ est concave sur ]−∞ ;0] et convexe sur [0 ; +∞
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YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1CONVEXITÉ I. Fonction convexe et fonction concave Vidéo https://youtu.be/ERML85y_s6E Définitions : Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I. La fonction f est convexe sur I si, sur l'intervalle I, sa courbe représentative est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes. La fonction f est concave sur I si, sur l'intervalle I, sa courbe représentative est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes. Fonction convexe Fonction concave Propriétés : - La fonction carré
x!x 2 est convexe sur . - La fonction cube x!x 3 est concave sur -∞,0 et convexe sur0;+∞
. - La fonction inverse x! 1 x est concave sur -∞;0 et convexe sur0;+∞
. - La fonction racine carrée x!x est concave sur0;+∞
. - Admis - Notation : La dérivée d'une fonction dérivée f ' se note f ''. Propriété : Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I. La fonction f est convexe sur I si sa dérivée f ' est croissante sur I, soit f''(x)≥0
pour tout x de I. - Admis -YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr2 Méthode : Etudier la convexité d'une fonction Vidéo https://youtu.be/8H2aYKN8NGE Soit la fonction f définie sur
par f(x)= 1 3 x 3 -9x 2 +4 . Etudier la convexité de la fonction f. Pour tout x de , on a f'(x)=x 2 -18x . Pour tout x de , on a f''(x)=2x-18 qui s'annule pour x=9Pour tout x≥9
f''(x)≥0 f ' est donc strictement décroissante sur -∞;9 et donc f est concave sur -∞;9 . f ' est donc strictement croissante sur 9;+∞ et donc f est convexe sur 9;+∞. II. Point d'inflexion Vidéo https://youtu.be/r8sYr6ToeLo Définition : Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I. Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente en ce point. Remarque importante : Au point d'inflexion, la fonction change de convexité. Exemple : On considère la fonction cube
x!x 3 . La tangente au point O(0,0) est l'axe des abscisses. Pour , la courbe est en dessous de sa tangente. x≥0, la courbe est au-dessus de sa tangente. La tangente à la courbe en O traverse donc la courbe. Le point O est un point d'inflexion de la courbe de la fonction cube. Méthode : Etudier la convexité pour résoudre un problème Vidéo https://youtu.be/_XlgCeLcN1k Une entreprise fabrique des clés USB avec un maximum de 10000 par mois. Le coût de fabrication C (en milliers d'euros) de x milliers de clés produites s'exprime par :
C(x)=0,05x
3 -1,05x 2 +8x+4. 1) À l'aide de la calculatrice graphique, évaluer la convexité de la fonction C. En déduire si la courbe possède un point d'inflexion. 2) Démontrer ces résultats. 3) Interpréter les résultats obtenus. 1) La fonction semble concave sur l'intervalle [0 ; 7] et convexe sur l'intervalle [7 ; 10]. La courbe semble posséder un point d'inflexion pour
x=7 . 2)C(x)=0,05x
3 -1,05x 2 +8x+4C'(x)=0,15x
2 -2,1x+8C''(x)=0,3x-2,1
Or0,3x-2,1=0
pour x=7 . On peut ainsi résumer les variations de C' et la convexité de C dans le tableau suivant : x0 7 10
C''(x)
- 0 + C'(x) Convexité de C concave convexeC(7)=25,7
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr4Ainsi, le point de coordonnées (7 ; 25,7) est un point d'inflexion de la courbe. 3) Après le point d'inflexion, la fonction est convexe, la croissance du coût de fabrication C s'accélère. Avant le point d'inflexion, la fonction est concave, la croissance du coût de fabrication ralentie. Ainsi, à partir de 7000 clés produites, la croissance du coût de fabrication s'accélère. Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
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