[PDF] TP 9 R evisions - Mathématiques en ECS1

Chapitre 1 METHODES SUR LES SUITES - Éditions Ellipses

1 Comment conjecturer le comportement d’une suite On va vous expliquer comment vous pouvez étudier expérimentalement les bornes, la monotonie, et la convergence d’une suite Cela repose sur l’utilisation de graphiques, de tableurs ou d’algorithmes METHODE 1 : Comment conjecturer le comportement d’une suite à partir du graphe n, U

Fiche 5 : Comportement d’une suite

conjecturer le comportement de la suite 2) Déterminer le réel a tel que f(a) = a 3) Soit la suite définie par : pour tout n entier naturel Déterminer la nature de 4) Démontrer votre conjecture Algorithmique Ecrire un algorithme qui détermine le plus petit entier n tel que puis le tester à la calculatrice

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Conjecturer comportement asymptotiq des suites du type suivant les valeurs du reel q Situation Objectif Conjecturer le comportement d' une suite encadrée par deux suites qui convergent vers la meme limite 2 Chapitre 2 Limites de suites LOGICIEL DE Ouvrir une fenêtre dans un logiciel de géométrie dynamique

TP 9 R evisions - Mathématiques en ECS1

n2N d e nie par : 8n 2N;w n = Yn k=1 1 + 1 k2 : On utilisera Scilab pour conjecturer le comportement de cette suite Exercice 5 On pose, pour tout n 2N, u n = Xn k=0 1 k 1 Ecrire un programme permettant de calculer u n, n etant un entier saisi par l’utilisateur 2 Que peut-on conjecturer quant a la convergence de (u n)? Si elle existe

Comportement dune suite - logeducom

Comportement d'une suite I) Approche de "sens de variation et de limite d'une suite" : Soit la suite (u n) telle que u n = 5 – 7 (n + 1)2 Représentons graphiquement la suite dans un plan muni d' un repère Il suffit de placer les points de coordonnées (n;u n) Il semble que, plus n augmente, plus u n augmente On a u 0 < u 1 < u 2

Première S - Comportement d’une suite, Problèmes

Etudions le comportement de cette suite lorsque J prends des valeurs de plus en plus grande 5 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000 2,2 2,1 2,01 2, 001 2,0001 2,00001 2,000 001

Comportement

Comportement global d’une suite Les savoir-faire du chapitre 140 Déterminer le sens de variation d’une suite 141 Déterminer le sens de variation d’une suite arithmé-tique ou géométrique 142 Conjecturer la limite éventuelle d’une suite Activités mentales 1 Dans chacun des cas suivants, calculer u2 1) u0 =0 u n+1 =u +1 4) un

Table des matières - Éditions Ellipses

4 Comment étudier le comportement global d’une suite 15 5 Comment étudier le comportement asymptotique d’une suite 17 6 Comment déterminer expérimentalement des résultats 20 Chapitre 2

1) Sens de variation dune fonction Fonction croissante

A est le point le plus « bas » de la courbe Le maximum sur l’intervalle [-5 ; 6] est 4 Il est obtenu lorsque x = -3 En effet, B est le point le plus « haut » de la courbe Si I = D f, on parle de maximum ou de minimum absolu ou global Si I ⊂ D f, on parle de maximum ou de minimum relatif ou local

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Lycee Janson de Sailly Annee 2018-2019

ECS1 TP 9

RevisionsExercices divers

Exercice 1.Calculer les sommes doubles suivantes et utiliser Scilab pour verier vos calculs : 1)X

1i;jn(i+j)2

2) X

1ijnjijj

3) X

1i Exercice 2.Pour tout entier naturel non nuln, on pose :un=nX k=11k 1. Utiliser Scilab p ourconjecturer les v ariationsde la suite ( vn)n2Ndenie par, pour toutn2N, v n=2nX k=n+11k 2.

D emontrercette conjecture.

3. En d eduireque p ourtout en tiernat urelnon n uln,u2nun12 4.

En d eduireque lim

n!+1un= +1. Exercice 3.Soita2R. Determiner la limite de la suite (un) denie par, pour toutn2N, u n= 1 +an n: On utilisera Scilab pour conjecturer la valeur de cette limite en calculant ln(un) pourn >0.

Exercice 4.

Quelques r esultatsautour de la somme classique

nX k=11k 2

On pose, pour toutn2N,un=nX

k=11k 2 1. En utilisan tScilab, que p eut-onconjecturer qu ant ala con vergencede ( un)n2N? 2. Dans cette question, nous allons mon trerce r esultatde deux mani eresdi erentes. (a)

On p ose,p ourtout n2N,vn=nX

k=11k 2+1n . Montrer que les suites (un)n2Net (vn)n2N sont adjacentes. Conclure. (b) i.

Mon trerque p ourtout en tiernaturel k2,

1k

21k11k

1 ii.En d euireque p ourtout en tiernatu relnon n uln,un21n iii.

Conclure.

3.Une application: Eudier la convergence de la suite (wn)n2Ndenie par :

8n2N;wn=nY

k=1 1 +1k 2 On utilisera Scilab pour conjecturer le comportement de cette suite.

Exercice 5.On pose, pour toutn2N,

u n=nX k=01k! 1. Ecrire un programme permettant de calculerun,netant un entier saisi par l'utilisateur. 2. Que p eut-onconjecturer quan t ala con vergencede ( un)? Si elle existe, quelle est la valeur de la limite deun?

3.Demonstration de cette conjecture :

Sin2N, on considere la fonctionfndenie sur ]0;+1[ par : f n(x) =lnnxx 2 et on poseIn=Re

1fn(x)dx.

(a)

Soit Fla fonctionF:x7!1+lnxx

. CalculerF0(x) pour tout reelxstrictement positif. En deduire la valeur deI1. (b)

Soit n2N. On poseu(x) = (lnx)n+1etv(x) =1x

. Calculeru0(x) etv0(x) pour tout reelxstrictement positif. Apres avoir verie la continuite deu0etv0surR+et rappele la formule donnant la derivation du produituv, montrer que : Z e 1 u(x)v0(x)dx=u(e)v(e)u(1)v(1)Z e 1 u0(x)v(x)dx

En deduire que :

I n+1=1e + (n+ 1)In (c)

En d eduire,par r ecurrence,que :

8n2N1n!In= 11e

nX k=01k!! (d) En utilisan tun encadremen tde x7!lnxsur [1;e], montrer que :8n2N06In62. (e)

En d eduirelim

n!+1un. Exercice 6.Soitn2Netx2R. Ecrire une fonctionpuissance(x,n)qui renvoie la plus petite puissance dexsuperieure ou egale an. Exercice 7.On admet que l'epaisseur d'une feuille de papier est de 0,1 millimetres. 1) Ecrire une fon ctionepaisseur(n)qui renvoie l'epaisseur totale d'une feuille apresnpliages. 2.a) Ecrire une fonction NbrePliages(h)qui renvoie le nombre de pliages necessaires pour que l'epaisseur totale d'une feuille depasse la hauteurh. 2.b) T estercette fonction en d onnantle nom brede plaiges n ecessairesp ourd epasserla hauteur de la tour Eiel et puis de la distance Terre-Lune. 2quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21