Positions relatives de droites et de plans de lespace
Si E et F sont deux points distincts d'un plan p de l'espace alors la droite (EF) est contenue dans le plan p On peut utiliser les théorèmes de géométrie plane dans tout plan de l'espace 2 Positions relatives de deux plans de l'espace Deux plans p1 et p2 de l'espace peuvent être : 1 confondus: p1=p2 et p1∩p2=p1=p2 2
Positions relatives de droites et plans Parallélisme dans l
Positions relatives de droites et plans Parallélisme dans l’espace EXERCICE 3 1 Quelle est la nature du quadrilatère AEGC ? AEHD est un carré donc (AE) et (HD) sont parallèles DHGC est un carré donc (CG) et (HD) sont parallèles Par suite, (AE) et (CG) sont parallèles
Position relative de droites et plans Cours TS
Si un plan contient deux points distincts A et de l’espace , alors il contient la droite ) On note et on lit « la droite ) est incluse dans le plan P » Tous les résultats de géométrie plane s’appliquent dans chaque plan de l’espace I Droites et plans 1 Position relative de deux droites
Positions relatives de droites et plans de l’espace
Position relatives de droites et plans IV Intersection Lorsque l’intersection (partie commune) de droites et de plans et non vide il s’agira de préciser cette intersection en donnant sa nature et son nom Exercice 1 Exercices en ligne pour construire et visualiser les intersections dans l’espace : site du lycée Valin V Exercices
Positions relatives de droites et plans de lespace
Position relatives de droites et plans IVIntersection Lorsque l'intersection (partie commune) de droites et de plans et non vide il s'agira de préciser cette intersection en donnant sa nature et son nom Exercice 1 Exercices en ligne pour construire et visualiser les intersections dans l'espace :site du lycée alinV VExercices Exercice 2
Géométrie dans lespace
Quatre points de l'espace sont dits coplanaires lorsqu'ils appartiennent à un même plan Deux droites de l'espace sont dites coplanaires lorsqu'elles sont incluses dans un même plan 1 2 Position relative de deux droites Droites coplanaires Droites non coplanaires Droites sécantes Droites parallèles Droites strictement parallèles Droites
Chapitre 13 Droites, plans et vecteurs de l’espace
1) Position relative de deux droites de l’espace La différence fondamentale entre la géométrie du plan et la géométrie de l’espace est que deux droites de l’espace D et D ′ peuvent être non coplanaires c’est-à-dire qu’il n’existe pas de plan contenant D et D ′
VECTEURS, DROITES ET PLANS DE LESPACE
IV Positions relatives de droites et de plans de l’espace 1) Positions relatives de deux droites Propriété : Deux droites de l'espace sont soit coplanaires (dans un même plan) soit non coplanaires d 1 et d 2 sont coplanaires d 1 et d 2 sont sécantes d 1 et d 2 sont parallèles d 1 et d 2 sont strictement parallèles
Géométrie dans l’espace - ac-nancy-metzfr
•Position relative de deux droites, de deux plans, d'une droite et d'un plan Niveau : 2nde Prérequis : • Connaître les notions de droites et plans dans l’espace Durée prévue : 1 séance d'une heure Objectifs : • Explorer les positions relatives de droites et de plans dans l’espace à l’aide d’un cube
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Terminale S
4 51.1. Plan de l'espace ...................................................................................................................................... 51.2. Position relative de deux droites ............................................................................................................... 6
1.3. Exercice ................................................................................................................................................. 61.4. Position relative de deux plans ................................................................................................................. 71.5. Exercice ................................................................................................................................................. 7
2.1. Droites parallèles à un plan ..................................................................................................................... 72.2. Exercice : Montrer qu'une droite est parallèle à un plan .............................................................................. 82.3. Exercice : Utiliser le théorème du toit dans un tétraèdre .............................................................................. 9
2.4. Plans parallèles ..................................................................................................................................... 102.5. Exercice : Demontrer que deux plans sont paralleles ............................................................................. 10
2.6. Exercice : Construire la section d'un solide par un plan ............................................................................. 10
3.1. Droites orthogonales .............................................................................................................................. 113.2. Orthogonalité Droite-Plan ...................................................................................................................... 11
3.3. Plan médiateur ..................................................................................................................................... 123.4. Exercice : Démontrer une orthogonalité .................................................................................................... 12
13 19 2327
30
Rappel
Fondamental
Définition
coplanaires coplanaires On considère le parallélépipède suivant : Fondamental : Dans l'espace, deux plans peuvent être ... On considère le parallélépipède suivant :Fondamental
Fondamental : Théorème du toit
Attention
d d' d//d' [Solution n°1 p 30] (IK)(ABC)Indice :
On pourra montrer que est parallèle à une droite du plan (IK)(ABC) [Solution n°2 p 30] [Solution n°3 p 30]Indice :
On pourra utiliser le théorème du toit
Fondamental : Premier théorème
Fondamental : Second théorème
[Solution n°4 p 30]Indice :
Pour prouver que deux plans sont paralleles, il suffit de trouver deux droites secantes d'un plan qui
sont paralleles a l'autre plan. [Solution n°5 p 31]Définition
orthogonalesRemarque
perpendiculaireExemple
ABCDEFGH(AE)(GH)
(AE)(GH)Fondamental
Définition
orthogonale à un planComplément
Exemple
(d)BCGF(BM)(CM)Fondamental : Propriétés
Définition
[AB]ABFondamental
[AB](AB) [AB] [Solution n°6 p 32] ABCD (CD)(AB)Indices :
Dans un tétraèdre régulier, toutes les arrêtes sont de la même longueur.On pourra construire le point milieu de I[CD]
Définition
colinéairestRemarque
Complément
dépendants indépendantslibres [Solution n°7 p 32] [Solution n°8 p 33]Indice :
On pourra remarquer que
[Solution n°9 p 33]IJKL(AC)(IJKL)
Indice :
On pourra exprimer en fonction de
[Solution n°10 p 33] (BD)(IJKL)Fondamental : Caractérisation d'une droite
M vecteur directeurFondamental : Caractérisation d'un plan
M xyAFondamental : Conséquences
[Solution n°11 p 34]Indice :
On pourra utiliser de manière astucieuse la relation de Chalses [Solution n°12 p 34] [Solution n°13 p 34]Indice :
Si une droite est incluse dans un plan , tout vecteur directeur de la droite est un vecteur du plan Cela est une conséquence directe de la . dernière propriété vue sur cette page* - p.27 [Solution n°14 p 34] [Solution n°15 p 35]Indice :
On pourra utiliser un raisonnement par l'absurde.
Définition
coplanaires ABCDExemple
coplanairesFondamental
coplanairesComplément : Démonstration
ABCD ABC ABCD DAttention
Définition
indépendantslibres Dans le cube ci-contre, cochez les triplets de 3 vecteursFondamental
coordonnéesMAComplément : Démonstration
ABCDM ABC A M (ABC)H xyz ABFondamental : Coordonnées d'un vecteur
Fondamental : Coordonnées du milieu d'un segment [AB]Fondamental : Norme d'un vecteur
Complément : Avec les coordonnées de vecteur [Solution n°16 p 35] [Solution n°17 p 35]ABCDABCD
Fondamental
A ADéfinition
représentation paramétriqueExemple
tRemarque
[Solution n°18 p 35] (AB)Indice :
Un vecteur directeur de la droite est (AB)
[Solution n°19 p 35] [Solution n°20 p 36]Indice :
Il faut déterminer s'il existe deux paramètres et permettant à un même triplet de coordonnées tt'
de vérifier les deux représentations paramétriques.(x ;y ;z) [Solution n°21 p 36] [Solution n°22 p 36] [Solution n°23 p 37]