Implication, équivalence, condition nécessaire, suffisante
Implication, équivalence, condition nécessaire, suffisante A la suite des devoirs sur la négation, l’implication et l’équivalence, les lignes qui suivent seront peut-être une clarification, ou, au moins, un résumé
Condition nécessaire et suffisante pour que certain groupe de
Condition nécessaire et suffisante Lemme 2 1 ([14]) Le rang du 2-groupe de classes de K est : s+s 0 si d est pair et p ≡ 1 (mod 8) pour tout p ∈ S 0 s+s 0 −1 si d est pair et il existe p
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1 Condition nécessaire/condition suffisante Cours Dans ce chapitre, nous allons approfondir la notion de phrase conditionnelle (fondamentale en logique mathématique) et préciser le vocabulaire attaché à ce type d’énoncé
Logique : Conditions nécessaires et conditions suffisantes
Eau et soleil : respectivement condition nécessaire de vie humaine et condition suffisante de lumière extérieure Une condition suffisante CS pour avoir un résultat R est une proposition qui, lorsqu’elle est accomplie, entraîne la réalisation du résultat R Par exemple,la
La sensibilisation, une condition nécessaire à une meilleure
La sensibilisation des populations comme condition préalable à la mise en place / réussite des projets Les constats de départ : - Faible préoccupation environnementale à Wallis et Futuna - Peu de réglementation applicable sur le territoire - Absence de contraintes Les conséquences : Pratiques et comportements ayant des impacts sur
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diverses définitions, dimensions et mécanismes du chômage Le plan répond directement à la question, de façon progressive, en trois parties Plan détaillé I Elle en constitue certainement une condition nécessaire A Logique de la relation croissance-emploi et chômage keynésien 1
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Donner une condition nécessaire et suffisante sur les réels a, b, c et d pour que la famille (u1,u2,u3,u4) soit libre 7 Une famille à paramètre ♪ Soient n 2N, E un K-ev, (xi)1ÉiÉn une famille libre de E et (fi1, ,fin) 2Rn On pose y ˘ Xn k˘1 fikxk Donner une condition nécessaire et suffisante sur les fii pour que (y ¯xi
Trigonalisation et diagonalisation des matrices
Etant semblables, les matrices´ A et T ont mˆeme trace et m ˆeme d eterminant, on en d´ eduit´ que la trace (resp le determinant) de´ A est ´egale a la somme (resp le produit) des valeurs` propres, comptees avec leur ordre de multiplicit´ e
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Implication, équivalence, condition nécessaire, susante
A la suite des devoirs sur la négation, l'implication et l'équivalence, les lignes qui suivent seront peut-être une clarification,
ou, au moins, un résumé.Condition susante
:Lorsque deux propositionsetsont telles que : siest vraie,l'est forcément aussi, on dira qu'il sutquesoit vraie pour quele soit;est une condition susante deSe souvenant de plus que lorsque la véracité deentraîne celle deon dit queimpliqueet on noteil vient
que : est synonyme deest une condition susante deContraposée
Pour bien comprendre le sene du mot nécessaire, il est utilede connaître le concept de contraposition. Supposons que
ce qui signifiequesiest vraie,l'est forcément aussi. On comprendra alors aisément que siest fausse,ne peut pas
être vraie.
Cela se traduit en fait par : sialors
.Enfaitetsont même synonymes (démonstration)Un exemple très simple :2
24Dès lors,
242Logique.non?
On dit que
est la contraposée de l'implicationUne implication et sa contraposée sont logiquement équiva-
lentes (synonymes). Il arrive que l'une soit plus simple à démontrer que l'autre. Ce peut être une astuce intéressante.
Comment démontrer que
2 2 4qui est bien la contraposée de la première implication.Condition nécessaire
:Voyons comment peut se traduire le fait queest une condition nécessaire de"Il faut manger pour vivre" se traduit par : "manger est nécessaire pour vivre", c'est à dire que celui qui ne mange pas ne
peut pas vivre.On voit donc que, dans l'acception courante,est nécessaire àdans le cas oùne peut être vraie qu'à condition que
le soit.En d'autres termes, siest une condition nécessaire dealorsfausse impliquefausse. Or on sait quefausse est
synonyme de vraieetdemêmepour La propositionfaussefausse est donc logiquement équivalente à qui comme on l'a vu ci-dessus est logiquement équivalente àpuisque c'est sa contraposée.Pour récapitulerest nécessaire àlorsque
Et en inversant les rôles deet peut se traduire indiéremment par :Fest une condition susante de
Fest une condition nécessaire de
Condition nécessaire et susante - Equivalence logique :Lorsqu'on a à la fois½(1) (2),on voit que : l'implication(1)traduit le fait queest une condition susante del'implication(2)traduit le fait queest une condition nécessaire de½l'implication(1)se lit :est une condition susante de
l'implication(2)se lit :est une condition nécessaire deon dit : est une condition nécessaire et susante deMais on aurait pu écrire aussi que :½l'implication(1)se lit :est une condition nécessaire de
l'implication(2)se lit :est une condition susante dedonc : est une condition nécessaire et susante de On dira queetsont équivalente et on notera ceci : 1Précautions d'emploi:
Ainsi,signifie
ET une équivalence logique est donc quelque chose de fort car elle sous-entend deux implications("marche avant et marche arrière"), ou si vous préférez un statut de "nécessité" et de "susance". Les locutions suivantes
ont alors rigoureusement le même sens :est équivalente à est une condition nécessaire et susante de est une
condition nécessaire et susante de est vraie si et seulement si est vraieest vraie si et seulement siest vraie.La locution "si et seulement si" qui a donc un sens beaucoup plus fort que le simple si.Il ne faut écrire une équivalence que lorsqu'on est certain de la double implication. De plus, une équivalence logique est une
prise de risque, puisqu'elle est plus restrictive que la simple implication. En tant que telle, il ne faut l'utiliser que lorsque
c'est indispensable et se contenter de la simple implication lorsqu'elle sut.Quelques exemples classiques :
F2 24est vraie, mais2
24est fausse car
242est fausse. L'implication qui serait vraie
serait 242 2L'équivalence qui serait vraie serait donc
2 42 2F 2 =3=3est faux car3est aussi solution de l'équation. On a donc bien=3 2 =3mais 2 =3;=3
Là encore il faudrait écrire
2 =3=3ou=3 FLe théorème de Pythagore et sa réciproque s'écriraientrectangle en 2 2 2 et l'interdiction deméler dans une mêm phrase symboles mathématiques et langues française amènerait plutôt si et seulement si à la lace du
symboleFLe théorème de Thalès possède aussi une réciproque mais il n'est pas possible de l'énoncer à l'aide d'une équivalence. En
eet : O A B A' B' 0 0 0 0 0 0 0 0