Etudier la monotonie d’une suite numérique
Etudier la monotonie de la suite définie par 2 + =u u n 1 n pour tout n et par a) 0 = u 0,5 b) u 2 Etudier le comportement asymptotique d’une suite Méthode : Analyser le terme général
Chapitre 13 : suite, monotonie et convergence
˝ Pour une suite géométrique (Ex 3 page 17) ˝ Par l’étude du signe de l’expression u n`1 ´u n (Ex 2 page 17) • Avoir une approche intuitive des théorèmes de convergence monotone • Écrire un algorithme de calcul des termes d’une suite • Utiliser un tableur pour déterminer les valeurs d’une suite
Monotonie d’une suite
Exercice 6 : Monotonie d’une suite : On considère la suite à termes positifs définie par et pour tout entier naturel √ Déterminer les premiers termes de la suite, conjecturer puis prouver ses variations
Suites Numériques (III) : limites des suites monotones
Preuve (ROC) dans le cas d'une suite croissante et non majorée Pour tout réel A, on veut montrer qu'à partir d'un certain rang, un∈] A;+∞[ La suite n'est pas majorée donc il existe un entier p tel que pour tout n⩾p, un>A La suite est croissante donc pour tout n⩾p, un>up
Suites numériques
Suite majorée, minorée, bornée : Soit un n I une suite numérique un n I est majorée par un nombre réel M n I un M un n I est minorée par un nombre réel m n I un m un n I est bornée si un n I est majorée et minorée Monotonie d’une suite :
Suites numériques AKARMIM SUITES NUMERIQUES
2) Suites majorée, suites minorée ; Monotonie d’une suite Définition (Rappelle): )Soit ( ????????∈???? une suite numérique (????⊂ℕ) (On dit que la suite ????)????∈???? est majorée s’il existe un réel tel que :(∀ ∈????)( ????≤ ) (On dit que la suite ????)????∈????
Chapitre 2 re SUITES NUMERIQUES 1 STI2D
Remarques 1) Dans certaines situations, on étudiera la monotonie d'une suite pour des valeurs de n supérieures ou égales à une valeur donnée entière p Par exemple pour la suite = 1 −1 définie pour ???? R t 2) ATTENTION il existe des suites non monotones Par exemple, la suite définie pour tout entier naturel n par
LOUIS LE-GRAND QUINZAINE N 4 PCSI 2
Une suite (un) est bornée si et seulement si (junj) est majorée Exemples d’étude de la monotonie d’une suite définie par un¯1 ˘ f (un) Suites stationnaires Suites arithmétiques, suites géométriques Les étudiants doivent connaître une méthode de calcul du terme général d’une suite définie par un¯1 ˘aun ¯b
II est une suite son premier terme est - Dyrassa
Une suite est bornée si et seulement si est majorée et bornée Une suite est bornée si et seulement si A ; n n ; u A 0n t d ou $ B La monotonie d’une suite: a Définition : Une suite est croissant si et seulement si t dn n ; u u 0 n n 1 Une suite est strictement croissant si et seulement si t n n ; u u 0 n n 1
Résumé de Cours SUITES NUMERIQUES PROF : ATMANI NAJIB 1BAC
On dit que la suite est minorée s’il existe un réel tel que : mu n 0 On dit que la suite est bornée si elle est majorée et minorée Propriété : Une suite est bornée si et seulement s’il existe un réel positif M tel que : uM n 4) Monotonie d’une suite Définition :Soit une suite numérique (???? ⊂ ℕ)
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Suites numériques A.KARMIM 1 H H I) RAPPELLES 1) Suite arithmétique ; suite géométrique 1.1 Activité : Activité : Une personne a reçu deux offres de deux sociétés commerciales pour une durée de 4 ans. La société propose un salaire de 4500 Dh pour le premier mois et une augmentation de salaire de 75 Dh chaque mois. La société propose un salaire de 3500 Dh pour le premier mois et une augmentation de salaire de 3% chaque mois. Soient et les salaires proposés respectivement par les sociétés et pour le nième mois. 1- Calculer les salaires des 4 premiers mois pour les deux sociétés. 2- Trouver une relation entre et puis entre et . 3- Calculer les salaires du 10 ème mois pour les deux sociétés. 4- Quelle est la société la plus bénéfique pour la personne ? Rappelle : Suite arithmétique Suite géométrique Définition Terme général Relation entre 3 termes Consécutifs - Somme des termes consécutifs ( Variations est croissantes ssi - est décroissantes ssi - est croissantes ssi est décroissantes ssi - Si - alors nest pas monotone Exercice : Soit la suite définie par : - (La suite sappelle une suite arithmético-géométrique) 1- Soit la suite définie par : a- Déterminer pour que la suite soit géométrique. b- Déterminer puis en fonction de . 2- Calculer en fonction de la somme .
Suites numériques A.KARMIM 2 2) Suites majorée, suites minorée ; Monotonie dune suite. Définition (Rappelle) : Soit une suite numérique. ( On dit que la suite est majorée sil eiste un rel tel que : On dit que la suite est minorée sil eiste un rel tel que : On dit que la suite est bornée si elle est majorée et minorée. Théorème : Soit une suite numérique. ( La suite est croissante si et seulement si: La suite est décroissante si et seulement si: Exercice 1 : Soit la suite récurrente définie par : 1- Montrer que est minorée par 1 et majorée par 3. 2- Etudier la monotonie de la suite . Exercice 2 : Soit la suite récurrente définie par : - - 1- Montrer que la suite est croissante. 2- Montrer que la suite est minorée par - et majorée par -. Exercice 3 : Soit la suite récurrente définie par : - - 1- Calculer ; et 2- Soit la suite définie par ; ) a- Déterminer la nature de la suite c- Déterminer puis en fonction de . II) LIMITE DUNE SUITE 1) Activité
Fractale.exe Activité : 1- Montrer par récurrence que : . 2- Soit un segment de longueur ; On procède comme suite dans ltape 1 on dcoupe le segment en 3 parties égales et on ajoute une quatrième de même longueur. Dans ltape 2 on fait la mme chose uon a fait au segment au 4 segments obtenus ltape 1. ainsi de suite
Suites numériques A.KARMIM 3 a) uelle est le nombre de segments dans ltape b) uelle est la longueur de la ligne brise dans ltape 3- déterminer un entier pour la quelle --- 4- Soit un réel quelconque positif ; Montrer uil existe tel que si alors On peut dire : " On peut rendre » Ceci se traduit mathématiquement par : La ligne brise limite sappelle une fractal. 2) Définitions Définition 1 : Soit une suite numérique. On dit que la suite tend vers (quand tend vers )si elle vérifie la proposition suivante : - on écrit Remarque : Lepression quand tend vers est superflu car ltude de la limite dune suite cest toujours quand tend vers et on se contente dcrire : Propriété :(limites de référence) Les suites ; ; () ; , () tendent vers Exercice : Montrer le dernier résultat Définition 2 : Soit une suite numérique. On dit que la suite tend vers (quand tend vers )si elle vérifie la proposition suivante : - on écrit Remarque : Définition 3 : Soit une suite numérique et un nombre réel. On dit que la suite tend vers si elle vérifie la proposition suivante : - on écrit Définition 4 : Une suite qui tend vers une limite finie sappelle une suite convergente. une suite ui nest pas conergente est une suite divergente. Théorème : Toute suite croissante et majorée est convergente. Toute suite décroissante et minorée est divergente Exemple : (Exercice déjà corrigé) Soit la suite récurrente définie par : - - La suite est croissante. La suite est majorée par -. donc elle est convergente.
Suites numériques A.KARMIM 4 Remarque : Une suite peut être convergente sans uelle est monotone nest pas monotone mais elle est conergente. Remarque : Suite diergente eut dire ue la suite na pas de limite finie cest-à-dire ue la suite na pas de limite ou elle a une suite infinie. Exemples : les suites ; ( ; sont des suites convergentes Les suites ; ; ; ; sont divergentes Théorème : Si une suite admet une limite finie cette limite est unique Preuve : (En exercice) Utiliser la définition et la propriété : 3) Opération sur les limites des suites. 1) Limite de la somme Formes indéterminées 2) Limites des produits - ou - ou - Formes indéterminées 3) Limites des inverses - - - - 3) Limites des quotients - ou - ou - - - - - - - Formes indéterminées Formes indéterminées Propriété : -- 4) Les techniques de calculs des limites Théorème 1: Si la suite est dfinie dune faon eplicite alors Exercices : Calculer les limites suivantes : 1. (
Suites numériques A.KARMIM 5 2. 3. ( Théorème 2 : Soient et deux suites numériques tels que : On a alors : . Preuve : (On utilise la définition des limites) Propriété 1 :( lingalit de Bernoulli) Corolaire : Si alors Si alors - Si la suite est divergente. Preuve : 1. Pour : On pose où - et donc et comme alors daprs le thorme prcdent : 2. Pour a) Pour - on a : -- b) On suppose que - on a : et par suite : do et daprs les oprations sur les limites on a : - donc - Exercices : Calculer les limites suivantes : 1. 2. 3. 5) Les limites et lordre : Théorème : Soient et deux suites numériques. On a les assertions suivantes : Si - alors - Si alors Si - alors Si alors
Suites numériques A.KARMIM 6 6) Les critères de convergences. 6.1 Critères fondamentaux : Critère 1 : Soient et deux suites numériques et un réel. Si - alors Critère 2 : Soient , et trois suites numériques et un réel. Si alors Critère 3 : Soient et deux suites numériques et un réel. Si alors Critère 4 : Soient et deux suites numériques et un réel. Si alors Preuve : En utilisant la dfinition des limites montrer lun des 4 critres. Exercice : Déterminer les limites suivantes : 1. 2. ((( ( 3. . 6.2 Suite de la forme : Critère 5 : Soit une fonction continue sur un intervalle ; et une suite numérique telle que : Si alors Exercice : Déterminer : 1.
Suites numériques A.KARMIM 7 2. 6.3 Suite de la forme : Activité : Soit la fonction 1. Dterminer le point dintersection de avec la droite 2. Soit la suite définie par : - et a) Poser sur lae des abscisses les 3 premiers termes de la suite b) Conjecturer la monotonie de la suite et sa limite potentielle. 3. Montrer que la suite est croissante majorée par -. 4. Soit la suite définie par : a) Déterminer pour que la suite soit géométrique.b) Déterminer puis en fonction de c) Déterminer la limite de la suite Critère 6 : Soit une fonction définie sur un intervalle ; et une suite numérique telle que : Si : d) est continue sur e) f) g) ( donc h) est convergente Alors la suite tend vers solution de luation Remarque : 1- Par fois luation admet plusieurs solution ; Dans ce cas prenez celle qui est dans . Sil y a plusieurs solutions de luation ; utiliser la monotonie de 2- La fonction et la suite nont pas ncessairement la mme monotonie :
Suites numériques A.KARMIM 8 Pour la même fonction ( si on considère la suite définie par - elle sera décroissante convergente (Prouver le) ; mais si on considère la suite définie par elle sera croissante divergente. Exercices Soit la suite définie par où 1. Etudier les variations de et déterminer -- 2. a) Montrer que :-- b) Montrer que la suite est croissante, puis en dduire uelle est conergente. c) Calculer la limite de la suite . Critère 8 : Toute suite croissante non majorée tend vers Toute suite décroissante non minorée tend vers Preuve : On suppose que la suite est croissante non majorée et montrons : (P) - Soit - puisque est non majorée alors il existe tel que et puisque est croissante alors si alors donc il existe ( qui vérifie la propriété (P) Do la suite tend vers Exercice Soit la suite définie par où 1. Monter que la suite est croissante 2. Montrer que la suite est non majorée (Par absurde) . 3. En déduire la limite de la suite . Propriété : Toute suite convergente est bornée Remarque : La rciproue nest pas raie : est bornée mais pas convergente.
Suites numériques A.KARMIM 9 6.4 Les suites adjacentes : Activité : Soit les suites numériques et définies par : et 1. Montrer que la suite est croissante et que la suite est décroissante. 2. Montrer que 3. Montrer que les suites et sont convergentes et ont la même limite. Les suites et sont appelées : Suites adjacentes. Définition : On dit que deux suites numériques et sont adjacentes si : Lune est croissante lautre est dcroissante. - Propriété : Si et sont deux suites adjacentes et est croissante et est décroissante alors Preuve : Par hypothèse on a : est croissante donc est décroissante donc Par suite : - Do la suite est décroissante et tend vers 0 donc elle est de termes positifs et finalement Exercice : Considérons les suites et définies par : -- - 1. Montrer que - 2. En déduire que la suite est croissante et que la suite est décroissante 3. a) Montrer b) En déduire )(limnnnuv
o c) Montrer que et sont adjacentes 4. Déterminer les limites des suites et .quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19