Exercices de Math´ematiques : coniques
EXERCICE 3 Soit α un r´eel de l’intervalle ]0,π[ On consid`ere l’´equation d’inconnue complexez : (E) z2 sin2 α −4z sinα +4 + cos2 α = 0 1 R´esoudre (E) 2 On d´esigne par M et M les images des racines z et z de l’´equation (E) dans un rep`ere orthonormal direct (0,u,v) du plan complexe
Équations des coniques - Meabilis
Exercices - Coniques: corrigé Équations des coniques Exercice 1 - Réduction de l’équation d’une conique - 1 Lediscriminantdecetteconiqueest−3
LES LIEUX GÉOMÉTRIQUES ET CONIQUES - CORRIGÉ
CORRIGÉ EXERCICES sur les lieux géométriques (sauf la parabole) (Pages 95 à 98) Exercice 1: a) droite b) hyperbole c) cercle d) ellipse Exercice 2: 1 12 24 2 2 x y Exercice 3 : 1 64 36 2 2 x y Exercice 4 : a) b) Les coordonnées sont approximativement (±4,62 ; 11,08) c) x (y 13)2 25 Exercice 5: a)
Chapitre12 CONIQUES Enoncédesexercices
CHAPITRE12 CONIQUES 2 LESTECHNIQUES Exercice12 19Soit Cla conique d’équation polaire r = p 1+ecosθ, M0 un point de de Cde coordonnées polaires (r0,θ0) Donner l’équationpolaire de la tangente enM0
Les coniques - Collège du Sud
Une conique (non d eg en er ee) est l’ensemble des points P2R2 tels que PF (P;d) = e: Fest un foyer de la conique, dla directrice associ ee a Fet el’excentricit e de la conique Une ellipse une conique d’excentricit e strictement inf erieure a 1, une para-bole est une conique d’excentricit e egale a 1 et une hyperbole est une conique
TD II { Corrig e
Exercice 1 1 (Foyer et directrice) 1 L’excentricit e de C est strictement inf erieure a 1, c’est donc une ellipse 2 L’axe focal est orthogonal a D, donc a pour equation y = pour un certain r eel De plus, F appartient a l’axe focal Son equation est donc y= 1 Dans le rep ere focal, les coordonn ees du centre sont de2 1 e2;0
Exercice 6 - Free
Exercice 6 Le plan étant rapporté à un repère orthonormal, déterminer la nature et les éléments caractéristiques des coniques suivantes et les représenter: 1) 2x2 +xy +y2 +4x y 2 = 0 2) x2 +8xy 5y2 28x+14y +3 = 0 3) x2 2xy +y2 6x 10y +9 = 0 Correction - Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O; i ; j) 1) Soit C: 2x2 + xy
Méthodologie de calcul et de conception d’un REDUCTEUR d
Méthodologie de calcul et de conception d’un REDUCTEUR d’engrenage cylindrique ou conique GINA STOICA ( Université POLITEHNICA de Bucarest )
Épreuve de mathématiques CRPE 2019 groupe 5
Lien vers le corrigé seul : pdf Lien vers le sujet seul : pdf Dureé : 4 heures Épreuve notée sur 40 IPremière partie (13 points) Rappels des formules de volumes de solides usuels olumeV duparallélépipèderectangle: V = longueur largeur hauteur olumeV du prisme droit et du cylindre : V = airedelabase hauteur
Réseaux et transmissions - Dunod
Réseaux et transmissions VI Chapitre 3 • Transmission du signal numérique 37 3 1 Transmission en bande de base 37 3 1 1 Principe 37 3 1 2 Principaux codages 38
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Courbes et surfaces Universit
e Paris-sudMath 2132018-2019TD II { Corrige
1. Denitions des coniques
Exercice 1.1(Foyer et directrice). | 1. L'excentricite deCest strictement inferieure a 1, c'est donc une ellipse.2. L'axe focal est orthogonal aD, donc a pour equationy=pour un certain reel. De plus,F
appartient a l'axe focal. Son equation est doncy=1. Dans le repere focal, les coordonnees du centre sontde21e2;0 oudest la distance deFa l'axe focal, c'est-a-dired= 4. L'abscisse du centre dans le repere focal est donc1=2. Pour en deduire ses coordonnees dans le repereR, il sut d'ajouter celles deF, ce qui donne C:12 ;13. La second directrice s'obtient par symetrie par rapport aCet a donc pour equationx=4. De
m^eme,F0a pour coordonnees (0;1).4. La coniqueCest l'ensemble des pointsMtels que
MF2=e2d(M;D)2:
Dans le repereR, cette egalite s'ecrit
(x1)2+ (y+ 1)2=19 (x14)2=19 (x5)2:Exercice 1.2(Equation polaire). | 1. On a () =1=21 + 12 cos(): Il s'agit donc d'une ellipse d'excentricite 1=2 et de parametre 1=2.2. On a
()~u=11sin()~u11 + cos(+=2)~u
11 + cos(+=2)f(~u+=2)
oufest la rotation vectorielle d'angle=2. Il s'agit donc d'une parabole de parametre 1.3. On a ()~u=12cos()~u1=2112
cos()~u1=21 +
12 cos(+)~u1=21 +
12 cos(+)g(~u+) ougest la rotation vectorielle d'angle, c'est-a-dire la symetrie par rapport a l'origine. Il s'agit donc d'une ellipse d'excentricite 1=2 et de parametre 1=2. Exercice 1.3(Equation polynomiale). | 1. PosonsP(X) =aX3+bX2+cX+daveca6= 0. On a alorsP(x)P(y) =a(x3y3) +b(x2y2) +c(xy)
=a(xy) x2+xy+y2+ba
(x+y) +ca =a(xy)Q(x;y): On a doncP(x) =P(y) si et seulement six=youQ(x;y) = 0. Ainsi, l'ensemble des points tels que P(x) =P(y) est la reunion de la droite d'equationx=yet de la courbe du second degre d'equationQ(x;y) = 0.
2. Calculons le discriminant de l'equationQ(x;y) = 0 :
= 114 =34 >0 donc si la courbe est non-degeneree c'est une ellipse. De plus, sa trace est egale aT= 1 + 1 = 2. Le polyn^ome caracteristique s'ecrit donc X22X+ 3 =
X12 X32 On en deduit quea2= 2 etb2= 2=3. L'excentricite est alors donnee par e=r1b2a 2=r2 3 et le parametre par p=b2a =p2 3 2.Etudes geometriques de coniques
Exercice 2.1. | 1. D'apres le cours, une parametrisation cartesienne deCest donnee par l'arc para- metre : [0;2[!R2deni par (t) = (acos(t);bsin(t)):2. Calculons les derivees de
0(t) =asin(t)
bcos(t) et!00(t) =acos(t)
bsin(t)) d'ou det0(t);!
00(t)=absin2(t) +abcos2(t) =ab:
On en deduit l'expression de la courbure au point de parametret: c(t) =det(!0(t);!
00(t))k
0(t)k3=ab
a2sin2(t) +b2cos2(t)3=2:3. Il est clair quef(t) =a2sin2(t) +b2cos2(t)3=2varie entrea3etb3. La courbure est maximale quand
fest minimale, c'est-a-diref(t) =b3. On a alors c(t) =abb 3=ab 2: Cette valeur est atteinte pour sin(t) = 0, donct2 f0;g. La courbure est minimale quandfest maximale, c'est-a-diref(t) =a3. On a alors c(t) =aba 3=ba 2: Cette valeur est atteinte pour cos(t) = 0, donct2 f=2;3=2g. Il nous faut maintenant calculer les vecteurs normaux pour ces quatre parametres. On a 80(0) = (0;b)
0() = (0;b)
02 = (a;0) 032= (a;0)d'ou8
N(0) = (1;0)
N() = (1;0)
N2 = (0;1) N32 = (0;1) dont on deduit les coordonnees des centres de courbure en translatant le point dec(t)1!N(t) : t= 0 : ab2a ;0 t=20;ba2b
t=: a+b2a ;0 t=320;b+a2b
Sur la gure ci-dessous oua= 2 etb= 2=p3, les points de plus fortes courbures ont leur cercle osculateur en rouge et les points de plus faible courbure ont leur cercle osculateur en vert. Exercice 2.2. | 1. D'apres le cours, une parametrisation cartesienne deCest donnee par l'arc para- metre :R!R2deni par (t) = t22p;t2. Le vecteur derive au point de parametretest
0(t) =
tp ;1On en deduit une equation de la tangente au point
(t) : xt22p tp (yt) = 0 x+tp y=t22p:3. Pour que les tangentes aux points
(t1) et (t2) soient orthogonales, il faut et il sut que!0(t1) et!
0(t2) soient orthogonaux. Calculons donc leur produit scalaire :
0(t1);!
0(t2)=t1t2p
2+ 1: Les tangentes seront donc orthogonales si et seulement si t1t2=p2:
4. Soientt1;t22Rtels quet1t2=p2. Les tangentes aux points
(t1) et (t2) sont orthogonales et les coordonnees (x;y) de leur point d'intersection verient8>>>< >>:x+t1p y=t212p x+t2p y=t222p En multipliant la premiere equation part2et la seconde part1et en additionant on obtient (t2t1)x=t2t21t1t222p t1t22p(t1t2) =p2 (t1t2): Il s'ensuit quex=p=2. Ainsi, la courbe orthoptique de la parabole est contenue dans la droite d'equationx=p=2 dans le repere au sommet, c'est-a-dire la directrice deC. De plus, y=12t1+t12p:Comme la fonctionf:R+!Rdenie par
t7!12t+t2pest surjective, la courbe orthoptique deCest la totalite de sa directrice.Exercice 2.3. |Soienta;b2Rtels que 0< b < a. Pour =2 fa;bg, on noteCla courbe d'equation
x