SCILAB : Algorithmes d’Analyse à Connaître par Coeur 1
SCILAB : Algorithmes d’Analyse à Connaître par Coeur 1) Conjecture graphique de la limite d’une suite Pour une suite (u n) n2N définie en fonction de n ou par récurrence, le principe de cet algorithme est ultra simple :
Chapitre 1 Suites numériques, modèles discrets
6 Approche de la limite d’une suite à parti r d’exemples Conjecture d’une limite « fi xe » L Lorsqu’une suite prend des valeurs de plus en proche d’une valeur fi xe L, on peut conjecturer que lim u n =L Par exemple, si on considère la suite u (n) défi nie par u n = 3n2+1 n2+2 On peut conjec-turer (en uti lisant un tableur
La suite de Syracuse projet dalgorithmique-informatique
2°) Émettre une conjecture : « À partir d’un certain rang se reproduit la séquence de termes 4, 2, 1 » 3°) Rédiger un algorithme en langage naturel qui fait saisir le terme initial d’une suite de Syracuse ainsi qu’un entier naturel N (set qui affiche les N premiers termes de la suite Entrée :
Conjecture de Brocard et nouvelle conjecture
Abstract: Brocard's conjecture is a special case of a new and more powerful conjecture on prime numbers J'affirme dans une nouvelle conjecture que si on découpe la suite des entiers consécutifs de 1 à j*(j+4), pour tout nombre j > 8, en (j+4) tranches de longueur j, on trouve alors au moins un nombre premier
Postulat de Bertrand, conjecture de Legendre et nouvelle
powerful conjecture on prime numbers J'affirme dans une nouvelle conjecture que si on découpe la suite des entiers consécutifs de 1 à n*(n+2), pour tout entier n > 1, en (n+2) tranches de longueur n, on trouve alors au moins un nombre premier dans chacune des tranches Le postulat de Bertrand est un cas particulier de cette nouvelle conjecture
Contrôle de mathématiques
2) En déduite la monotonie de la suite (un) Exercice2 Programmation d’une suite (5 points) Soit la suite (un) définie pour n >1 par : un = 1 n +1 + 1 n +2 +···+ 1 2n 1) a) Calculer les termes u1, u2 et u3 On donnera les valeurs sous forme de fraction b) Quelle conjecture peut-on faire sur la monotonie de la suite (un) c) Démontrer
DS de mathématiques n°1 TS : Préparation aux Suites
Donner les dimensions d'une telle boîte Exercice 5 Question ouverte Que peut-on dire d'une suite d'entiers qui est convergente? Faites une conjecture et démontrez-la Remarque: un est une « suite d'entiers » signifie que pour toutn, un est un nombre entier un∈ℤ NOM: PRENOM : Communication : − 0 + Technique : − 0 +
Raisonnement par récurrence Limite d’une suite
Limite d’une suite Raisonnement par récurrence Exercice1 Prouver que pour tout entier n, 4n +5 est un multiple de 3 Exercice2 Prouver que pour tout entier n, 32n −1 est un multiple de 8 Exercice3 Est-il vrai que pour tout entiern >1, n3 +2n est un multiple de 3? Exercice4 Montrer que ∀n ∈ N,32n+1 +2n+2 est un multiple de 7 Exercice5
La conjecture de Weil I
Dans un article faisant suite ~ celui-ci, je donnerai divers raffinements des r~sultats interm6diaires, et des applications, parmi lesquelles le th~or~me de Lefschetz ~< difficile >> (sur les cup-produits it~r~s par la classe de cohomologie d'une section hyperplane)
Prime divisors of linear recurrences and Artins primitive
Sous l hypothèse d une certaine généralisation de la conjecture d Artin pour les racines primi-tives, nous montrons que PS possède une densité asymptotique inférieure pour toute suite S "générique" Nous donnons en illus-tration des exemples numériques ABSTRACT Let S be a linear integer recurrent sequence of order
[PDF] comportement d'une suite 1ere s
[PDF] conjecturer le comportement d'une suite ? l'infini
[PDF] limite finie d'une suite
[PDF] conjecturer la limite d'une suite avec calculatrice casio
[PDF] déterminer la limite d'une suite
[PDF] un+1=un+2n+3
[PDF] monotonie d'une suite
[PDF] conjecturer l'expression de vn en fonction de n
[PDF] en déduire l'expression de vn puis celle de un en fonction de n
[PDF] suite conjecture
[PDF] conjecturer une suite avec la calculatrice
[PDF] liste des conjonctions de coordination et de subordination pdf
[PDF] les valeurs des conjonctions de coordination
[PDF] conjonction de coordination liste complete
D.S. de mathématiques n°1SuitesTS : Préparation aux mathématiques du supérieur
Vendredi 15 octobre 2010, 2h,
Calculatrices autorisées
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Un corrigé sera disponible sur le site http://lhelmeg.keepandshare.com/ NoteExercice1 ,/4
Exercice2 ,/4
Exercice3 ,/4
Exercice4 ,/4
Exercice5 ,/4
Note ,/20
Exercice 1Questions de cours
1) Donner la définition de
limn∞ un= l .2) Montrer qu'une suite convergente est nécessairement bornée.
Exercice 2
Soitunune suite réelle de limite
l et vnune suite réelle de limitel'. Montrer que la somme de ces deux suites est une suite convergente dont on précisera la limite. Remarque: unest une " suite réelle » signifie que pour tout n,unest un nombre réelun∈ℝ.Exercice 3
Soitunune suite réelle. On suppose que la suiteu2nest convergente vers une limite
l, que la suiteu2n1est convergente vers une limite l'et que que la suiteu3nest convergente vers une limite l''. Montrer que la suiteunest convergente.On pourra utiliser sans le redémontrer le résultat vu en classe: Si la suite des termes d'indice pairs et la suite
des termes d'indice impairs d'une suiteunconvergent vers la même limite alors la suiteunest
convergente vers cette limite commune.Exercice 4
Un fabricant d'emballages souhaite fabriquer une boîte de conserve cylindrique de volume 1 litre en
minimisant la surface de métal utilisée.Donner les dimensions d'une telle boîte.
Exercice 5Question ouverte
Que peut-on dire d'une suite d'entiers qui est convergente?Faites une conjecture et démontrez-la.
Remarque: unest une " suite d'entiers » signifie que pour toutPRENOM :
Communication: - 0 +
Technique: - 0 +
Raisonnement : - 0 +
/4 /4 /4 /4 /4 D.S. de mathématiques n°1Suites CORRIGÉTS : Préparation aux mathématiques du supérieurExercice 2
Soitunune suite réelle de limite
l et vnune suite réelle de limitel'. Montrer que la somme de ces deux suites est une suite convergente dont on précisera la limite. Remarque: unest une " suite réelle » signifie que pour tout n,unest un nombre réelun∈ℝ.Réponse: Soit
2. ∣un-l∣+∣vn-l'∣<ε2+ε
2=ε.
ll' Remarque: On a utilisé l'inégalité triangulaire: ∀x ety,on a ∣xy∣∣x∣∣y∣, valable pour la
valeur absolue si xetysont des réels, valable pour le module si xetysont des complexes et valable pour la norme si xetysont des vecteurs.Exercice 3
Soitunune suite réelle. On suppose que la suiteu2nest convergente vers une limite
l, que la suiteu2n1est convergente vers une limitel'et que que la suiteu3nest convergente vers
une limite l''. Montrer que la suiteunest convergente.On pourra utiliser sans le redémontrer le résultat vu en classe: Si la suite des termes d'indice pairs et la
suite des termes d'indice impairs d'une suiteunconvergent vers la même limite alors la suiteunest
convergente vers cette limite commune.Réponse:
u6nest une suite extraite de u3ndonc elle converge vers la même limite d'où
limn∞ u6n=l''.Par ailleurs,u6nest une suite extraite de u2ndonc elle converge vers la même limite d'où
limn∞u6n= l. On en déduit que l=l''.u6n3est une suite extraite de u3ndonc elle converge vers la même limite d'où
limn∞ u6n3 =l''.Par ailleurs, u6n3est une suite extraite de u2n1donc elle converge vers la même
limite d'où limn∞ u6n3=l'. On en déduit que l'=l''. Finalement, comme l'=l''et l'=l'', on al=l'. Or on sait que si la suite des termes d'indicepairs et la suite des termes d'indice impairs d'une suiteunconvergent vers la même limite alors la
suiteunest convergente vers cette limite commune. Exercice 5Question ouverte
Que peut-on dire d'une suite d'entiers qui est convergente?Faites une conjecture et démontrez-la.
Remarque: unest une " suite d'entiers » signifie que pour toutRéponse: Une suite d'entiers qui est convergente est constante à partir d'un certain rang .
Prouvons-le: Soit unest une suite d'entiers qui converge vers une limite l. Soit31.Commeunetun1sont tous deux des nombres entiers, cela veut dire que ∀nn1,un=un1.
La suite un est donc constante à partir du rang n1. Par l'inégalité triangulaire.Exercice 4
Un fabricant d'emballages souhaite fabriquer une boîte de conserve cylindrique de volume 1 litre en minimisant la surface de métal utilisée.Donner les dimensions d'une telle boîte.
Réponse:
Soit r le rayon de la boîte de conserve et h sa hauteur.· On exprime la fonction à optimiser: On veut minimiser l'aire A=2r22rh (Fond +
couvercle +surface latérale).· Comme toujours dans les problèmes d'optimisation, on se ramène à une fonction d'une variable
pour pouvoir étudier ses variations grâce à sa dérivée.Le volume de la boîte est égal à un litre, ce qui donne, en exprimant toutes les longueurs en
décimètres, V=r2h=1. On en déduit h=1 r2 d'où, par substitution dans A,Ar=2r22r
r2=2r22 r . · On étudie les variations de la fonction à optimiser grâce à sa dérivée.A'r=4r-2
r2=4r3-2 r2qui est du signe de2r3-1.
Or 2r31ssi r31
2ssi r1
21/3=13 2, d'où le tableau de variations: r013 2A'(r)-0+
A(r)L'aire est donc minimale pour r=1
21/3=13 2. La hauteur correspondante est h=1 r2=1 1 =22/3 1/3=22/3⋅21/3 1/3⋅21/3=2 1/3⋅21/3=221/3=2r.· Conclusion: La surface de métal utilisée pour construire une boîte de conserve cylindrique de
volume 1 litre est donc minimale pour r=13 2dmeth=2r=232dm.Remarque: Exprimerrethen dm plutôt qu'en cm permet d' avoir des formules plus simples.
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