Coniques - SUNUMATHS
la parabole a pour équation y2 = 2px (équation réduite de la parabole) L’égalité y2 = 2px équivaut à y = √ 2px ou y = − √ 2px La parabole est donc ici pensée comme la réunion des graphes des fonctions x 7→ √ 2px et x 7→ − √ 2px On doit noter que l’abscisse p 2 du foyer est le quart du coefficient 2p de x
Deuxième conique : La parabole
Deuxième conique : La parabole Les caractéristiques de la parabole de sommet (0,0) Prenons la parabole centrée à l’origine Définition : Une parabole est le lieu d’un point à égale distance d’un point fixe, appelé foyer, et d’une droite fixe, appelé directrice
Coniques - wwwnormalesuporg
1 3 Nature de la conique et signe du discriminant Montrer que la nature de la conique est donnØ par le signe du discriminant : 8 0 =) hyperbole Solution proposØe Quitte à Øliminer le terme croisØ, ce qui ne change pas d™aprŁs ce qui prØcŁde, on peut supposer que b = 0 On a alors = ac 3
CHAPITRE II LES CONIQUES - LMRL
Soit Γ une parabole, alors : P m P m et PF PD P S∈ ∩Γ⇔ ∈ = ⇔ =, et par conséquent Γ∩ =m S{} Ainsi une parabole n’a qu’un seul sommet et ce sommet est le milieu S de [FD] c) Sommets d’une ellipse et d’une hyperbole i) Préliminaires Soit Γ une conique d’excentricité ε≠1, alors : [ ] [ ] P m P m et PF PD
Les coniques - Collège du Sud
(b) d’une parabole si = , (c) d’une hypberbole si < Figure 2 { coniques non d eg en er ees (source : [2]) Pour toute la suite de ce script, nous nous int eresserons au cas ou la conique obtenue n’est pas d eg en er ee et l’utilisation du terme ˝conique ˛sous-entendra ˝conique non-d eg en er ee ˛ Ainsi, pour toute conique, nous
Fiche : Coniques - WordPresscom
positif On appelle conique de directrice D, de foyer F et d'excentricité e l'ensemble des points M du plan vérifiant : MF e MH où H est le projeté orthogonal de M sur la droite (D) Suivant les diverses valeurs de e, on trouve les 3 types de conique : ξ e < 1 : ellipse, ξ e = 1 : parabole, ξ e > 1 : hyperbole
LES CONIQUES - Planétarium Peiresc
Définition L’excentricité e d’une conique est définie par a c e =, avec c défini par c2 =a2 −b2 et c >0 Comètes et coniques On démontre que : Si e = 0, la conique est un cercle, Si e = 1, la conique est une parabole, Si 0 < e < 1, la conique est une ellipse, Si e > 1, la conique est une hyperbole
Coniques - lescoursdemathsdepjhmonsite-orangefr
"parabole" et "hyperbole", empruntant ces mots aux figures de rhétorique correspondantes Cependant, la découverte, dans les années 1970, d’une traduction arabe du traité de Dioclès Sur les miroirs brûlants , conduisit G J Toomer à affirmer que les noms parabole et hyperbole étaient antérieurs à Apollonios
CONIQUES
c) La manière la plus simple de visualiser une parabole est de projeter de l'eau avec un jet d'eau La trajectoire de chute d'un corps lancé de façon non perpendiculaire au sol est une parabole Les coniques ont passionné les savants de l’Antiquité, c’est pour cette raison qu'elles sont très présentes dans notre environnement
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1 LES CONIQUES
Qu"est-ce qu"une conique ?
Une conique est une courbe plane que l"on peut tracer sur un cône de révolution à deux nappes. Suivant la
position qu"il occupe par rapport à un cône, un plan qui coupe ce dernier déterminera une intersection qui sera :
▪ un cercle : le plan est perpendiculaire à l"axe ;▪ une ellipse : le plan est incliné sur l"axe, mais il ne coupe qu"une seule des deux nappes ;
▪ une hyperbole : le plan est incliné ou parallèle à l"axe et coupe les deux nappes ; ▪ une parabole : le plan est parallèle à un plan tangent au cône. Les définitions précédentes sont les définitions " historiques » des coniques. Elles avaient été données par les géomètres grecs. Il existe cependant d"autres définitions, plus aisées à utiliser dans certains problèmes de mathématiques.Remarque
Si le plan contient l"axe et coupe les deux nappes selon une génératrice, l"intersection sera un couple de droites. Si le plan coupe les deux nappes à leur point commun, l"intersection sera ce point. Ces deux cas limites font encore partie des coniques. 2Définitions comme ensembles de points
Les définitions suivantes font intervenir un plan P et des points ou une droite contenus dans P.Ellipse
Étant donnés deux points fixes F
1 et F2, on ap-
pelle ellipse l"ensemble des points du plan dont la somme des distances à F1 et F2 est constante.
M1F1 + M1F2 = M2F1 + M2F2 = Constante = 2a
F1 et F2 se nomment les foyers de l"ellipse,
S et S" sont ses sommets, O est son centre.
Hyperbole
Étant donnés deux points fixes F et F", on appel- le hyperbole l"ensemble des points du plan dont la dif- férence des distances à F et F" est constante. |MF - MF"| = Constante = 2aSS" = 2a
F et F" se nomment les foyers de l"hyperbole,
a est son demi-grand axe,S et S" sont ses sommets,
O est son centre.
Parabole
Étant donnés un point F et une droite D, on ap- pelle parabole l"ensemble des points du plan dont les distances au point F et à D sont égales.MF = MH
F se nomme le foyer de la parabole,
O est son sommet,
D est sa directrice,
H est la projection orthogonale de M sur D.
3Cercle
Étant donné un point O contenu dans un plan, on appelle cercle l"ensemble des points du plan dont la distance à O est constante.MO = NO = Constante
la constante est le rayon du cercle,O est son centre.
Le cercle apparaît comme un cas particulier de l"ellipse : celui où les deux points F1 et F2 sont confondus.
Définitions analytiques
Si l"on rapporte le plan à un repère orthonormal bien choisi, les définitions précédentes peuvent être traduites
par des équations cartésiennes. Ce sont ces définitions qui se prêtent le mieux à des calculs.
Cercle
Étant donnée une distance R, un cercle est
l"ensemble des points M(x ; y) du plan vérifiant :222Ryx=+
R est le rayon du cercle.
Ellipse
Étant donnés deux réels strictement posi- tifs a et b, une ellipse est l"ensemble des points M(x ; y) du plan vérifiant : 12222=+b
y a x a et b sont respectivement le demi-grand axe et le demi-petit axe de l"ellipse. 4
Hyperbole
Étant donnés deux réels strictement posi- tifs a et b, une hyperbole est l"ensemble des pointsM(x ; y) du plan vérifiant :
12222=-b
y a x a porte le nom de demi-grand axe ; sur le graphique ci-contre, les droites en bleu sont les asymptotes de l"hyperbole.
Parabole
Étant donné un réel strictement positif p, une parabole est l"ensemble des points M(x ; y) du plan vérifiant :022=-pxy
F est le foyer,
p porte le nom de paramètre de la parabole.Remarque
L"équation à deux variables x et y, 022222=+++++feydxcxybyax, est l"équation la plus générale
du second degré ; c"est celle d"une conique.Excentricité et astronomie
Définition L"excentricité e d"une conique est définie par a ce=, avec c défini par 222bac-= et 0>c.Comètes et coniques
On démontre que :
▪ Si e = 0, la conique est un cercle, ▪ Si e = 1, la conique est une parabole, ▪ Si 0 < e < 1, la conique est une ellipse, ▪ Si e > 1, la conique est une hyperbole. 5L"excentricité d"une conique est un élément important en astronomie. Par exemple, pour toute nouvelle
comète, on détermine une orbite approximative en prenant e = 1 (on fait l"hypothèse que cet astre circule sur une
parabole). Puis, lorsque le nombre d"observations est suffisant, on détermine la vraie valeur de e. D"après ce qui
précède on aura :▪ Si 0 < e < 1, la comète circule sur une orbite elliptique. Elle appartient (tout comme les planètes que
nous voyons dans le ciel), au Système solaire et est périodique.▪ Si e > 1, la comète circule sur une hyperbole. Il s"agit donc soit d"une comète venant de l"extérieur du
Système solaire, soit d"une comète appartenant au Système solaire, mais déviée par une grosse planète
(essentiellement Jupiter) auprès de laquelle elle est passée. Dans ce dernier cas, cette comète sortira du
Système solaire.
Orbites de quatre comètes périodiques (vues en projection sur l"écliptique) : Halley, Hyakutake, Tempel1, et Wild2.
Parabole et miroirs de télescopes
Il est établi qu"un miroir parabolique permet d"éviter le défaut d"aberration chromatique rencontré
avec les lunettes : avec un miroir parabolique, tous les rayons lumineux convergent vers le foyer du mi-
roir, ce qui n"est pas le cas lorsqu"ils traversent une lentille.quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35