[PDF] Les Equations de Maxwell dans le vide - sti-beziersfr

1 Les ¶equations de Maxwell dans le vide

1 Les ¶equations de Maxwell dans le vide Ce chapitre vise µa donner une vision g¶en¶erale des¶equations de Maxwell afln d’arriver le plus rapidement possible au coeur du cours : la propagation des ondes¶electromagn¶etiques

Les équations de Maxwell (dans le vide)

Les équations de Maxwell (dans le vide sans charges ni courant) Équations de propagations dans le vide Énergie Électromagnétique : Densité locale d’énergie (J/m3) courant d’énergie (W/m2) et

Chapitre III: les équations de Maxwell dans le vide

Chapitre III: les équations de Maxwell dans le vide Dans ce chapitre, nous allons nous intéresser aux lois qui constituent la base de l’électromagnétisme à savoir les équations de Maxwell Celles-ci contiennent l’essence même de la nature et de la structure du champ électromagnétique

Les Equations de Maxwell dans le vide - sti-beziersfr

EM9 - Equations de Maxwell dans le vide page 3/8 2 Forme int´egrale des ´equations de Maxwell dans le vide 2 1 Equation de Maxwell-Gauss Considerons une surface ferm´ee S delimitant un volume V et notons −→ dS un´el´ement de surface orient´e suivant la normale sortante Calculons le flux du

Les équations de Maxwell - AlloSchool

CHAPITRE XIII LES ÉQUATIONS DE MAXWELL I La conservation de la charge I 1 Une première approche 1D L’expérience en physique dégage dans tous les cas de figure que la charge électrique est un invariant : elle ne disparaît, ni n’apparaît pour un système fermé

Les equations de Maxwell´

2 4 Les equations de Maxwell dans le vide et l’´ equation des ondes ´ Dans le vide D = e 0 E et H = (1=m 0) B , tandis que j et r sont nuls On peut donc exprimer les

Equations de Maxwell

Dans le vide, en z = 0, règne le champ électrique uniforme : - et on néglige le courant de déplacement devant le courant volumique de conduction - Dans le conducteur, on cherche un champ de la forme 2 2 Détermination du champ électrique A partir des équations de Maxwell, on établit l’équation de diffusion:

Les équations de Maxwell

dans l'équation de Maxwell-Ampère Les équations de Maxwell-flux et Maxwell-Faraday sont inchangées; Conséquences: divj & =0: l'intensité du courant est conservative dans le cadre de l'A R Q P C'est la base de l'électrocinétique : l'intensité i(t) est la même en tout point d'un circuit non dérivé 3 Solutions

Electromagnétisme Chap1 Les équations de Maxwell

4 1 Equation locale de conservation de l’énergie électromagnétique dans le vide A partir des équations de Maxwell, on peut établir l’équation suivante (admis) Dans le vide: est l’énergie par unité de volume stockée par le champ électromagnétique

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EM9 - Equations de Maxwell dans le vide page 1/8

Les Equations de Maxwell dans

le vide

Table des mati`eres

1 Equations de Maxwell dans le vide2

2 Forme int´egrale des ´equations de Maxwell dans le vide3

2.1 Equation de Maxwell-Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Equation de Maxwell-Flux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3 Equation de Maxwell-Faraday. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.4 Equation de Maxwell-Amp`ere. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Equation de conservation de la charge ´electrique5

4 Potentiels ´electromagn´etiques6

5 Description ´energ´etique du champ ´electromagn´etique6

5.1 Densit´e volumique d"´energie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5.2 Bilan ´energ´etique sous forme locale. . . . . . . . . . . . . . . 7

5.3 Vecteur de Poyting. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5.4 Bilan ´energ´etique sous forme int´egrale et interpr´etation physique8

L"´etude de l"´electromagn´etisme statique et des ph´enom`enes d"induction per- mettent d"´etablir des ´equations locales pour le champ ´electromagn´etique. Ces ´equations, propos´ees par James ClerkMaxwell

1dans une s´erie de publica-

tions s"´etalant de 1856 `a 1864, constituent l"expression mˆeme des lois fonda- mentales de l"´electromagn´etisme classique, permettant de d´ecrire la structure du champ ´electromagn´etique.

1. James Clerk Maxwell (13 juin 1831 `a´Edimbourg, en´Ecosse - 5 novembre 1879)

est un physicien et math´ematicien ´ecossais. Il est principalement connu pour avoir unifi´e

en un seul ensemble d"´equations, les ´equations de Maxwell, l"´electricit´e, le magn´etisme

et l"induction, en incluant une importante modification du th´eor`eme d"Amp`ere. Cefut `a

l"´epoque le mod`ele le plus unifi´e de l"´electromagn´etisme. Il est ´egalement c´el`ebre pour avoir

interpr´et´e, dans un article en quatre parties publi´e dans Philosophical Magazine intitul´e

On Physical Lines of Force, la lumi`ere comme ´etant un ph´enom`ene ´electromagn´etique en

s"appuyant sur les travaux de Michael Faraday. Il a notamment d´emontr´e queles champs ´electriques et magn´etiques se propagent dans l"espace sous la forme d"une onde et `a la vitesse de la lumi`ere. ATS - Sciences Physiques Lyc´ee Jean Moulin, B´eziers

EM9 - Equations de Maxwell dans le vide page 2/8

Nous ´etudions dans ce chapitre la validit´e de ces ´equations, qui s"ap- parentent aux ´equations du mouvement pour le champ ´electromagn´etique. Nous d´evelopperons ´egalement l"aspect ´energ´etique associ´e au champ ´elec- tromagn´etique.

1 Equations de Maxwell dans le vide

Ces ´equations portent le nom d"´equations deMaxwelldans le vide. Cette d´enomination est trompeuse car ces ´equations sont valables tout le temps. Elles s"appliquent en pr´esence de charges et de courantc"est `a dire dans un vide qui contient de la mati`ere. On les nomme ainsi paropposition aux ´equations deMaxwelldans les milieux que l"on n"´etudiera pas cette ann´ee. Le socle de l"´electromagn´etisme repose sur cinq ´equations : les quatre ´equations de Maxwell et l"expression de la force de Lorentz. Ces ´equations sont ´ecrites sous leur forme locale ci-dessous, o`uρd´esigne la densit´e volu- mique de charge et-→jla densit´e volumique de courant de conduction.

L"´equation de Maxwell-Gaussnot´ee (MG) :

div-→E=ρ?0 L"´equation de Maxwell-Flux magn´etiquenot´ee (MΦ) : div-→B= 0

L"´equation de Maxwell-Faradaynot´ee (MF) :

rot-→E=-∂-→B ∂t

L"´equation de Maxwell-Amp`erenot´ee (MA) :

∂t

La force de Lorentz(rappel) :

-→FL=q?-→E+-→v?-→B? ATS - Sciences Physiques Lyc´ee Jean Moulin, B´eziers

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2 Forme int´egrale des ´equations de Maxwell

dans le vide

2.1 Equation de Maxwell-Gauss

Considerons une surface ferm´eeSdelimitant un volumeVet notons-→dS un ´el´ement de surface orient´e suivant la normale sortante. Calculons le flux du champ ´electrique sortant de la surfaceSen utilisant le th´eor`eme deGreen- Ostrogradsky(cf. formulaire) et l"´equation deMaxwell-Gauss:

2.2 Equation de Maxwell-Flux

Considerons une surface ferm´eeSdelimitant un volumeVet notons-→dS un ´el´ement de surface orient´e suivant la normale sortante. Calculons le flux du champ magn´etique sortant de la surfaceSen utilisant le th´eor`eme de Green-Ostrogradsky(cf. formulaire) et l"´equationMaxwell-Flux: ATS - Sciences Physiques Lyc´ee Jean Moulin, B´eziers

EM9 - Equations de Maxwell dans le vide page 4/8

2.3 Equation de Maxwell-Faraday

Soit un contourCferm´e et fixe et notonsSune surface (fixe) s"appuyant sur le contourCet dont la normale est orient´ee, `a partir de l"orientation de C, suivant la r`egle du tire-bouchon. Calculons la circulation surCdu champ ´electrique-→Een utilisant le th´eor`eme deStokes(cf. formulaire) et l"´equation

Maxwell-Faraday:

2.4 Equation de Maxwell-Amp`ere

Soit un contourCferm´e et fixe et notonsSune surface (fixe) s"appuyant sur le contourCet dont la normale est orient´ee, `a partir de l"orientation de C, suivant la r`egle du tire-bouchon. Calculons la circulation surCdu champ magn´etique-→Een utilisant le th´eor`eme deStokes(cf. formulaire) et l"´equa- tionMaxwell-Amp`ere: ATS - Sciences Physiques Lyc´ee Jean Moulin, B´eziers

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3 Equation de conservation de la charge ´elec-

trique Consid´erons une surface ferm´ee et fixeScontenant un volumeVet notons Q(t) la charge ´electrique totale contenue dans ce volume `a la datet. La charge totale contenue dansVne peut varier que si des charges rentrent ou sortent de la surfaceS, c"est-`a-dire s"il existe un courant ´electrique qui traversela surface. Autrement dit, il n"y a pas de cr´eation spontan´ee de charge´electrique. On noteIl"intensit´e du courant traversant la surface. On a alors : dQ(t) dt=-I le signe"-»provenant du fait que la chargeQ(t) diminue lorsqueI >0. ATS - Sciences Physiques Lyc´ee Jean Moulin, B´eziers

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4 Potentiels ´electromagn´etiques

Comme la divergence d"un rotationnel est toujours nulle, l"´equation de Maxwell-Flux div-→B= 0 conduit `a l"existence d"un potentiel vecteur-→Atel que : -→B=-→rot-→A De l"´equation de Maxwell-Faraday on peut alors en d´eduirequ"il existe aussi un potentiel scalaireVtel que : -→E=---→gradV-∂-→A ∂t

D´emonstration :

5 Description ´energ´etique du champ ´electro-

magn´etique

5.1 Densit´e volumique d"´energie

Dans les chapitres pr´ec´edents, nous avons ´etabli les expressions des den- sit´es volumiques d"´energie ´electriqueEeet magn´etiqueEm(J.m-3) :

Ee=?0E22etEm=B22μ0

Ces expressions sont valables, mˆeme en regime d´ependant du temps, dans tout milieu de permittivite?0et de permeabiliteμ0. La densite volumique d"´energie ´electromagnetiqueEemest alors la somme des contributions ´elec- triques et magn´etiques :

Eem=?0E22+B22μ0

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5.2 Bilan ´energ´etique sous forme locale

En d´erivant par rapport au temps l"expression deEempuis en utilisant les

´equations de Maxwell, on montre que :

∂Eem ∂t=--→j .-→E-div? -→E?-→Bμ0?

D´emonstration :

5.3 Vecteur de Poyting

On d´efinit le vecteur flux de puissance (enW.m-2) ou vecteur dePoyn- ting, not´e-→Π, associ´e au champ ´electromagn´etique : -→Π =-→E?-→B μ0 ATS - Sciences Physiques Lyc´ee Jean Moulin, B´eziers

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5.4 Bilan ´energ´etique sous forme int´egrale et interpr´e-

tation physique La variation d"´energie ´electromagn´etique dans un volume donn´e est l"op- pos´ee de la somme de : ?la puissance c´ed´ee aux porteurs de charges mobiles ?la puissance rayonn´ee vers l"ext´erieur Le bilan de puissance ´electromagn´etique est d´ecrit par l"´equation de Poynting qui peut se mettre sous la forme integrale : d dt? V E emdτ?

S-→

Π.d-→S-?

V-→

j .-→Edτ D´emonstration :Reprenons le bilan ´energ´etique local et intr´egrons ce bilan sur un volume fixe quelconqueVd´elimit´e par une surface ferm´eeS ATS - Sciences Physiques Lyc´ee Jean Moulin, B´eziersquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3