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26 novembre 2008
La démarche d'investigation en mathématiques
P. KOBER- IUFM Nice
La démarche d'investigation
en mathématiques
26 novembre 2008
La démarche d'investigation en mathématiques
P. KOBER- IUFM Nice
1)Qu'est ce que la démarche d'investigation en
sciences ?
2)Qu'est-ce que faire des mathématiques ?
- Pour un chercheur - Dans l'enseignement
3)Qu'est ce que chercher ?
4)Les programmes et la place :
- Des situations problèmes - Des problèmes pour chercher
5) Des exemples de problèmes pour chercher dans
nos classes
Plan de cette intervention
26 novembre 2008
La démarche d'investigation en mathématiques
P. KOBER- IUFM Nice
1) Qu'est ce que la démarche d'investigation en sciences ?
Mise en avant par les programmes 2002 la démarche d'investigation se caractérise par :
Une question
ouverte
Une vraie
recherche par les élèves
Des réponses qui
deviennent des connaissances
Observations
Expérimentations
Fabrications
Recherche sur documents
Enquêtes, visites
Référence à! "!La Main à la Pâte!»,
26 novembre 2008
La démarche d'investigation en mathématiques
P. KOBER- IUFM Nice
En biologie, sciences physiques, technologie la démarche d'investigation est acceptée assez facilement. Elle est "!conforme!»! aux représentations que l'on se fait de ces disciplines dites "!sciences expérimentales!», de l'histoire scolaire de ces disciplines. Par contre, on parle rarement d'expériences dans l'enseignement des mathématiques et la vision que l'on a de cette discipline ne favorise pas cette démarche.
1) Qu'est ce que la démarche d'investigation en sciences ?
26 novembre 2008
La démarche d'investigation en mathématiques
P. KOBER- IUFM Nice
Qu'est ce que faire des
mathématiques ?
Et pourtant,
26 novembre 2008
La démarche d'investigation en mathématiques
P. KOBER- IUFM Nice
•Il passe beaucoup de temps à se familiariser avec une situation, •Il manipule, joue avec les objets mathématiques (des objets abstraits qui acquièrent une réalité, qu'il peut observer, manipuler). •Il expérimente, puis, une fois qu'il a compris que quelque chose a des chances d'être vrai, •Il passe à la phase de démonstration qui peut durer plusieurs années : il essaye, il rate,....
L'activité d'un mathématicien chercheur :
Très schématiquement son travail consiste en : - 45 % d'observation, - 45 % de démarche expérimentale - 10 % de démonstration.
2) Qu'est-ce que faire des mathématiques ? Pour un chercheur, pour un élève ?
26 novembre 2008
La démarche d'investigation en mathématiques
P. KOBER- IUFM Nice
•Dans l'enseignement traditionnel, toute cette phase d'approche, d'expérimentation, de tâtonnement a tendance à disparaître. • Entre le problème posé aux élèves et la solution exposée, c'est le "!trou noir!». "!Mais comment arrive t-on à cette solution ?!»
La recherche, c'est ce qui ne se voit pas !
• L'activité mathématique se réduit souvent en classe à l'application directe d'une connaissance, l'exécution de taches, l'utilisation de formules, de "!recettes!».
2) Qu'est-ce que faire des mathématiques ? Pour un chercheur, pour un élève ?
26 novembre 2008
La démarche d'investigation en mathématiques
P. KOBER- IUFM Nice
Mais qu'est ce que
chercher ?
Et peut-on chercher avec des
connaissances de l'école élémentaire ?
Je vous propose 3 défis pour chercher :
26 novembre 2008
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P. KOBER- IUFM Nice
Défi n°1
•Je choisis le nombre 12 •12 peut se décomposer additivement de plusieurs façons : •10 + 2 ; 9 + 3 ; 5 + 6 + 1 ; .... •Quelle est la décomposition qui permet d'obtenir le plus grand produit des termes ?
3) Mais qu'est ce que chercher ?
26 novembre 2008
La démarche d'investigation en mathématiques
P. KOBER- IUFM Nice
Premiers essais :
12 = 8 + 4P = 32
12 = 7 + 5P = 35
12 = 4 + 3 + 5P = 60
12 = 4 + 3 + 3 + 2P = 72
12 = 3 + 3 + 3 + 3P = 81
12 = 3 + 1 + 3 + 5P = 45
Et si on prenait comme nombre, 25...
3) Mais qu'est ce que chercher ? Défi n°1
"!Plus il y a de termes, plus le produit est grand!» "!Cela ne sert à rien de mettre des 1!» "!Il vaut mieux 3 + 2 que 5!» "!Il vaut mieux 3 + 3 que 4 + 2!» ....
26 novembre 2008
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P. KOBER- IUFM Nice
Défi n°2
•Vous disposez d'une 1/2 feuille A4 •Comment, en utilisant uniquement le pliage, pouvez vous marquer avec votre crayon les 3 sommets d'un triangle équilatéral ?
3) Mais qu'est ce que chercher ?
26 novembre 2008
La démarche d'investigation en mathématiques
P. KOBER- IUFM Nice
B A B A C A B
3) Mais qu'est ce que chercher ? Défi n°2
26 novembre 2008
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P. KOBER- IUFM Nice
Défi n°3
•On va jouer avec 2 dés •Je vais lancer ces 2 dés, et faire la somme des 2 nombres obtenus, •Mais avant vous aller parier sur un résultat : - S'il sort, vous marquez 1 point, - Sinon, vous ne marquez rien •Allez-y, pariez !
3) Mais qu'est ce que chercher ?
26 novembre 2008
La démarche d'investigation en mathématiques
P. KOBER- IUFM Nice
98557117387
69678721064
689331178127
105712279956
76449781076
271167310958
355412776129
65761133874
11379265862
7612711210753
3) Mais qu'est ce que chercher ? Défi n°3
26 novembre 2008
La démarche d'investigation en mathématiques
P. KOBER- IUFM Nice
1211109876
111098765
10987654
9876543
8765432
7654321
654321+
3) Mais qu'est ce que chercher ? Défi n°3
26 novembre 2008
La démarche d'investigation en mathématiques
P. KOBER- IUFM Nice
Ainsi, chercher c'est :
• Identifier un problème, •Expérimenter sur des exemples, •Conjecturer un résultat, •Bâtir une expérimentation, •Mettre en forme une solution, •Contrôler les résultats obtenus •Évaluer leur pertinence,...
3) Mais qu'est ce que chercher ?
26 novembre 2008
La démarche d'investigation en mathématiques
P. KOBER- IUFM Nice
Qu'en est-il dans l'enseignement
des mathématiques ?
Inspection Générale de mathématiques
"!L'objectif de l'enseignement des mathématiques est de développer conjointement et progressivement les capacités d'expérimentation et de raisonnement, d'imagination et d'analyse critique.!»
26 novembre 2008
La démarche d'investigation en mathématiques
P. KOBER- IUFM Nice
Bandeau des programmes 2008 cycle 3:
"!La pratique des mathématiques développe le goût de la recherche et du raisonnement, l'imagination et les capacités d'abstraction, la rigueur et la précision.!»
À l'école maternelle :
"!l'enfant découvre le monde proche ; Il observe, il pose des questions et progresse dans la formulation de ses interrogations vers plus de rationalité. Il apprend à adopter un autre point de vue que le sien propre et sa confrontation avec la pensée logique lui donne le goût du raisonnement.!» À l'école élémentaire, la résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l'activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s'exerce à tous les stades de l'apprentissage.
4) Les programmes et la place des problèmes
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La démarche d'investigation en mathématiques
P. KOBER- IUFM Nice
Des problèmes aux différents stades de l'apprentissage
Construire des
connaissances
Réinvestir des
connaissances
Développer un
comportement de recherche
Situation-
problème
Problème
d'application directe
Problème
complexe
Application
directe d'une connaissance
Réinvestissement
de connaissances mais tâche plus complexe (données multiples, étapes intermédiaires non indiquées,...)
Problème de
recherche
Utilisation de
connaissances assimilées
4) Les programmes et la place des problèmes
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La démarche d'investigation en mathématiques
P. KOBER- IUFM Nice
La situation-problème
Objectif : construire des connaissances
• La situation proposée vise une connaissance nouvelle. • Les réponses à priori des élèves, sont fondées sur des représentations fausses, ou sur l'utilisation de connaissances valables dans un autre domaine •La situation est auto-validante
4) Les programmes et la place des problèmes
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La démarche d'investigation en mathématiques
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Deux exemples de situations problèmes
•En CM2 :
Le puzzle
•En maternelle :
A chaque voiture, son garage
4) Les programmes et la place des problèmes
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La démarche d'investigation en mathématiques
P. KOBER- IUFM Nice
Par groupe de 4 : un puzzle à découper et à reconstituer E AC D B Les pièces sont mesurées (Le côté du carré A mesure 4 cm). Il faut maintenant agrandir ce puzzle. Dans le puzzle agrandi, la pièce carrée A aura 6 cm de côté.
4) Les programmes et la place des problèmes (les situations problèmes)
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La démarche d'investigation en mathématiques
P. KOBER- IUFM Nice
• Ici la situation proposée vise une connaissance nouvelle • Les réponses à priori des élèves, sont fondées sur des représentations fausses : "!Pour agrandir, j'ajoute!» •Cette procédure que l'élève pense juste, ne permet pas d'obtenir le puzzle agrandi.
4) Les programmes et la place des problèmes (les situations problèmes)
26 novembre 2008
La démarche d'investigation en mathématiques
P. KOBER- IUFM Nice
À chaque voiture son garage
4) Les programmes et la place des problèmes (les situations problèmes)
26 novembre 2008
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P. KOBER- IUFM Nice
Des problèmes pour chercher
L'objectif des problèmes pour chercher, n'est pas la construction d'une connaissance nouvelle, mais le réinvestissement de connaissances et le développement d'un comportement de recherche. À travers la résolution de ces problèmes, la modélisation de quelques situations et l'argumentation, les élèves peuvent prendre conscience petit à petit de ce qu'est une véritable activité mathématique.
4) Les programmes et la place des problèmes
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PHYSIQUE ET CHIMIE EN LYC E DENSEIGNEMENT G N RAL